第3章 圆的基本性质单元测试卷B（含解析）

第三章圆的基本性质单元测试卷B
　
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．已知：G是⊙O的半径OA的中点，OA=，GB⊥OA交⊙O于B，弦AC⊥OB于F，交BG于D，连接DO并延长交⊙O于E．下列结论：
①∠CEO=45°；②∠C=75°；③CD=2；④CE=．
其中一定成立的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．下列说法中，不正确的是（　　）
A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等
B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°
C．在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大
D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是直径，AD是高交⊙O于F，连接BE、CF，下列结论正确的有几个？（　　）
①BE=CF；②AB?AC=AD?AE；③AD?DF=BD?CD；④AD2+BD2+FD2+CD2=AE2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（　　）
A．70° B．80° C．84° D．86°
5．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
A．72° B．108° C．144° D．216°
6．下列说法中错误的有（　　）个
①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；
②直角三角形只有一条高；
③在同圆中任意两条直径都互相平分；
④n边形的内角和等于（n﹣2）?360°．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（　　）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
8．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（　　）
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
9．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（　　）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
10．以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
　
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是　 　．
12．如图，AB是⊙O直径，CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影=　 　．
13．水平放置的一个圆形油管的截面直径为20cm，其中有油部分的油面宽为16cm，则截面上有油部分油的最大深度为　 　cm．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为　 　．
15．如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP?AM+BP?BN的值为　 　．
16．如图，将一块实心三角板和实心半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（∠AOB）为120°，BC的长为2，则三角板和量角器重叠部分的面积为　 　．
17．如图，已知△ABC，外心为O，BC=10，∠BAC=60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是　 　．
18．如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是　 　．
　
三．解答题（共6小题，46分）
19．（7分）如图所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD=78°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数．
20．（7分）如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=米．
（1）求此圆形门洞的半径；
（2）求要打掉墙体的面积．
21．（7分）如图，在⊙O中，=，∠1=45°，求∠2的度数．
22．（7分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，=，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．
23．（8分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段　 　．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=，求BC的长．
24．（10分）如图，点B在y轴上，BA∥x轴，点A的坐标为（5.5，4），⊙A的半径为2．现有点P从点B出发沿射线BA运动．
（1）当点P在⊙A上时，请直接写出它的坐标；
（2）设点P的横坐标为x，连接OP，试探究射线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
　
1．解：∵G是⊙O的半径OA的中点，OA=，
∴OG=，
∵OB=OC=OE=OA=，
∴OG=OB，
∴∠OBG=30°，∠BOG=60°，
∴∠A=30°，
∵DG=DG，∠DGO=∠DGA=90°，OG=GA，
∴△DGO≌△DGA（SAS），
∴∠DOG=30°；
同理可证得∠DOF=30°，
∴∠ODF=60°．
又∵同理可证△COF≌△AOF，
∴∠OCF=30°．
∴∠OCF+∠ODF=90°，
∴∠DOC=90°，
∴OC⊥OD，
又∵OC=OE，
∴∠OCE=∠CEO=45°，故①结论成立；
∴∠C=∠OCF+∠OCE=30°+45°=75°，故②结论成立；
∵在直角△COD中，=，
∵OC=，
∴CD=2，故③结论成立；
∵在直角△COE中，CE===，∴④结论成立；
综上所述，故选A．
2．解：A、在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等，正确；
B、在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，正确；
C、在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大，正确；
D、若两弧的度数相等，则这两条弧不一定是等弧，错误．
故选：D．
3．解：∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE=∠CAF，AB：AD=AE：AC，
∴=，AB?AC=AD?AE；
∴BE=CF，
故①②正确；
∵∠ABC=∠AFC，∠BAF=∠BCF，
∴△ABD∽△CFD，
∴AD：CD=BD：DF，
∴AD?DF=BD?CD；
故③正确；
∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
在Rt△CDF中，FD2+CD2=CF2，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
∵BE=CF，
∴AD2+BD2+FD2+CD2=AE2．
故④正确．
故选：D．
4．解：由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1，AB=AB1，∠BAB1=100°．
∵AB=AB1，∠BAB1=100°，
∴∠B=∠BB1A=40°．
∴∠AB1C1=40°．
∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°．
故选：B．
5．解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．
故选：B．
6．解：①三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，故错误；
②直角三角形也有三条高，有两条河直角边重合，故错误；
③在同圆中任意两条直径都互相平分，正确；
④n边形的内角和等于（n﹣2）?180°，故错误，
错误的有3个，
故选：B．
7．解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
8．解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故选：C．
9．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5
故选：B．
10．解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，黑圆在右上角，再按顺时针方向旋转180°，黑圆在左下角．
故选：A．
11．解：设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a，
所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，
因而半径的比是1：：：2，周长的比等于相似比，即半径的比，是1：：：2．
故答案为：1：：：2．
12．解：如图，CD⊥AB，交AB于点E，
∵AB是直径，
∴CE=DE=CD=，
又∵∠CDB=30°
∴∠COE=60°，
∴OE=1，OC=2，
∴BE=1，
∴S△BED=S△OEC，
∴S阴影=S扇形BOC==．
故答案是：．
13．解：油面宽为16cm，放在圆中可看成是弦长16，那么弦的位置有两种情况．油的最大深度也将有两种情况：
（1）用勾股定理算出油面到圆心的距离=6，再用半径减油面到圆心的距离：10﹣6=4；
（2）由（1）得油面到圆心的距离为6，再用半径加油面到圆心的距离：10+6=16．
所以填：4或16．
14．解：∵OA=OB，∠ABO=40°，
∴∠AOB=100°，
∴∠ACB=×（360°﹣100°）=130°，
故答案为：130°．
15．解：连接AN、BM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°．
∴BP2=MP2+BM2
∵AP?PM=BP?PN
原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP?PM+BP2+BP?PN
=AP2+BP2+2AP?PM
=AP2+MP2+BM2+2AP?PM
=BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36．
16．解：∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°
∵∠OCB=90°，BC=2，
∴OC==2，OB=4，
∴重叠部分的面积=+×2×2
=+2，
故答案为：+2．
17．解：如图，∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠PDB+∠PBD=90°，
∴∠DPB=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上，
∵外心为O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，又BC=10，
∴OH=，
所以OP的最小值是5﹣．
18．解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2==4，点A2的坐标为（4，0），
这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）
以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），
则的长是=．
故答案为：．
19．解：如右图所示，连接OB，
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=OB，∠1=∠A，
又OB=OE，∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A，
∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A，
即3∠A=78°，
∴∠A=26度．
20．解：（1）连结AD、BC，
∵∠BDC=90°，
∴BC是直径，
∴BC==
∴圆形门洞的半径为．
（2）取圆心O，连结OA．由上题可知，OA=OB=AB=，
∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB=60°，∠AOC=120°，
∴S△AOB=，S△AOC=
∴S=2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB
=2（﹣）+（﹣）
=π﹣
∴打掉墙体面积为π﹣平方米．
21．解：∵，
∴，
∴，
∴∠2=∠1=45°．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
∵=，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠ADC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=3．
23．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）作图如图：
∵点P为AC中点，
∴PA=PC=AC．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴BP=DP=AC，
∴PA=PB=PC=PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴，
∴AD=CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD=，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S△ABD=AB×h=2AB=6，
S△ABC=AB×BC=BC，
S△BDC=BC×h=2BC，S△ACD=S正方形ACEF=AC2=（BC2+9），
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD
∴BC+（BC2+9）=6+2BC
∴BC=5或BC=﹣3（舍去），
∴BC=5．
24．解：（1）点P的坐标为（3.5，4）或（7.5，4）；
（2）过点O作圆A的切线OM，切点为M，连接AM，则AM⊥OM，
由题意可知：OM与BA的交点为P，BP=x，
当点P在点A的左侧时，x＜5.5
点A的坐标为（5.5，4），
AP=5.5﹣x，OB=4，
圆A的半径为2，
∴AM=2，BA∥x轴，
∴∠OBP=90°，
∴∠AMP=∠OBP
∠APM=∠OPB，
∴△OBP∽△AMP，
∴
得OP=11﹣2x，Rt△OBP中，（11﹣2x）2=42+x2，
解得：x=3或x=（舍去）
当点P在点A的右侧时，x＞5.5，
同理可解得x=3（舍去）或x=，
∴当x=3或时，直线OP与圆A相切；
当0＜x＜3或x＞时相离；
当3＜x＜直线与圆相交．