2.8 直角三角形全等的判定
学习目标 1．探索两个直角三角形全等的条件． 2．掌握两个直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 3．探索并证明定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
学习过程
判定两个直角三角形全等，我们已经有几种方法？
有两条边对应相等的三角形全等吗？
如果是直角三角形呢？
已知线段(如图)，用直尺和圆规作，使．
已知：在△ACB和△A'C'B'中，∠C＝∠C'＝Rt∠，AB＝A'B'，AC＝A'C'． 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，则AB＝AC．请说明理由．
如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，AF＝BE，则CE＝DF．请说明理由．
已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
由此，我们可得到如下定理： 想一想，这个定理的逆定理是什么？
2．已知：如图，于点于点上一点，且 求证：
3．已知：如图，，． 求证：．
已知：如图，． 求证：平分．
已知：如图，在中，于点上一点，且 求证：(共19张PPT)
直角三角形
全等的判定
2.8 直角三角形全等的判定
教学目标
1.探索两个直角三角形全等的条件.
2.掌握两个直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
3.探索并证明定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
重点与难点
本节教学的重点是直角三角形全等的判定定理.
直角三角形全等的判定定理的证明用的是构造法，学生缺乏这方面的经验，较难形成思路，是本节教学的难点．
判定两个直角三角形全等，我们已经有几种方法？
一个锐角和一条直角边（包括相邻和相对）对应相等；一个锐角和一条斜边对应相等;两条直角边对应相等．
有两条边对应相等的三角形全等吗？
两条边对应相等的两个三角形不一定全等．
如果是直角三角形呢？
两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．
可以通过作图、叠合等方法进行探索．
已知线段,(如图),用直尺和圆规作
,使,,.
已知：在△ACB和△A'C'B'中，∠C=∠C'=Rt∠，AB=A'B'，AC=A'C'．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
A
B
C
A’
B’
C’
证明：延长BC至D，使CD=B’'C，连结AD.
∵ AC=A'C'（已知），
∠ACD=Rt∠=∠C'，
∴ △ADC≌△A'B'C'（SAS），
∴ AD=A'B'（全等三角形的对应边相等）。
∵ A‘B’=AB（已知）.
∴ AD=AB.
又∵ AC⊥BD，
∴ BC=CD（等腰三角形三线合一）。
而AC=AC（公共边），
∴ △ADC≌△ABC（SSS），
∴ △ABC≌△A'B'C又ACLBD，
∴ BC=CD（等腰三角形三线合一）。
而AC=AC（公共边），
∴ △ADC≌△ABC（SSS），
∴ △ABC≌△A'B'C'.
A
B
C
A’
B’
C’
D
A
B
C
D
E
F
已知：△ABC与△DEF为Rt△，且AB=DE，AC=DF．
求证：△ABC≌△DEF．
一般地，直角三角形全等还有下面的判定方法：
斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等
（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
共有五种：SAS，ASA，AAS，SSS，HL.
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF，则AB=AC．请说明理由．
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ △BDE和△CDF都是Rt△.
又∵ BD=CD（已知），
DE=DF（已知），
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴ ∠B=∠C，
∴ AB=AC．
如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD，AF=BE，则CE=DF．请说明理由．
解：∵ CE⊥AB，DF⊥AB，
∴ △AEC和△BFD都是Rt△.
∵ AF=BE（已知），
∴ AF-EF=BE-EF，即AE=BF.
又∵ AC=BD（已知），
∴ Rt△AEC≌Rt△BFD（HL），
∴ CE=DF．
A
D
E
C
B
F
已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴ ∠PDO=∠PEO=Rt∠.
又∵ OP=OP（公共边），
PD=PE（已知），
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
∴ ∠DOP=∠EOP，
即点P在∠AOB的平分线上．
由此，我们可得到如下定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
几何语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OE，且PD=PB，
∴ OP平分∠AOB．
想一想，这个定理的逆定理是什么？
角平分线上的红开到角两边的距离相等．
已知:如图,于点,于点,是上一点,且,.
求证:.
证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠B＝∠D＝Rt∠(垂直的意义).
∵AP⊥PC,
∴∠APB+∠CPD＝90°.
又∠APB+∠A＝90°,
∴∠CPD＝∠A(同角的余角相等).
∵AP＝PC(已知),
∴△ABP≌△PDC(AAS).
已知:如图,,,
.
求证:.
证明：在△ACD中,
∵∠1＝∠2,
∴AC＝AD．
在Rt△ABC和Rt△AED中,
AB＝AE,AE＝AD,
∴Rt△ABC ≌Rt△AED(HL),
∴∠3＝∠4(全等三角形的对应角相等).
已知:如图,,.
求证:平分.
证明:∵∠1＝∠2(已知),
∴BD＝CD(在同一个三角
形中,等角对等边).
∵BD⊥AB,DC⊥AC,
∴AD平分∠BAC(角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．
求证：．
证明：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=Rt∠．
在Rt△BDF与Rt△ADC中，
∵ BF=AC，DF=DC，
∴ Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)．
∴ ∠FBD=∠CAD．
∵ ∠CAD+∠C=90°，
∴ ∠FBD+∠C=90°，
∴ ∠BEC=90°，即BE⊥AC．
