第3章 圆的基本性质单元测试卷A（含解析）

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第三章圆的基本性质单元测试卷A
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
　
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列语句中不正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
3．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
4．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（　　）
A．2﹣ B． C．﹣1 D．1
5．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（0°＜α≤180°）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，旋转对称图形个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
7．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D（mm）用科学记数法可表示为（　　）mm．
A．4×104 B．0.4×105 C．20000 D．4×102
8．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲） 作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙） 连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
9．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
10．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（　　）
A． B． C． D．
　
第Ⅱ卷（非选择题）
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评卷人 得 分
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，则∠A的度数是　 　．
12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=22.5°，AB=6cm，则阴影部分面积为　 　．
13．如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=13，水面宽AB=24，则水的深度CD是　 　．
14．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数是　 　．
15．如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，则AM=　 　．
16．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为　 　．
17．如图，已知△ABC，外心为O，BC=6，∠BAC=60°，分别以AB、AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE、CD交于点P，则OP的最小值是　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为　 　．
　
评卷人 得 分
三．解答题（共6小题，46分）
19．（7分）如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的度数．
20．（7分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=　 　寸，CD=　 　寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
21．（7分）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．
22．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
23．（8分）如图，在 ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM=ND．
24．（10分）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
　
参考答案与试题解析
　
1．解：（1）两边一角，必须是夹角，错误；
（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
（3）应是对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
（4）两条直径一定互相平分，但是不一定垂直，错误；
只有（2）正确；
故选：A．
2．解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．故选D．
3．解：连接AC，
∵在⊙O中，AB是直径，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∵点P是上任意一点．
∴4≤AP≤5．
故选：A．
4．解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC=，
∴AB==2，
∴BD=2×=，
C′D=×2=1，
∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．
故选：C．
5．解：图1绕中心旋转60°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；
图2中，无论怎么样旋转都无法重合，除非旋转360度，但超出条件范围，故图2不是旋转对称图形；
图3绕中心旋转120°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；
图4绕中心旋转72°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形．
故选：C．
6．解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．
故选：C．
7．解：根据图形可知，两圆相切，
过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1=PO2=200
PO=R﹣50
根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2=（R+50）2
解得：R=200
∴D=2R=400=4×102．
故选：D．
8．解：甲，∵=，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，
∴、为此圆直径，
∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
9．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
10．解：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，
故选：B．
11．解：由AB=OC，得
AB=OB，
∠A=∠AOB．
由BO=EO，得
∠BEO=∠EBO．
由∠EBO是△ABO的外角，得
∠EBO=∠A+∠AOB=2∠A，
∠BEO=∠EBO=2∠A．
由∠DOE是△AOE的外角，得
∠A+∠AEO=∠EOD，
即∠A+2∠A=84°，
∠A=28°．
故答案为：28°．
12．解：连接OA，OB，
∵∠C=22.5°，
∴∠AOD=45°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOB=90°，
∴OE=AB=3，OA=OB=AB=3，
∴S阴影=S扇形﹣S△AOB=﹣6×3=π﹣9，
故答案为：π﹣9．
13．解：∵⊙O的半径OA=13，水面宽AB=24，OD⊥AB，
∴OD=OA=13，AC=AB=12，
在Rt△AOC中，OC===5，
∴CD=OD﹣OC=13﹣5=8．
故答案为：8．
14．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=32°，
∴∠BCD=32°，
故答案为：32°．
15．解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，
则EM=MA=MF，
由相交弦定理知，AB BC=EB BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AMB=90°，
由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64，
∴AM=6．
16．解：过点O作OD⊥AB，
∵∠AOB=120°，OA=2，
∴∠OAD==30°，
∴OD=OA=×2=1，AD===．
∴AB=2AD=2，
∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．
故答案为：﹣．
17．解：∵△ABD与△ACE是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠PDB+∠PBD=90°，
∴∠DPB=90°，
∴P在以BC为直径的圆上，
∵△ABC的外心为O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
如图，当PO⊥BC时，OP的值最小，
∵BC=6，
∴BH=CH=3，
∴OH=，PH=3，
∴OP=3﹣．
故答案为：3﹣．
18．解：连接P1O1，P2O2，P3O3…
∵P1 是⊙O2上的点，
∴P1O1=OO1，
∵直线l解析式为y=x，
∴∠P1OO1=45°，
∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，
同理，PnOn垂直于x轴，
∴ 为圆的周长，
∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，
∴OOn=2n﹣1，
∴= 2π OOn=π 2n﹣1=2n﹣2π，
当n=2017时，=22015π．
故答案为 22015π．
19．解：∵OB=OC∴∠OCB=∠OBC=40°（2分）
∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣40°﹣40°=100°（3分）
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+100°=150°（4分）
又∵OA=OC∴∠OAC==15°（6分）
20．解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；
故答案为：1，10；
（2）连接CO，如图所示：
∵BO⊥CD，
∴．
设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，
在Rt△CAO中，∠CAO=90°，
∴AO2+CA2=CO2．
∴（x﹣1）2+52=x2．
解得：x=13，
∴⊙O的直径为26寸．
21．证明：∵AD=BC，
∴，
∴，
即，
∴AB=CD．
22．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ADC=100°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．
23．证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°．
∴∠AEC+∠AFC=180°．
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，∠AEC=90°，则AC是直径，
设AC、BD相交于点O；
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB=OD，
∴OM=ON，
∴OB﹣OM=OD﹣ON，
∴BM=DN．
24．解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′ OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′ OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=4sin60°=2．
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