2.5 逆命题和逆定理（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第2章特殊三角形
2.5 逆命题和逆定理
【知识清单】
1、逆命题：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题.
2、逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.此时，这两个定理叫互逆定理.
3、线段垂直平分线性质定理逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
4、说明：
(1)任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；
(2)把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；
(3)原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然.
【经典例题】
例题1. 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题.
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)同角的补角相等
(3) 等底等高的三角形的面积相等.
【解析】(1)题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同位角相等”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行” ；
(2)题设是“如果两个角是同一个角的补角”，结论是“那么这两个角相等” ；逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”.
(3)题设是“如果两个三角形有一边和这边上的高相等”，结论是“那么这两个三角形的面积相等” ；逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形有一边和这边上的高相等”.
【点评】当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可.
例题2. 已知命题“在三角形中有两个角是锐角，则另一个角一定是钝角”.
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
(2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例.
【分析】根据三角形的内角和、钝角三角形的定义，进行判断即可．
【解答】（1）命题“在三角形中有两个角是锐角，则另一个角一定是钝角”是假命题，在一个三角形中，如果有两个角是锐角，则第三个可能锐角，也可能是直角，因此命题是假命题.例如在三角形中有两个角分别是50°、60°，则第三个角为70°.
（2）“如果三角形的中有一个角是钝角，那么另外两个角都是锐角”，这是一个真命题.
如：已知ΔABC中，∠A＞90.假设另两个角中至少有一个大于或等于90°，比如∠B≥90°，则必有
∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形三内角等于180°矛盾，所以另两个角一定都是锐角.
【点评】本题考查了命题与逆命题、定理与逆定理：正确写出命题的逆命题，理解三角形的内角和以及三角形的分类是解决问题的关键.
【夯实基础】
1、下列语句正确的是（ ）
A．所有定理都有逆命题 B．凡是命题都有真命题
C．真命题的逆命题一定是定理 D．假命题的逆命题一定不是真命题
2、下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的面积相等 B．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
C．直角都相等 D．两个负数的之积为正数
3、等腰三角形两底角相等的逆命题是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．有两个腰相等的三角形是等腰三角形
C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
D．有两个角相等的三角形是等腰三角形
4、下列定理有逆定理的是（ ）
A．等边三角形是等腰三角形 B．对顶角相等
C．同旁内角互补，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等
5、命题：“若x=2，则x（x-2）=0”的逆命题是：____________ _______．
6、命题“如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”这个命题的逆命题的条件是______ _____，结论是______ ____．
7、命题“如果a，b都是无理数，那么a+b一定是无理数”的条件是___________，结论是_________，这个命题的逆命题是___________．
8、写出符合下列条件的一个原命题：
（1）原命题和逆命题都是真命题．
（2）原命题是真命题，但逆命题是假命题．
【提优特训】
9、下列命题：
①在三角形中任意两边之和大于第三边；②同位角相等；③两个锐角之和大于直角；④在同一个三角形中，等边对等角.其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、已知下列命题：①若a+b=0，则a与b是互为相反数；②若a＞0，则；③两直线平行，内错角相等；④若，则．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11、 命题：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题的条件是____________，结论是 ．
12.如果两个图形的任何一对对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称的逆命题是____________ ____ ．
13.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.
(1)若xy=0，则x=0；

(2)有两个角是60°的三角形是等边三角形．

14、已知命题“若，则”．
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
(2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例.
15、已知命题“三角形一边的两个端点到这条边的中线或其延长的距离相等”．
(1)写出此命题的逆命题；
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”，“求证”，“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
16、如图，△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交于点P.
(1)求证：PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AB的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
【中考链接】
17、2018?重庆下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是 0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是 1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是 0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是 0
参考答案
1、A 2、B 3、D 4、C 9、B 10、C 17、A
5、逆命题是“若x（x-2）=0，则x=2.”
6、条件是：两个角相等或互补，结论是：这两个角的两边分别平行.
7、条件是a，b都是无理数，结论是a+b一定是无理数. 命题是命题“如果a+b是无理数，那么a，b一定都是无理数”.
8、写出符合下列条件的一个原命题：
（1）原命题和逆命题都是真命题．
内错角相等，两直线平行

（2）原命题是真命题，但逆命题是假命题．
等边三角形是锐角三角形
11、条件是：一个三角形的两个角互余，结论是这个三角形是直角三角形.
12、如果两个两个图形关于某条直线对称，那么对应点连线被对称轴线垂直平分.
13、写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.
(1)若xy=0，则x=0；
解：如果x=0，那么xy=0；是真命题.
(2)有两个角是60°的三角形是等边三角形．
解：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形有两个角是60°.是真命题
14、解答：（1）命题“若，则”是假命题.
∵当时，
∴.
当时，不能作除数，∴是假命题
（2）“若，则”是真命题.
∵不论取何值，都有意义，
∴总成立，∴是真命题
15、解答：（1）如果三角形一边的两个端点到这条边所对的顶点画出的一条射线或其延长线的距离相等，那么由顶点到这条边交点的线段是三角形的中线.
（2）是真命题.
如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠DEB=90°，
在△BED和△CFD中，
∵
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴所以命题（2）是真命题．
16、解答:（1）∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB=PC.
∵点P在AC的垂直平分线上，
∴ PC=PA
∴PA＝PB＝PC.
（2）点P在边AC的垂直平分线上.理由如下：
过点P作PE⊥AB于点E.
∵PA=PA，PE⊥AB，
∴AE=BE（等腰三角形三线合一）
∴PM是边AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
得出的结论：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.