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2.5 逆命题与逆定理
学习目标 1．经历逆命题的概念的发生过程． 2．了解逆命题、逆定理的概念． 3．会识别两个命题是不是互逆命题．会在简单情况下写出一个命题的逆命题． 4． 了解原命题成立，其逆命题不一定成立． 5． 理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明．
学习过程
请你仔细阅读表中的四个命题，填写表格并思考： 命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？
命题 条件 结论 命题真假
两直线平行， 同位角相等．
同位角相等， 两直线平行．
如果a＝b， 那么a2＝b2．
如果a2＝b2， 那么a＝b．
互逆命题的定义
互逆命题的关系
说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假． (1)长方形有两条对称轴． (2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具． 结论：
互逆定理的定义
请说出两对互逆的定理．
例1说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
例2说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．
1．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假． (1)同位角相等． (2)如果|a|＝|b|，那么a＝b． (3)等边三角形的三个角都是60°．
2．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等．
作业题
1．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题．
2．写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)等边三角形有一个角等于60°． (2)等腰三角形两腰上的高线长相等．
3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边．
4．写出定理"等腰三角形底边上的高线与中线互相重合"的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
5．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.5 逆命题与逆定理
学习目标
1．经历逆命题的概念的发生过程．
2．了解逆命题、逆定理的概念．
3．会识别两个命题是不是互逆命题．会在简单情况下写出一个命题的逆命题．
4． 了解原命题成立，其逆命题不一定成立．
5． 理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明．
学习过程
请你仔细阅读表中的四个命题，填写表格并思考：
命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？
命题
条件
结论
命题真假
两直线平行，
同位角相等．
同位角相等，
两直线平行．
如果a＝b，
那么a2＝b2．
如果a2＝b2，
那么a＝b．
互逆命题的定义
互逆命题的关系
说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假．
(1)长方形有两条对称轴．
(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具．
结论：
互逆定理的定义
请说出两对互逆的定理．
例1说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
例2说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．
1．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．
(1)同位角相等．
(2)如果|a|＝|b|，那么a＝b．
(3)等边三角形的三个角都是60°．
2．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理．
(1)等腰三角形的两个底角相等．
(2)内错角相等，两直线平行．
(3)对顶角相等．
作业题
1．下列说法对吗？请说明理由．
(1)每个定理都有逆定理．
(2)每个命题都有逆命题．
(3)假命题没有逆命题．
(4)真命题的逆命题是真命题．
2．写出下列命题的逆命题，并判断其真假．
(1)等边三角形有一个角等于60°．
(2)等腰三角形两腰上的高线长相等．
3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
4．写出定理"等腰三角形底边上的高线与中线互相重合"的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
5．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
(共23张PPT)
逆命题与逆定理
2.5 逆命题与逆定理
教学目标
1.经历逆命题的概念的发生过程．
2.了解逆命题、逆定理的概念．
3.会识别两个命题是不是互逆命题．会在简单情况下写出一个命题的逆命题．
4. 了解原命题成立，其逆命题不一定成立．
5. 理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明．
重点与难点
本节教学的重点是逆命题和逆定理的概念．
例1，写逆命题以及证明逆命题为真的表述均有难度，是本节教学的难点．
请你仔细阅读表中的四个命题，填写表格并思考：
命题（1）和命题（2），命题（3）和命题（4）的条件和结论有什么关系？
命题 条件 结论 命题真假
两直线平行， 同位角相等． 两直线平行 同位角相等 真命题
同位角相等， 两直线平行． 同位角相等 两直线平行 真命题
如果a=b， 那么a2=b2． a=b a2=b2 真命题
如果a2=b2， 那么a=b． a2=b2 a=b 假命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
互逆命题的关系：
1.交换任何一个命题的条件和结论，可组成一个新命题．
2.新命题与原命题之间有着互逆的因果关系．
3.两个互逆命题的真与假没有必然的联系，原命题为真，逆命题可能是真也可能是假；反过来，原命题为假，逆命题可能是真也可能是假．
说出下列命题的逆命题,并判定逆命题的真假．
(1)长方形有两条对称轴．
有两条对称轴的图形是长方形,是假命题.
(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具．
高速行驶时,不接触地面的交通工具是磁悬浮列车.是假命题.
结论：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．
请说出两对互逆的定理．
(1) 原定理：等边三角形三个内角都相等.
逆定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)原定理：同角（或等角）的补角相等.
逆定理：如果两个角相等,那么这两个角是同角（或等角）的补角.
例1说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
解：这个定理的逆命题是“到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．”
已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段4B的垂直平分线上．
证明：（1）当点P在线段AB上
时，结论显然成立：
（2）当点P不在线段AB上时，
作PC⊥AB于点O.
∵ PA=PB，PO⊥AB，
∵ OA=OB（等腰三角形底边上的三线合一）.
∴ PC是AB的垂直平分线，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上．
线段垂直平分线性质定理的逆命题是真命题，我们把它叫做线段垂直平分线性质定理的逆定理．
例2说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由.
解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.”
这个逆命题是假命题.举反例如下：
在△ABC和△ABE中，CD，EF
分别是△ABC和△ABE的AB边
上的高线，且CD=EF，
则△ABC和△A BE的面积相等，
但显然它们不全等．
所以这个逆命题是假命题．
1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.
(1)同位角相等．
逆命题:相等的两个角是同位角.
原命题为假，逆命题为假.
(2)如果|a|＝|b|，那么a＝b．
逆命题:如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜.
原命题为假,逆命题为真.
(3)等边三角形的三个角都是60°.
逆命题:三个角都是60°的三角形是等边三角形.
原命题、逆命题都是真命题.
2.下列定理中,哪些有逆定理 如果有逆定理,说出它的逆定理．
(1)等腰三角形的两个底角相等．
有逆定理．逆定理:如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
(2)内错角相等，两直线平行．
有逆定理.逆定理:两直线平行,内错角相等．
(3)对顶角相等．
无逆定理．
小结
下列说法对吗？请说明理由．
(1)每个定理都有逆定理．
(2)每个命题都有逆命题．
(3)假命题没有逆命题．
(4)真命题的逆命题是真命题．
解：(1)不正确．因为定理的逆命题不一定是真命题．
(2)正确．根据逆命题的定义可得．
(3)不正确．因为每个命题都有逆命题．
(4)不正确．真命题的逆命题真假都有可能．
写出下列命题的逆命题，并判断其真假．
(1)等边三角形有一个角等于60°．
(2)等腰三角形两腰上的高线长相等．
解：(1)有一个角等于60°的三角形是等边三角形，为假命题．
(2)如果一个三角形有两条高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，为真命题．
下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
解：(1)有逆定理．逆定理：两直线平行，同旁内角互补．
(2)没有逆定理．
写出定理"等腰三角形底边上的高线与中线互相重合"的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
解：如果一个三角形的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中，AD是高线也是中线．
求证：△ABC是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中，AD是高线也是中线．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD是高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AD是中线，
∴BD＝CD．
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
已知：如图，在△ABC中，DE，FH，MN分别为三边的垂直平分线．
求证：DE，FH，MN相交于一点．
证明：设DE与FH交于点P．
连结AP，BP，PC，
∵DE垂直平分BC，
∴PB＝PC(线段平分线上的
点到线段两端的距离相等)．
∵FH垂直平分AC，
∴PC＝PA(同理)，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线MN上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)，
∴DE，FH，MN相交于点P．
谢谢
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https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php课件23张PPT。逆命题与逆定理2.5 逆命题与逆定理教学目标1.经历逆命题的概念的发生过程．
2.了解逆命题、逆定理的概念．
3.会识别两个命题是不是互逆命题．会在简单情况下写出一个命题的逆命题．
4. 了解原命题成立，其逆命题不一定成立．
5. 理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明．重点与难点本节教学的重点是逆命题和逆定理的概念．
例1，写逆命题以及证明逆命题为真的表述均有难度，是本节教学的难点．
请你仔细阅读表中的四个命题，填写表格并思考：
命题（1）和命题（2），命题（3）和命题（4）的条件和结论有什么关系？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
互逆命题的关系：
1.交换任何一个命题的条件和结论，可组成一个新命题．
2.新命题与原命题之间有着互逆的因果关系．
3.两个互逆命题的真与假没有必然的联系，原命题为真，逆命题可能是真也可能是假；反过来，原命题为假，逆命题可能是真也可能是假．
说出下列命题的逆命题,并判定逆命题的真假．
(1)长方形有两条对称轴．
有两条对称轴的图形是长方形,是假命题.
(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具．
高速行驶时,不接触地面的交通工具是磁悬浮列车.是假命题.
结论：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题． 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．
请说出两对互逆的定理．
(1)?原定理：等边三角形三个内角都相等.
逆定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)原定理：同角（或等角）的补角相等.
逆定理：如果两个角相等,那么这两个角是同角（或等角）的补角.例1说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
解：这个定理的逆命题是“到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．”
已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段4B的垂直平分线上．
证明：（1）当点P在线段AB上
时，结论显然成立：
（2）当点P不在线段AB上时，
作PC⊥AB于点O.
∵ PA=PB，PO⊥AB，
∵ OA=OB（等腰三角形底边上的三线合一）.
∴ PC是AB的垂直平分线，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上．
线段垂直平分线性质定理的逆命题是真命题，我们把它叫做线段垂直平分线性质定理的逆定理．
例2说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由.
解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.”
这个逆命题是假命题.举反例如下：
在△ABC和△ABE中，CD，EF
分别是△ABC和△ABE的AB边
上的高线，且CD=EF，
则△ABC和△A BE的面积相等，
但显然它们不全等．
所以这个逆命题是假命题．
1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.
(1)同位角相等．
逆命题:相等的两个角是同位角.
原命题为假，逆命题为假.
(2)如果|a|＝|b|，那么a＝b．
逆命题:如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜.
原命题为假,逆命题为真.
(3)等边三角形的三个角都是60°.
逆命题:三个角都是60°的三角形是等边三角形.
原命题、逆命题都是真命题.
2.下列定理中,哪些有逆定理?如果有逆定理,说出它的逆定理．
(1)等腰三角形的两个底角相等．
有逆定理．逆定理:如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
(2)内错角相等，两直线平行．
有逆定理.逆定理:两直线平行,内错角相等．
(3)对顶角相等．
无逆定理．小结下列说法对吗？请说明理由．
(1)每个定理都有逆定理．
(2)每个命题都有逆命题．
(3)假命题没有逆命题．
(4)真命题的逆命题是真命题．
解：(1)不正确．因为定理的逆命题不一定是真命题．
(2)正确．根据逆命题的定义可得．
(3)不正确．因为每个命题都有逆命题．
(4)不正确．真命题的逆命题真假都有可能．写出下列命题的逆命题，并判断其真假．
(1)等边三角形有一个角等于60°．
(2)等腰三角形两腰上的高线长相等．
解：(1)有一个角等于60°的三角形是等边三角形，为假命题．
(2)如果一个三角形有两条高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，为真命题．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
解：(1)有逆定理．逆定理：两直线平行，同旁内角互补．
(2)没有逆定理．
写出定理"等腰三角形底边上的高线与中线互相重合"的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
解：如果一个三角形的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中，AD是高线也是中线．
求证：△ABC是等腰三角形．已知：如图，在△ABC中，AD是高线也是中线．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD是高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AD是中线，
∴BD＝CD．
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
已知：如图，在△ABC中，DE，FH，MN分别为三边的垂直平分线．
求证：DE，FH，MN相交于一点．证明：设DE与FH交于点P．
连结AP，BP，PC，
∵DE垂直平分BC，
∴PB＝PC(线段平分线上的
点到线段两端的距离相等)．
∵FH垂直平分AC，
∴PC＝PA(同理)，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线MN上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)，
∴DE，FH，MN相交于点P．
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1．下列说法对吗？请说明理由．
(1)每个定理都有逆定理．
(2)每个命题都有逆命题．
(3)假命题没有逆命题．
(4)真命题的逆命题是真命题．
答案：(1)不正确．因为定理的逆命题不一定是真命题．(2)正确．根据逆命题的定义可得．(3)不正确．因为每个命题都有逆命题．(4)不正确．真命题的逆命题真假都有可能．
2．写出下列命题的逆命题，并判断其真假．
(1)等边三角形有一个角等于60°．
(2)等腰三角形两腰上的高线长相等．
答案：(1)有一个角等于60°的三角形是等边三角形，为假命题．(2)如果一个三角形有两条高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，为真命题．
3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
答案：(1)有逆定理．逆定理：两直线平行，同旁内角互补．(2)没有逆定理．
4．写出定理"等腰三角形底边上的高线与中线互相重合"的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
答案：如果一个三角形的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中，AD是高线也是中线．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD是高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AD是中线，
∴BD＝CD．
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
5．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
答案：已知：如图，在△ABC中，DE，FH，MN分别为三边的垂直平分线．
求证：DE，FH，MN相交于一点．
证明：设DE与FH交于点P．
连结AP，BP，PC，
∵DE垂直平分BC，
∴PB＝PC(线段平分线上的点到线段两端的距离相等)．
∵FH垂直平分AC，
∴PC＝PA(同理)，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线MN上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)，
∴DE，FH，MN相交于点P．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1．下列说法对吗？请说明理由．
(1)每个定理都有逆定理．
(2)每个命题都有逆命题．
(3)假命题没有逆命题．
(4)真命题的逆命题是真命题．
答案：(1)不正确．因为定理的逆命题不一定是真命题．(2)正确．根据逆命题的定义可得．(3)不正确．因为每个命题都有逆命题．(4)不正确．真命题的逆命题真假都有可能．
2．写出下列命题的逆命题，并判断其真假．
(1)等边三角形有一个角等于60°．
(2)等腰三角形两腰上的高线长相等．
答案：(1)有一个角等于60°的三角形是等边三角形，为假命题．(2)如果一个三角形有两条高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，为真命题．
3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
答案：(1)有逆定理．逆定理：两直线平行，同旁内角互补．(2)没有逆定理．
4．写出定理"等腰三角形底边上的高线与中线互相重合"的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
答案：如果一个三角形的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中，AD是高线也是中线．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD是高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AD是中线，
∴BD＝CD．
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
5．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
答案：已知：如图，在△ABC中，DE，FH，MN分别为三边的垂直平分线．
求证：DE，FH，MN相交于一点．
证明：设DE与FH交于点P．
连结AP，BP，PC，
∵DE垂直平分BC，
∴PB＝PC(线段平分线上的点到线段两端的距离相等)．
∵FH垂直平分AC，
∴PC＝PA(同理)，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线MN上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)，
∴DE，FH，MN相交于点P．
