2.4 等腰三角形的判定定理（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第2章特殊三角形
2.4 等腰三角形判定定理
【知识清单】
1．等腰三角形的判定：?
（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）等腰三角形的判定定理：有两内角相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对等边）.?
2．等边三角形的判定：?
（1）定义：有三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；?
（4）推论：有两个角都是60°的三角形是等边三角形.

【经典例题】
例题1， 如图，在△ABC中，AB=2AC，将△ABC绕着点A，逆时针旋转60°，到的位置，则︰= .
【答案】︰=2︰1
【考点】旋转的性质；等边三角形判定与性质．
【分析】由AB绕点A逆时针旋转60°至的位置，根据旋转的性质得，，则是等边三角形，得到，同理可得也是等边三角形，得到.则有︰=2︰1.
【解答】∵△ABC绕着点A，逆时针旋转60°（已知），
∴（旋转定义）.
∵（旋转变换是全等变换），
∴都是等边三角形（等边三角形的判定）.
∴（等边三角形三边都相等）.
∵AB=2AC（已知），
∴（等量代换）.
∴︰=2︰1（等式的性质）.
【点评】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定．理解并掌握旋转变换是全等变换和等边三角形的判定是解题的关键．

例题2 ，在△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC，求证：∠ACB=90°
【考点】等腰三角形的性质和判定；三角形全等的判定．
【分析】作∠ABC的平分线BD交AC于点D，过D作DE⊥AB于点E，构造等腰三角形和直角三角形；由角平分线定义可得，又因为∠ABC=2∠A，得到∠2=∠A，从而推出△DAB是等腰三角形；因为DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的三线合一可得DE是AB的垂直平分线，则有，因为AB=2BC，所以BC=BE=AE；再由（SAS），证得△BCD≌△BED，从而得到结论．
【解答】证明：过点B作∠ABC的平分线BD，交CA于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E.
∵BD平分∠CBA（辅助线的作法），
∴（角平分线定义）.
∵∠ABC=2∠A（已知），
∴∠1=∠2=∠A（等量代换）.
∴BD=AD（等边对等角）.
∵DE⊥AB（辅助线的作法），
∴（中点定义）.
∵AB=2BC（已知），
∴BC=BE=AE（等量代换）.
在△BCD和△BED中，
∵
∴△BCD≌△BED（SAS）．
∴∠BCD=∠BED=90°（全等三角形对应角相等）
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形全等三角形的判定和性质；正确作出辅助线是完成本题的关键．
【夯实基础】
1、 在△ABC中，已知∠A=55°，∠C=70°，则△ABC是（ ）.
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D． 直角三角形
2、下列说法错误的是（ ）
A．若三角形一个外角的平分线平行于第三边，则这个三角形一定是等腰三角形
B．有一个角为60的等腰三角形是等边三角
C．已知a、b、c是△ABC三边，且满足a︰b︰c=3︰3︰4，则△ABC是等腰三角形
D．有两个底角相等的三角形的等腰三角形
3、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，CE是∠ACB的平分线，交AB于E，交AD于F，则AE与AF大小关系是（ ）.
A．AE＞AF B．AE＜AF C．AE=AF D．不确定
4、在△ABC中，若∠B=∠A，则 = .
5、如果一个三角形有两个外角相等，那么这个三角形是 三角形.
6、如图，∠B=37°，∠ACD=143°，则△ABC是 三角形.


7、如图，点D在BC上，∠1=∠2，BE=CE，则AB与AC的大小关系是_______．
8、在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O，D、E分别是BC和AB边上的点，∠EOD=115°，
求证：（1）OB=OC，（2）EO=DO.

【提优特训】
9、在△ABC中，AB=AC，腰AB的中垂线MN与腰AC上的高的延长
线相交于点D，连接AD，若∠CAD=10°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10、如图，在△ABC中， AB=AC，BC=BE，AE=DE=DB，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是腰BC上的中线，过点C作AD的垂线，垂足为H，延长CH到E，使CE=AD，交AB于F，连接EB、FD，有如下结论：①∠EBC=90°；
②∠1=∠2；③EF=DF；④FH=CH；⑤四边形EBDH的面积等于三角形AHC的面积.其中正确的结论个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12、如图，△ABC中，BO与CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，OF∥AB，OG∥AC.过点O的直线与AB交于D，与AC交E，且DE∥BC，若DE=6，FG=3，则BC的长为 .
13、在钝角三角形ABC中，∠A=20°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到三角形，此时点在AB边上，点在BC的延长线上，则旋转角的大小为_______.?
14、上午9时，一轮船以每小时15海里的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P的方位是北偏东68°，按原来的方向继续航行，11时到达B处，
在B处测得灯塔P的方位是北偏东46°，
求B处到灯塔P的距离.
15、阅读下列材料（利用等腰三角形的性质和判定证明边
或角不等关系），并解决问题：
如图①，在△ABC中，∠ACB＞∠B，求证：AB＞AC（在一个三角形中，大角对大边）.
证明：如图②作∠1=∠B，CD交AB于点D，
∵∠1=∠B（辅助线作法），
∴BD=CD（等角对等边）.
在△ADC中，
∵AD+DC＞AC（三角形三边关系定理），
∴AD+DB＞AC（等量代换），
即AB＞AC.
解决问题（两题任选一题进行证明）：
（1）如图③，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠B（在一个三角形中，大边对大角）；
（2）如图⑤，在△ABC中，AB=BC=AC，点P的是△ABC内一点，若∠APB＞∠APC，
则PC＞PB.
16、如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，，求证：AC= BD＋CD．
17、在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和AC延长线上的点，连接DE交BC于F，若DE被BC平分，且 BD=CE，求证：AB=AC.
18、在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD的∠ABC的平分线，交AC于D，求证：AD＋DB=BC.

【中考链接】
19、2018广西桂林如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，
垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
20、2018福建5．（4.00分）16. 如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
参考答案
1、B 2、D 3、C 4、AC=BC 5、等腰三角形 6、等腰三角形 7相等
9、C 10、D 11、C 12、9 13、 19、A 20、3
8、证明：（1）∵AB=AC，∠A=50°，
∴.
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴.
∴.
∴.
∴OB=OC.
（2）∵
∴∠COD＋∠BOD=115°.
∵∠EOD=115°，
∴∠BOE＋∠BOD=115°.
∴∠COD=∠BOE.
在△BOE和△COD中，
∵
∴△BOE≌△COD（ASA）．
∴EO=DO（全等三角形对应边相等）.
14、解：∵AB=15×2=30（海里），
∠CAP=68°，∠DBP=46°，
∴∠PAE=22°，∠PBE=44°
∵∠PBE=∠PAE+∠P，
∴，
∴∠PAE=∠P
∴AB=PB=30（海里）
答：B处到灯塔P的距离是30海里.
15、（1）证明：如图④，在AB上截取AD=AC，连接DC，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB＞∠1
∵∠2＞∠B，
∴∠ACB＞∠B.
（2）证明：如图⑥，将△ABP绕着点A，逆时针旋转60°，
到△ACD的位置，连接PD，
∴AP=AD，PB=DC，∠APB=∠ADC.
∵∠PAD=60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AP=PD，∠APD=∠ADP=∠PAD=60°
∵∠APB＞∠APC，
∴∠ADC＞∠APC，
∴∠ADC-∠APD＞∠APC-∠ADP，
即∠PDC＞∠CPD，
∴PC＞DC，
∴PC＞PB.
16、证明：延长BD到E，使DE=DC，
BD+DC=BD+DE=BE.
∵，
∴，
∴.
即.
∵，
∴.
在△ADC和△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（SAS）．
∴AC=AE（全等三角形对应边相等）
∵AB=AC，∠ABD=60°，
∴AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AC=AB=BE=BD＋CD．
17、证明：过点D作DG∥AC，交BC于点G，
∴∠1=∠2（两直线平行同位角相等），
∴∠DGF=∠ECF（两直线平行内错角相等），
∵DE被BC平分（已知），
∴DF=EF（中点定义）.
在△DGF和△ECF中，
∵
∴△DGF≌△ECF（AAS）．
∴DG=CE（全等三角形对应边相等）.
∴BD=CE（已知），
∴BD=DG（等量代换）.
∴∠B=∠1（等边对等角）
∴∠B=∠2（等量代换）.
∴AB=AC（等角对等边）.
18、证明：在BC上截取BE=BA，连接DE，在BC上截取BF=BD，连接DF.
∵AB=AC，∠A=100°（已知），
∴（等腰三角形的性质）.
∵BD是∠ABC的平分线（已知），
∴∠1=∠2=20°（角平分线定义）.
在△ABD和△EBD中，
∵
∴△ABD≌△EBD（SAS）．
∴AD=ED（全等三角形对应边相等），
∴∠BED=∠A=100°（全等三角形对应角相等）.
∴∠3=180°－∠BED=180°－100°=80°（平角定义）.
∵BF=BD（辅助线作法）， ∠2=20°（已证），
∴∠4=（180°－∠2）÷2=（180°－20°）÷2=80°（等腰三角形的性质）.
∴∠3=∠4（等量代换），∴DE=DF（等角对等边），
∵∠4=∠C+∠5（三角形外角性质）.
∴80°=40°+∠5（等量代换），
∴∠5=40°（等式的性质），∴∠5=∠C（等量代换），
∴DF=CF（等角对等边），
∴AD=DE=DF=FC（等量代换）.
∴AD＋BD=BF＋FC=BC（等量加等量和相等）.