2.1 图形的轴对称（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

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浙江版八年级数学上册第2章特殊三角形
2.1 图形轴对称
【知识清单】
一、轴对称概念：
1、轴对称图形，如图1，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图1，A与D是对称点，B与C是对称点.轴对称图形是一个图形关于某条直线对称.
2、轴对称，如图2，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图1，A与是对称点，B与是对称点，C与是对称点；轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的.轴对称是两个图形关于某直线对称.
二、轴对称的性质：
（1）关于某直线对称的两个图形是全等图形；
（2）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（3）对应线段相等，对应角相等；
（4）对应线段相交或其延长线相交交点一定在对称轴上.
三、轴对称的判定：
1. 如果两个图形的任何一对对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
四、轴对称作用：
1.可以通过对称轴的一边从而画出另一边； 　　
2.可以通过画对称轴得出的两个图形全等.
【经典例题】
例题1、用笔尖扎重叠纸的办法可以得到如图所示的对称图形.
（1）在右图中分别标出各顶点为A、B、C、D、E、F，请你在左图中标出各对应点的字母、、、 、、；
（2）若BC=3cm， ∠DEF=18°，则 ， .
（3）关于轴对称的两个图形的对应角 ，对应线段 ，线段与直线l的位置关系是 .
【分析】根据两个图形与对称轴的位置关系和对称轴垂直平分对应点所连的线段，确定（对应点）对称点位置.然后再根据对称变换是全等变换，其性质为对应角相等，对应线段相等来解决问题.
【解答】（1）如图；
（2）3cm，18°；
（3）相等，相等，直线l垂直平分线段.
【点评】利用轴对称的性质解决问题，应该首先找准对应关系，特别是对应点的连线被对称轴垂直平分，应加深理解，也是作对称图形的依据.
例题2、学过轴对称和轴对称图形后，老师要求各学习小组出题供大家探究学习，学习小组1组出的题目是：如图，在△ABC中，AD所在的直线是对称轴，点B的对称点是C，点F的对称点是E.
问题（1）我们小组认为AF=AE，M是BC的中点，同学们认为呢？若正确请给出理由；若不正确，请举出反例.
（2）请你找出图中其他相等的线段和相等的角，并给出依据.
【分析】（1）根据轴对称的性质可以解决问题．
（2）关于AD所在直线对称的对应线段相等，对应角相等解决问题．
【解答】（1）正确．AD所在的直线是对称轴，
点B的对称点C，F的对称点是E；沿AD所在直线折叠，
AB、AC重合，AB=AC，BF=CE，所以AF=AE，D为BC的中点.
（2）AB=AC，AD=AE，BD=CE，DF=DE；
∠B=∠C，∠BFD=∠CED，∠BAD=∠CAD等
理由：轴对称（轴对称图形）的性质：对应线段相等，对应角相等．
【点评】本题考查轴对称的性质，注意轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等性质的运用．
【夯实基础】
1、下列图形中是轴对称图形的为（ ）
2、在下列四个轴对称图形中，对称轴多于一条的图形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、下列几何图形：①线段；②角；③射线；④三角形，其中一定是轴对称图形的为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
4、如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，若∠E=50°，则∠D的大小为（ ）
A．55° B．45° C．40° D．50°
5、在镜子中看到时钟显示的时间是 ，实际时间是 .
6、.画出下列各对称轴图形的对称轴.
7、如图，将一长方形ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在、的位置上，若∠1=62°，求∠2的度数.
【提优特训】
8.下列说法：
①如果一个图形是轴对称图形，那么它的对称轴是一条射线；
②如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形全等；
③如果两个图形关于某条直线对称，那么任何一对对应点所连线段被对称轴垂直平分；
④如果一个图形是轴对称图形，那么它的对称轴只有一条直线；
⑤如果两个图形全等，那么它们一定成轴对称.
其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.如图，已知△ABC和△ADE关于直线对称，有下列结论：①BC=DE；②直线垂直平分线CE；③∠BAC=∠DAE；④BC与DE延长线的交点一定在l上；⑤BC∥AD. 其中假命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.如图，在△ABC，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上点处，若∠1+∠2=100°，则∠A= .
11如图，AB=AC，D为BC的中点，点F、G在BC上，FD=GD，BC=6，AD=8，则阴影部分的面积是 .
12. 如图，在△ABC中，∠1=∠2，EP是AD的垂直平分线，交BC延长线于点P，连接AP，若∠B=50°，求∠3的度数.
13.数的运算中会有一些有趣的对称形式，
（1）按照等式①的形式填空，并检验等式是否成立.
①14×451=154×41；
②17×781= × ；
③25×572= × ；
④36×693= × .
（2）以上每个等式的两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数之间具有相同的规律，请你找到规律并填空：
①53× = × ；②72× = × .
14.在正方形网格上有一个△ABC.
（1）画关于直线MN的对称图形（不留痕迹，不写画法）；
（2）已知网格中的每个小正方形的边长为1，求的面积.
15.如图，牧马人从A地出发，先到草地某一处让马吃草，然后到河边饮马，最后回到B处的马厩中，请你画出最短路径.
【中考链接】
16、2018湖南邵阳4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
17、2018湖南永州2．（4分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（　　）
18、2018无锡5．（3分）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19、2018苏州3．（3.00分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）
20、2018年浙江省舟山市5．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（　　）
21、2018浙江省衢州、四川内江、湖南常德如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　）
A．112°　　　B．110°　　　C．108°　　D．106°
参考答案
1.A 2.C 3.B 4.D 5.12时56分25秒 8.B 9.A 10.50°
11.12 16.B 17.C 18.D 19.B 20.A 21.D
6.如图
7题解：
∵AD∥BC，
∴∠FEC=∠1=62°，
由折叠可得：．
∴
∴∠2=180°﹣=56°．
12.解：∵EP是AD的垂直平分线，
∴PA=PD
将△APE沿EP折叠后能和△DPE重合，
∴∠ADP=∠DAP.
∵∠ADP=∠1+∠B，∠DAP=∠2+∠3，
∴∠1+∠B=∠2+∠3
∵∠1=∠2
∴∠3=∠B=50°.
13.解：（1）②17×781= 187 × 71 ；
③25×572= 275 × 52 ；
④36×693= 396 × 63 .
（2）①53× 385 = 583 × 35 ；
②72× 297 = 792 × 27 .
14.解：（1）如图，
（2）
15.作法：1.作点A关于草地边沿MN的对称点，
2. 作点B关于河岸MD的对称点，
3.连接交MN、MD分别为P、Q，
4.连接AP、PQ、QB，
所以从A到P到Q到B路径最短.
图2
图1
例题1图②
例题1图①
例题2图
第4题图
第7题图
第11题图
第10题图
第9题图
第12题图
第14题图
第15题图
第21题图
第7题图
第12题图
第14题图
第15题图
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