2.6 直角三角形（2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第2章特殊三角形2.6直角三角形
第2课时 直角三角形（2）
【知识清单】
1、直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.?
2、直角三角形的判定：?
（1）有一个角为直角的三角形是直角三角形；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）一条边上的中线等于这条边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形，(但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题.)?
3、灵活运用特殊三角形的性质和判定：
（1）学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆.一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；
（2）直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来很多方便.
4、考点：等腰三角形和直角三角形性质和判定.
【经典例题】
例题1，如图，AD∥BE，∠1=∠2， ∠3=∠4， ∠5=∠2，求证：ΔBCM是直角三角形.
【考点】平行线的性质，直角三角形的判定．
【分析】先通过证明∠1＋∠3=90°，证得ΔABC是直角三角形.
在由∠5=∠2=∠1，得出∠5＋∠3=90°，从而得到ΔBCM是直角三角形.
【解答】∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE=180°.
∵BC、AC分别是∠ABE和∠BAD的平分线，
∴，.
∴
.
∴ΔABC是直角三角形.
又∴∠5=∠2，∠1=∠2.
∴∠5=∠1.
∵∠1＋∠3=90°，
∴∠5＋∠3=90°.
∴∠AMC=90°.
∴ΔBCM是直角三角形.
【点评】要证明ΔBCM是直角三角形，先要证明ΔABC是直角三角形，其关键是证明三角形两个锐角互余．
例题2，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，DB=18cm，求AC的长？
【考点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形．
【分析】连接AD，由ED为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得出DA=DB=18cm，再根据等边对等角可得∠DAB=∠B，由∠B=15°得出∠DAB=15°，又∠ADC为△ABD的外角，根据外角的性质求出∠ADC为30°，在直角△ADC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边AD的长即可求出直角边AC的长．
【解答】连接AD，如图所示：
∵ED是AB垂直平分线，且DB=18cm，
∴DA=DB=18 cm，
∵又∠B=15°，
∴∠DAB=∠B=15°，
∵∠ADC为△ADB的外角，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，
又∠C=90°，
∴△ACD为直角三角形，∴．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，其中连接出辅助线AD构造含30°直角三角形是解本题的关键．
【夯实基础】
1、下列判断不正确的是( )；
A．有一个角为直角的三角形是直角三角形
B．有两个角互余的三角形是直角三角形
C．如果三角形一条边上的中线等于该边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形
D．有一个角等于45°的三角形的是直角三角形
2、在ΔABC中，∠BAC=90°，延长CB到D，使BD=BA，延长BC到E，使CE=CA，则∠DAE的度数为( )
A．90° B．115° C．135° D．150°
3、如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AD是BC上的高，垂足为D，点F、E分别是AB、AC的中点，则∠EDF的度数为（ ）
A．80° B．90° C．95° D．100°
4、如图，已知△ABC是等腰直角，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BCB′等于（ ）．
A．45° B．60° C．70° D．75°
5、如图，在ΔABC中，点D、E在边AB上，∠A=25°，∠B=50°，∠BCE=15°，DC=BC，则ΔACE是 .
6、如图，在ΔABC中，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接BE，
若∠CBE︰∠EBD︰∠BED=2︰3︰5，则ΔABC是 .
7、如图，∠BAC=30°，AP是∠BAC的平分线，过P作PE∥AB交AC于E，作PD⊥BA，垂足为D，PE=6cm，则PD=______．
8、在ΔABC中，AD、BD、CD分别是∠BAC、∠ABC、∠BCA的平分线相交于点D，若∠ABC=2∠ACB，
求证：AC=AB+BD.
【提优特训】
9、给出下列命题：①三角形一条中线将三角形分成面积相等的两部分；②直角三角形中，30角所对的边，等于另一边的一半；③有一边相等的两个等边三角形全等；④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的直角三角形.其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠B=30°，则BD等于（ ）
A．5DC B．4DC C．3DC D．2DC
11、如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，绕点C按顺时针方向旋转角α到的位置，其中，分别是A、B的对应点，在AB上，CA交于D，若，则∠A等于（ ）
A．32° B．30° C．25° D．22.5°
12、如图，在ΔBDE中，BD=ED，点G在DE上，延长BD到A，使DA=DG，连接AG并延长AG，交BE于C，则ΔABC为 .
13、在ΔABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将ΔBDC沿直线DC折叠，点B落在点E的位置，连接AE，若ED⊥AD，则∠AEC的度数是 .
14、阅读下列材料，并解决问题：
如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，两条直角边AB=a，AC=b，斜边BC=c， 斜边上的高AD=h， 下列结论一定成立的是（ ）
A. ab=h2 B. ab=ch C. a+b=h+c D. ah=cb
解答：∵ΔABC是直角三角形，
∴ΔABC的面积=.
又∵AD是斜边BC上的高，
∴ΔABC的面积=.
∴，
∴.
故选B.
根据上面的结论解决下列问题：
（1）已知一直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，斜边上的高为4.8，求斜边的长；
（2）已知一等腰直角三角形的斜边为c，直角边为a，斜边上的高为h，若h=6，求直角边a的长度.
15、在ΔABC中，∠BAC=90°，AD是BC上的高，AE是BC是的中线，若∠BAD︰∠CAD=3︰1，
求证：AD=ED.
16、如图，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是DC的中点，
求证：AE=BE.
17、在ΔABC中，∠B=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC于点D，
已知DC=5cm，求AB的长.
18、在ΔABC中，AD是BC边的中线，∠BAC=120°，DA⊥CA于A，求证：AB=2AC.
【中考链接】
19、2018包头8．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（　　）
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
　 20、2018广安14．（3.00分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=　 　．
21、（2018年湖南省娄底市）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　 　cm．
22、2018广西玉林17．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是　 　．
参考答案
1、D 2、C 3、B 4、D 5、直角三角形 6、直角三角形 7、3cm 9、C 10、C 11、D
12、直角三角形 13、112.5° 19、D 20、2 21、6 22、 2＜AD＜8
8、证明：过点D，作DE∥BC交AC于E，
∵DE∥BC,
∴∠2=∠4.
∵DC是∠ACB的平分线，
∴.
∴∠2=∠3，
∴ED=CE，
∵∠1是EDC的外角，
∴∠1=∠2+∠3=∠4+∠3=∠ACB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴.
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABD=∠1.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△AED中，
∵
∴△ABD≌△AED（AAS）
∴AB=AE，BD=ED.
∴AB+BD=AE+ED=AE+EC=AC.
14、解：（1）设两条直角边分别为a、b，a=6，b=8，斜边上的为h，h=4.8，斜边为c，
据上面的结论可得，
即
解得，c=10.
所以斜边的长为10.
（2）∵三角形是等腰直角三角形，h=6，
∴由等腰三角形三线合一定理可得，
∴.
∴据上面的结论可得，
∴
∴直角边a的长度.
15、证明：由∠BAD︰∠CAD=3︰1，
设∠CAD=x，∠BAD=3x；
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°.
∴3x+x=90°.
解得，x=22.5°.
∴∠CAD=x=22.5°.
∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠C=90°－∠DAC=90°－22.5°=67.5°，
∵AE是BC是的中线，
∴AE=EC=BE，
∴∠EAC=∠C=67.5°.
∴∠AEC=180°－∠EAC－∠C=180°－67.5°－67.5°=45°.
∴∠EAD=90°－∠AED=90°－45°=45°.
∴∠AEC=∠EAD.
∴AD=ED.
16、证明：延长AE交BC的延长线于点F，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCE
∵点E是DC的中点，
∴ DE=CE.
在△ADE和△FCE中，
∵
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AE=FE.
∴E是AF的中点，
∵∠ABC=90°，
∴AE= BE =FE.
17、解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=90°－∠B=90°－30°=60°.
∵∠BAC=105°，
∴∠CAD=∠BAC－∠BAD=105°－60°=45°.
∴∠C=90°－∠CAD=90°－45°=45°.
∴∠CAD=∠C.
∴AD=DC=5cm，
RtΔABD中，∵∠B=30°，
∴
∴AB=2AD=2×5=10 cm.
18、证明：过点B作BE垂直于AD的延长线于点E，
可得∠BEA=90°.
∵ DA⊥CA，
∴∠DAC=90°， ∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠BAC=120°，
∴∠BAE=∠BAC－∠DAC=120°－90°=30°，
在直角三角形ABE中，
∵∠BAE=30°，
∴
∴AB=2BE.
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在△BED和△CAD中，
∵
∴△BED≌△CAD（AAS）
∴BE=AC.
∴AB=2AC.