2.2 等腰三角形（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

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浙江版八年级数学上册第2章特殊三角形
2.2 等腰三角形
【知识清单】
一、定义
1、等腰三角形：有两边相等的三角形是等腰三角形，如图1为等腰三角形；
2、等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，如图2为等边三角形，AB=BC=CA.
二、对称性
1、等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；
2、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
三、考点
等腰三角形的定义以及与等腰三角形有关的边角计算.
【经典例题】
例题1 ，如图，在△ABC中，
（1）请以AC所在的直线为对称轴，画出与△ABC成轴对称的；
（2）问是等腰三角形吗？请说明理由.
【分析】由轴对称的性质、尺规作图和等腰三角形定义可以解决问题.
【解答】（1）过点B作BD⊥AC于点D，延长BD到，使，所以B、是关于直线AC的对称点.
连接，就是所求三角形.
（2）是等腰三角形，理由如下：
由轴对称的性质可知直线AC垂直平分，
所以AB=CB=，
因此，是等腰三角形.
【点评】此题主要考查了尺规作图和等腰三角形的定义.
例题2，等腰三角形两边的差为10，底边和腰的和为26，求三角形的周长.
【分析】等腰三角形是有两边相等的特殊三角形，两边的差为10，要分两种情况讨论：（1）腰与底的差为10；（2）底与腰的差为10.最易出现的错误是漏解，只考虑第（1）种情况，而忽略第（2）种情况.
【解答】设等腰三角形的腰长为x，底长为y，
根据题意，得和
解方程组，得和
因为8+8＜18，所以8，8，18构不成三角形，舍去.
所以等腰三角形的边长为18，18，8，
三角形的周长为2x＋y=2×18＋8=44.
【点评】此题考查等腰三角形定义和三角形三边关系定理，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.分组讨论和三角形三边关系定理是解决问题的关键.
【夯实基础】
1、已知等腰三角形的两边长为3和6，则其周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．9或15
2、等腰三角形的底边长为18，则腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜9 B．x＞18 C．x＞9 D．9＜x＜18
3、若等腰三角形的腰长为5，则底边长不可能为（ ）
A．1 B．5 C．9 D．10
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线，对AD判定不正确的是（ ）
A．线段 AD是△ABC的高 B．直线AD是BC的垂直平分线
C．射线AD是△ABC 的对称轴 D．线段 AD是△ABC顶角的平分线
5、已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边的等腰三角形的周长为 .
6、等腰三角形的底边长为9，一腰上的中线将周长分为两部分的差为5，则其腰长为 .
7、在等腰三角形中，一腰上的高线与另一腰所成的锐角为40°，则顶角的度数为 .
8、等腰三角形ABC中，AB=AC=15，DE垂直平分AB，
（1）若△DBC周长为27，求BC的长；
（2）若BC=11，求△DBC的周长.
【提优特训】
9、在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，交BC于，
MN是边AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点M，P，N，
则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10、已知等腰三角形的底边BC的长为5cm，且，则腰长AC为（ ）
A．8cm B．2cm C． 2cm或8cm D．5 cm
11、等腰三角形的周长为15，且三边均为整数，则腰长为（ ）
A．7或6 B．6或5 C．7或6或5 D． 7或6或5或4
12、若等腰三角形的底边长与腰长的比为3︰2，其周长为35，则底边长为 .
13、如图，在△ABC中，AB=AC=CD，点D在BC上，且AD=BD，若△ABC的周长比△ACD的周长多6cm，AD=4 cm，则△ABC的周长为 cm.
14、如图，已知AD，BE是△ABC的高，相交于点H，
若AC=BH，求证：△ADB为等腰三角形.
15、已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为15 cm和18 cm的两部分，求它的三边长.
16、如图，在△ABC中，
（1）作∠ABC的平分线BD交AC于点D，作∠ACB的平分线CE交AB于点E；（不写作法，保留痕迹）
（2）若∠ABC=∠ACB，BD=CD，求证△ABC的等腰三角形.
17、如图，线段OD的一个端点O在直线l上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线l上，
这样的等腰三角形能画多少个？
（并用直尺与圆规画出相应的等腰
三角形，保留痕迹，不写作法）
18、如图，AB=DC，AC=DB，
（1）图①，△BOC是什么三角形？试说明理由.
（2）图②，延长BA，CD相交于P，连接PO并延长交BC于点E，
则PE与BC的位置关系是 .
19、在△ABC中，AB=BC=CA，∠1=∠2=∠3，延长，延长，延长，使，连接，，，
求证：是等边三角形.
【中考链接】
20、2018临沂11．（3分）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）
A． B．2 C．4 D．1
参考答案
1、B 2、C 3、D 4、C 5、30 6、14 7、50°或130° 9、C
10、A 11、D 12、15 13、24 20、B
8、解答：（1）∵在等腰△ABC，AB=AC =15，DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD＋CD=AC =15，
∵△DBC的周长=（BD＋CD）＋BC=27，即AC＋BC=27，
∴BC=27－AC=27－15=12；
（2）∵BC=11，由（1）知AD＋CD=BD＋CD=AC=15，
∴△DBC的周长=（BD+CD）＋BC=AC＋BC=15＋11=26．
14、证明：∵AD，BE是△ABC的高（已知），
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°（垂直定义）
∴∠1＋∠C=90°，∠2＋∠C=90°（直角三角形两个锐角互余）
∴∠1=∠2（等式的性质）.
在△BHD和△ACD中，
∵
∴△BHD≌△ACD（AAS）
∴BD=AD（全等三角形对应边相等）.
∴△ADB为等腰三角形（等腰三角形定义）.
15、解：设等腰三角形的腰长为2xcm，底边长为ycm,
根据题意，得和
解这两个方程组，得和.
所以等腰三角形三边长为10 cm、10 cm、13 cm或12 cm、12 cm、9 cm.
16、解：（1）如图，
（2）∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB平分线（已知），
∴，（角平分线定义）.
∵∠ABC=∠ACB（已知），
∴（等式的性质），
∴∠1=∠2（等量代换）.
在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）.
∴ △ABC的等腰三角形（等腰三角形定义）.
17、作法：1、以O为圆心，以OP为半径画弧与l交于两点，
2、 以P为圆心，以OP为半径画弧与l交于，
3、作线段OP的垂直平分线，交l于.
连接
因此，这样的等腰三角形一共有4个，分别是，，，.
18、解答：（1）△BOC是等腰三角形，理由如下：
在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
∴∠A=∠D（全等三角形对应角相等）.
在△AOB和△DOC中，
∵
∴△AOB≌△DOC（AAS）.
∴BO=CO（全等三角形对应边相等）.
（2）PE垂直平分BC.
19、证明：∵∠1=∠2=∠3（已知），
∴，，（平角定义），
即
∵AB=BC=CA，（已知），
∴（等式的性质），
即
在和和中，
∵
∴≌≌（SAS），
∴（全等三角形对应边相等），
∴是等边三角形.
图2
图1
例题1图②
例题1图①
第4题图
第8题图
第13题图
第9题图
第16题图
第14题图
第17题图
第18题图
第18题图
第19题图
第20题图
第8题图
第14题图
第16题图
第17题图
第18题图
第18题图
第19题图
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