3.3 垂径定理同步课时作业（2）
图片预览
文档简介
3.3 垂径定理同步课时作业（2）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是( )
A． ①②?③④ B． ①③?②④ C． ①④?②③ D． ②③?①④
3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )
A． AE＝BE B． C． OE＝DE D． ∠DBC＝90°
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A． 10cm B． 10cm C． 10cm D． 8cm
5．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2，则⊙O的半径为（ ）
A． 8 B． 5 C． 2.5 D． 6
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是( )
A． AE的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点 B． AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点
C． AE的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点 D． AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点
7．如图，⊙的直径， 是圆上任一点（、除外），的平分线交⊙于，弦过、的中点、，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 是半圆的直径， 为弦， 于，过点作交半圆于点，过点作于，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC的内部，AB=2， OC=1，则圆O的半径为（ ）
A． ?????B． 2???? ? C． ?? D．
二、填空题
10．如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用________次，就可以找到圆形工件的圆心．
11．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=15°，AB=6 cm，则⊙O半径为________cm．
12．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．
三、解答题
13．用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
14．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
15．如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
16．如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，0D交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度．
参考答案
1．B
【解析】试题解析：（l）垂直于弦的直径平分弦，故本选项错误；
（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，故本选项错误；
（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．故本选项正确；
其中正确的命题有1个.
故选A．
2．B
【解析】试题分析：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧，故本题选B．
3．C
【解析】∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，AB是弦，
∴AE=BE，弧 AD=弧BD，∠DBC＝90°，
∴AD=BD，
∴A、B、D正确.
无法说明OE=DE,故C不一定正确.
故选C.
4．B
【解析】根据垂径定理及推论,作弦心距，构造直角三角形，根据勾股定理求解.
解：如图，过点O作OH⊥EF交EF于H.
设OF=xcm, 由题意知，⊙O和BC相切，则H,O,G三点在一条直线上. ∵EF＝CD＝16 根据垂定定理得HF=8， 在RtΔOHF中，
OF2=OH2+HF2，
x2=82+(16-x)2解得x=10 故选B．
“点睛”解本题的关键是作辅助线弦心距，构造直角三角形，这个直角三角形的斜边是半径，另两条边分别为弦心距和弦的一半，再根据解直角三角形解题.
5．B
【解析】分析：设⊙O的半径为x，根据垂径定理的逆定理可得OD⊥BC，DC=BC=4，在Rt△ODC中，根据勾股定理列出方程，解方程求得x的值，即可得⊙O的半径的长.
详解：
设⊙O的半径为x，
∵E点是的中点，O点是圆心，
∴OD⊥BC，DC=BC=4，
在Rt△ODC中，OD=x﹣2，
∴OD2+DC2=OC2
∴（x﹣2）2+42=x2
∴x=5，即⊙O的半径为5；
故选B．
点睛：本题考查了垂径定理的推论：过圆心平分弧的直径垂直平分弦（不是直径）．也考查了勾股定理和方程思想．
6．C
【解析】连接AD,作AE的中垂线交AD于O,连接OE,
∵AB=AC,D是边BC的中点,∴AD⊥BC,∴AD是BC的中垂线,
∵BC是圆的切线,∴AD必过圆心,
∵AE是圆的弦,∴AE的中垂线必过圆心,
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点,故选C．
7．A
【解析】∵是的角平分线，
∴，
∴弧弧，
∴，
又∵是直径，
∴，即为等腰直角三角形．
连接，交于点，则，
∵， 是， 的中点，
∴，
∴， ，
连接根据勾股定理，得
， ．
故答案为： ．
故选．
8．C
【解析】∵， ，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
故选．
9．D
【解析】试题解析：延长CO交AB于点D，连接OA，OB．
∵△ABC为正三角形， ∴CA=CB，∵CO=CO，OA=OB， ∴△ACO≌△BCO， ∴∠ACO=∠BCO，∵CA=CB， ∴CD⊥AB， ∵AB=2， ∴AD=， ∴CD=3， ∵OC=1， ∴OD=2， ∴OA=， 故选D．
10．2
【解析】分析：根据垂径定理的推论可得，MN所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
详解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心． 故利用这样的工具最少使用2.次．
故答案为：2.
点睛：此题主要考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
11．6
【解析】试题解析：连接OA，如图所示
则∠AOE=2∠C=30°，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE=AB=3cm，
∴OA=2OE=6cm，
即⊙O半径为6cm.
12．
【解析】分析：根据平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，可得OE⊥AC，AE＝AC，设OE＝x，在Rt△OAE中根据勾股定理列出方程求解即可．
详解：∵点D平分弧AC，OD为半径，
∴OE⊥AC，AE＝AC＝2.5，
设OE＝x，则OA＝OD＝1.5＋x，
在Rt△OAE中由勾股定理得：
2.52＋x2＝(1.5＋x)2，
解得：x＝，
即OE＝．
故答案为：．
点睛：本题主要考查了垂径定理的推论：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．根据推论构造出直角三角形是解决此题的关键．
13．20㎝．
【解析】试题分析：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，根据题意得出四边形ABCD为矩形，根据垂径定理得出PA=8cm，PE=4cm，然后根据Rt△AOP的勾股定理求出OA的值，从而得出圆的直径.
试题解析：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ACDB是矩形
∵CD=16cm，PE=4cm
∴PA=8cm，BP=8cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2
即OA2=82+（OA﹣4）2
解得：OA=10．
答：这种铁球的直径为20cm．
14．证明见解析.
【解析】试题分析: 根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，由于AB=CD，则AE=CF，然后根据“HL”可判断Rt△AEO≌Rt△COF，于是得到OE=OF．
试题解析:
证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．
15．.
【解析】试题分析：由AB⊥CD，CF⊥AD，根据垂径定理判定△ACD为等边三角形，然后根据边角关系求出DE的长，进而求出CD的长．
解：连接AC
∵AB⊥CD
∴CE＝DE（垂径分弦）
∴AB垂直平分CD
∴AC＝AD，
∵CF⊥AD， ∴AF＝DF（垂径分弦），
∴CF垂直平分AD，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠DCF＝∠ACD＝30°，
∵CO＝AO＝AB＝1，
∴DE=CE＝CO×＝；
∴CD＝2DE＝．
点睛：本题主要考查了圆中的垂径定理的应用，解直角三角形以及等边三角形的性质；根据题意由垂径定理判定△ACD为等边三角形是解题的关键；本题中用到了圆与三角形的性质，属于中等题型．
16．
【解析】试题分析：连接BC，设OD＝OA＝x，在Rt△AEO中，根据 求出x的值，在Rt△ABC中求出BC的长度，再Rt△CBE中求BE的长度；
试题解析：
解：如图，连接BC
D是弧AC的中点
OD垂直平分AC
EA=EC=
设OD=OA=x，则OE=x-2，
即，
解得x=5
AB=2OA=10
答：BE的长度为.
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是( )
A． ①②?③④ B． ①③?②④ C． ①④?②③ D． ②③?①④
3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )
A． AE＝BE B． C． OE＝DE D． ∠DBC＝90°
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A． 10cm B． 10cm C． 10cm D． 8cm
5．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2，则⊙O的半径为（ ）
A． 8 B． 5 C． 2.5 D． 6
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是( )
A． AE的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点 B． AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点
C． AE的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点 D． AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点
7．如图，⊙的直径， 是圆上任一点（、除外），的平分线交⊙于，弦过、的中点、，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 是半圆的直径， 为弦， 于，过点作交半圆于点，过点作于，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC的内部，AB=2， OC=1，则圆O的半径为（ ）
A． ?????B． 2???? ? C． ?? D．
二、填空题
10．如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用________次，就可以找到圆形工件的圆心．
11．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=15°，AB=6 cm，则⊙O半径为________cm．
12．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．
三、解答题
13．用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
14．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
15．如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
16．如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，0D交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度．
参考答案
1．B
【解析】试题解析：（l）垂直于弦的直径平分弦，故本选项错误；
（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，故本选项错误；
（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．故本选项正确；
其中正确的命题有1个.
故选A．
2．B
【解析】试题分析：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧，故本题选B．
3．C
【解析】∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，AB是弦，
∴AE=BE，弧 AD=弧BD，∠DBC＝90°，
∴AD=BD，
∴A、B、D正确.
无法说明OE=DE,故C不一定正确.
故选C.
4．B
【解析】根据垂径定理及推论,作弦心距，构造直角三角形，根据勾股定理求解.
解：如图，过点O作OH⊥EF交EF于H.
设OF=xcm, 由题意知，⊙O和BC相切，则H,O,G三点在一条直线上. ∵EF＝CD＝16 根据垂定定理得HF=8， 在RtΔOHF中，
OF2=OH2+HF2，
x2=82+(16-x)2解得x=10 故选B．
“点睛”解本题的关键是作辅助线弦心距，构造直角三角形，这个直角三角形的斜边是半径，另两条边分别为弦心距和弦的一半，再根据解直角三角形解题.
5．B
【解析】分析：设⊙O的半径为x，根据垂径定理的逆定理可得OD⊥BC，DC=BC=4，在Rt△ODC中，根据勾股定理列出方程，解方程求得x的值，即可得⊙O的半径的长.
详解：
设⊙O的半径为x，
∵E点是的中点，O点是圆心，
∴OD⊥BC，DC=BC=4，
在Rt△ODC中，OD=x﹣2，
∴OD2+DC2=OC2
∴（x﹣2）2+42=x2
∴x=5，即⊙O的半径为5；
故选B．
点睛：本题考查了垂径定理的推论：过圆心平分弧的直径垂直平分弦（不是直径）．也考查了勾股定理和方程思想．
6．C
【解析】连接AD,作AE的中垂线交AD于O,连接OE,
∵AB=AC,D是边BC的中点,∴AD⊥BC,∴AD是BC的中垂线,
∵BC是圆的切线,∴AD必过圆心,
∵AE是圆的弦,∴AE的中垂线必过圆心,
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点,故选C．
7．A
【解析】∵是的角平分线，
∴，
∴弧弧，
∴，
又∵是直径，
∴，即为等腰直角三角形．
连接，交于点，则，
∵， 是， 的中点，
∴，
∴， ，
连接根据勾股定理，得
， ．
故答案为： ．
故选．
8．C
【解析】∵， ，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
故选．
9．D
【解析】试题解析：延长CO交AB于点D，连接OA，OB．
∵△ABC为正三角形， ∴CA=CB，∵CO=CO，OA=OB， ∴△ACO≌△BCO， ∴∠ACO=∠BCO，∵CA=CB， ∴CD⊥AB， ∵AB=2， ∴AD=， ∴CD=3， ∵OC=1， ∴OD=2， ∴OA=， 故选D．
10．2
【解析】分析：根据垂径定理的推论可得，MN所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
详解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心． 故利用这样的工具最少使用2.次．
故答案为：2.
点睛：此题主要考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
11．6
【解析】试题解析：连接OA，如图所示
则∠AOE=2∠C=30°，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE=AB=3cm，
∴OA=2OE=6cm，
即⊙O半径为6cm.
12．
【解析】分析：根据平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，可得OE⊥AC，AE＝AC，设OE＝x，在Rt△OAE中根据勾股定理列出方程求解即可．
详解：∵点D平分弧AC，OD为半径，
∴OE⊥AC，AE＝AC＝2.5，
设OE＝x，则OA＝OD＝1.5＋x，
在Rt△OAE中由勾股定理得：
2.52＋x2＝(1.5＋x)2，
解得：x＝，
即OE＝．
故答案为：．
点睛：本题主要考查了垂径定理的推论：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．根据推论构造出直角三角形是解决此题的关键．
13．20㎝．
【解析】试题分析：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，根据题意得出四边形ABCD为矩形，根据垂径定理得出PA=8cm，PE=4cm，然后根据Rt△AOP的勾股定理求出OA的值，从而得出圆的直径.
试题解析：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ACDB是矩形
∵CD=16cm，PE=4cm
∴PA=8cm，BP=8cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2
即OA2=82+（OA﹣4）2
解得：OA=10．
答：这种铁球的直径为20cm．
14．证明见解析.
【解析】试题分析: 根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，由于AB=CD，则AE=CF，然后根据“HL”可判断Rt△AEO≌Rt△COF，于是得到OE=OF．
试题解析:
证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．
15．.
【解析】试题分析：由AB⊥CD，CF⊥AD，根据垂径定理判定△ACD为等边三角形，然后根据边角关系求出DE的长，进而求出CD的长．
解：连接AC
∵AB⊥CD
∴CE＝DE（垂径分弦）
∴AB垂直平分CD
∴AC＝AD，
∵CF⊥AD， ∴AF＝DF（垂径分弦），
∴CF垂直平分AD，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠DCF＝∠ACD＝30°，
∵CO＝AO＝AB＝1，
∴DE=CE＝CO×＝；
∴CD＝2DE＝．
点睛：本题主要考查了圆中的垂径定理的应用，解直角三角形以及等边三角形的性质；根据题意由垂径定理判定△ACD为等边三角形是解题的关键；本题中用到了圆与三角形的性质，属于中等题型．
16．
【解析】试题分析：连接BC，设OD＝OA＝x，在Rt△AEO中，根据 求出x的值，在Rt△ABC中求出BC的长度，再Rt△CBE中求BE的长度；
试题解析：
解：如图，连接BC
D是弧AC的中点
OD垂直平分AC
EA=EC=
设OD=OA=x，则OE=x-2，
即，
解得x=5
AB=2OA=10
答：BE的长度为.
同课章节目录