2.3 等腰三角形的性质定理 第2课时（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理
第2课时 等腰三角形的性质定理（2）
【知识清单】
1．等腰三角形的性质2：?
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.
2．等腰三角形三线合一灵活运用：
在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角的平分线四个元素中，任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．考点：
等腰三角形性质的综合应用.
【经典例题】
例题1，如图所示，根据等腰三角形的性质填空:在△ABC中，AB=AC.
(1) AD⊥BC于点D，若∠BAC=78°，BC=12 cm
则∠DAC= °， CD＝__ __cm；
(2) AD平分∠BAC，若BD=3.5 cm，
则BC= cm，∠ADB= °；
(3) AD是BC边上的中线，若∠BAD=39°，
则∠BAC=__，∠ADC＝__ __．
【考点】等腰三角形的性质2．
【分析】（1）由AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC即可得出结论；（2）根据AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，且平分BC即可推出结论；(3)AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，且AD⊥BC即可推出结论.
【解答】（1） 39° ，6； （2）7 ，90° ； （3）78° ，90°.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．
例题2，如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC上的中线AD与AC的中垂线PM相交于点P，点B沿直线EF折叠后与点P重合，试证明∠BFP=2∠BAC.
【考点】1. 翻折变换（折叠问题）；
2.角平分线和线段垂直平分线的性质；
3.等腰三角形的性质.
【分析】利用角平分线、线段垂直平分线的性质和等腰三角形
的性质得出，再利用AD是等腰三角形底边BC上的中线，也是底边BC的垂直平分线，得PB=PC，∠PBC=∠PCB.再根据翻折变换的性质得出BF=PF，∠FBP=∠FPB，进而求出结论：
【解答】证明：连接PC，
∵AD是底边BC上的中线（已知），
∴AD也是顶角∠BAC的平分线（等腰三角形三线合一）.
∴（角平分线定义）.
∵PM是 AC的中垂线（已知），
∴PA=PC（线段垂直平分线的性质定理）.
∴（等边对等角）.
∵AB=AC（已知），
∴（等腰三角形两个底角相等；三角形内角和定理）
∴
∵AD是底边BC上的中线（已知），
∴AD也是底边BC的垂直平分线（等腰三角形三线合一）.
∴PB=PC（线段垂直平分线的性质定理），
∴∠PBC=∠PCB（等边对等角）.
∵点B沿直线EF折叠后与点P重合，
∴BF=PF（折叠性质）
∴∠FBP=∠FPB=90°－∠BAC.
∴∠BFP=180°－2∠FBP=180-2（90°－∠BAC）
=2∠BAC.
【点评】?本题考查了翻折变换的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理和等腰三角形三线合一的性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
【夯实基础】
1、一个等腰三角形的底角是的顶角7倍，则其底角的度数为( )
A．84° B．88° C．94° D．98°
2、等腰三角形的一个外角为150°，则顶角的度数为( )
A．30° B．30°或120° C．120° D．40°或120°
3、已知一个三角形的三个外角中有两个相等，另一个与它相邻的内角相等，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4、某人从A点出发向正东方向行走30米到达B处，然后西南方向行走30米到达C处，连接AC，则∠ACB的大小为（ ）．
A．45° B．60° C．65° D．67.5°
5、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，AD为高，△ABE的等边三角形，连接EC交AD于F，则∠EFA的度数为 .
6、在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，BE平分∠ABC，DE与BE相交于点E，若∠1=32°，则∠2＝ °.
7、等边三角形的三条高线的交点、三条中线的交点、三条角平分线的交点是 .
8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，DM⊥AB于点M，
DN⊥AC于点N，（1）求证：DM=DN；
（2）若DM、DN分别为∠ADB和∠ADC的平分线，
那么DM=DN吗？
【提优特训】
9、如图，点D、E分别是BC和AC上的点，AB=AC，AD=AE，则，∠1与∠2的大小关系为（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1=2∠2 C. ∠1=3∠2 D. ∠1+∠2=90°
10、如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，连接AO，有如下命题：①∠1=∠2；②OE=OD；③∠3=∠4；④AD=DC；⑤AO所在的直线是线段BC的对称轴.其中是真命题的个数为（ ）.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11、如图，AB=AC，AE=ED=DB=BC，则最接近顶角∠A的度数为（ ）.
A.32° B.30° C.28° D.26°
12、如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，点F在AC上，延长BA至点E，使AE=AF，则AD与EF的位置关系是 ．
　 13、如图，∠BOC=7°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；
再以A3为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A4，得第4条线段A3A4；…
依这样规律画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是 .
14、在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，
AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC于点E，
交AD于F，求证：△FEC为等腰直角三角形.
15．阅读下列材料（利用面积证明几何题），并解决问题：
如图①，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， BH是腰AC上的高，请探究DE、DF、BH之间的数量关系，并加以证明．
证明：DE、DF、BH之间的数量关系是 DE+DF= BH.理由如下：
如图②，连接AD，则AD将△ABC分成△ABD和△ACD两个三角形，
∵△ABD的面积=△ACD的面积=
△ABC的面积=
△ABD的面积＋△ACD的面积=△ABC的面积.
即
∵AB=AC，∴DE＋DF= BH.
用上面的方法解决问题（两题选一题证明）：
（1）如图③在△ABC中，AB=AC，D是底边BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， CH是腰AB上的高，请探究DE、DF、CH之间的数量关系，并加以证明．
（2）如图⑤，△ABC是等边三角形，点P是△ABC内一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，AH是△ABC的高，求证：PD+PE+PF=AH.
16．如图，已知△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，点D为BC的中点，且∠EDB＝∠FDC，探究EF与BC的位置关系？并说明理由.
【中考链接】
17、2018?浙江台州5．（3分）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
18、2018?湖南湘潭12．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=　　．
19、2018?遵义14．（4分）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为　 　度．
20、2018浙江绍兴22．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
参考答案
1、A 2、B 3、C 4、D 5、60° 6、20° 7、同一点 9、B 10、C 11、D
12、AD∥EF 13、n=12 17、B 18、30° 19、37
8、证明：（1）∵AB=AC，AD是中线（已知），
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵DM⊥AB，DN⊥AC（已知），
∴DM=DN（角平分线性质）.
（2）相等，理由如下：
∵AB=AC，AD是中线（已知），
∴ AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）.
∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义）.
∵DM、DN分别为∠ADB和∠ADC的平分线（已知），
∴（角平分线定义）.
∴∠ADM=∠AND（等量代换）.
在△ADM和△ADN中，
∵
∴△ADM≌△ADN（ASA）．
∴DM=DN（全等三角形对应边相等）
14、?解：过点E作EM⊥AB于点M，
∵∠BAC=45°（已知），BF⊥AF（已知），
∴∠BFA=90°（垂直定义），
∴∠ABE=45°（三角形内角和定理），
∴∠MAE=∠MBE=45°（等量代换）
∵EM⊥AB（辅助线的作法），
∴∠AME=∠BME=90°（垂直定义）.
在△AME和△BME中，
∵
∴△AME≌△BNE（AAS）
∴AE=BE（全等三角形对应边相等）.
∵AB=AC（已知）， AD是∠BAC的平分线（已知），
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠EAF＋∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余），
∵BE⊥AC（已知），
∴∠EBC＋∠ACB =90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠EAF=∠EBC，（等量代换）
在△AEF和△BEC中，
∵
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
∴EF=EC（全等三角形对应边相等）
∵∠FEC=90°（已证），
∴△FEC为等腰直角三角形（等腰直角三角形定义）.
15、（1）解答：如图④，DE、DF、CH之间的数量关系是 DE－DF= CH.理由如下：
连接AD，
∵△ABD的面积△ACD的面积
△ABC的面积
△ABD的面积－△ACD的面积=△ABC的面积.
即
∵AB=AC，
∴DE－DF= CH.
（2）解答：如图⑥，连接AP， BP，CP，则将△ABC分成△ABP、△CDP、△CAP三个三角形，
∵△ABP的面积△CDP的面积△CAP的面积△ABC的面积
△ABP的面积＋△CDP的面积＋△CAP的面积=△ABC的面积.
即
∵AB=BC=AC，
∴PF＋PD＋PE=AH.
16、解答：EF∥BC，理由如下：
连接EB、FC，
∵△ABC和△DEF都是等腰三角形（已知），
∴∠1=∠4，∠DEF=∠DFE（等边对等角），
∵点D为BC的中点（已知），
∴BD=CD（中点定义），
在△DBE和△DCF中，
∵
∴△DBE≌△DCF（SAS）．
∴EB=FC（全等三角形对应边相等），
∴∠EBD=∠FCD，∠BED=∠CFD（全等三角形对应角相等）.
∴∠EBD－∠1=∠FCD－∠4（等量减等量差相等），
∴∠BED＋∠DEF =∠CFD＋∠DFE，（等量加等量和相等），
即∠EBP=∠FCQ，∠BEP=∠CFQ.
在△EBP和△FCQ中，
∵
∴△EBP≌△FCQ（ASA）．
∴∠5=∠6（全等三角形对应角相等）
∵∠5=∠2，∠6=∠3（对顶角相等），
∴∠2=∠3（等量代换）.
∴∠A＋∠2＋∠3=∠A＋∠1＋∠4（三角形内角和定理）.
∴2∠2=2∠1（等量代换）.
∴∠1=∠2（等式的性质）.
∴EF∥BC（同位角相等两直线平行）.
20、解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；
故∠B=50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90°≤x＜180°时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90°时，
若∠A为顶角，则∠B=（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60°时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．