3.4 圆心角同步课时作业（1）
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3.4 圆心角同步课时作业（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列语句中正确的是（ ）
A． 长度相等的两条弧是等弧 B． 平分弦的直径垂直于弦
C． 相等的圆心角所对的弧相等 D． 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 120°
3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（ ）
A． = B． ＞ C． ＜ D． 不能确定
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A． 6 B． 8 C． 5 D． 5
5．如图，在半径为R的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．
A． R B． C． 2R D． 3R
6．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A． OE＝OF B． 弧AC=弧BD C． AC＝CD＝DB D． CD∥AB
7．如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A． 52° B． 57° C． 66° D． 78°
8．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝( )
A． 110° B． 80° C． 40° D． 70°
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=?________．
?
10．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
11．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________?°．
12．如图，⊙经过五边形的四个顶点，若， ， ，则的度数为__________．
13．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC的度数为______°.
14．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=___．
15．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上， ，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ______________.
16．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是______度．
三、解答题
17．如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.
18．D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则 弧CA与 弧CB?的关系是？
19．如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求弧CD和弧BC的度数.
20．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
21．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8．
（1）求证：AC=BD；
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形；
22．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G.
(1)求证：FA＝FG；
(2)若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
参考答案
1．D
【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．
详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D．
点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据等弧所对的圆心角相等求得∠EOD=∠COD=∠BOC，从而可求得∠AOE的度数．
【详解】
∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°?，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°?，
∴∠AOE=60°．?
故选B．
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆心角相等．由D，C是劣弧EB的三等分点求得∠EOD=∠COD=∠BOC是解答本题的关键.
3．D
【解析】分析：根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．
详解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故选D．
点睛：本题考查了在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用，解题的关键是不要忽视在同圆或等圆中这一前提条件．
4．B
【解析】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【详解】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB==8，
故选B．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等，正确添加辅助线以及熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
5．A
【解析】分析：如解答图，作辅助线，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE=AB；利用等腰三角形性质证明DE=OE，因此CD-AB=CD-DE=CE=R．
详解：连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE与△OAB中，CO=AO=R，∠OCE=∠AOB=36°，CE=OB=R，
∴△COE≌△OAB（SAS）， ∴OE=AB． ∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE， ∴DE=OE， ∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R． 故选A．
点睛：此题考查了圆心角、弧、弦的关系、全等三角形、等腰三角形等知识，解题关键是添加辅助线，构造等腰三角形．
6．C
【解析】【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断B选项正确；连结AD，由，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，判断D选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出不一定等于那么AC=BD不一定等于CD，判断C选项不正确．
【详解】连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中，，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故A选项正确；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴，故B选项正确；
连结AD,
∵，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D选项正确；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴不一定等于，
∴AC=BD不一定等于CD，
故C选项不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．
7．B
【解析】∵，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，
∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=66°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=（180°-∠AOE）÷2=57°，
故选B.
8．A
【解析】连接OE，如图所示：
∵弧DE为40°的弧， ∴∠DOE=40°． ∵OD=OE， ∴∠ODE= =70°． ∵弦DE∥AB， ∴∠AOC=∠ODE=70°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-70°=110°． 故选A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
9．125°
【解析】分析: 连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
详解: 连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
10．144
【解析】【分析】根据在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
【详解】∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°，
故答案为：144.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度是解题的关键.
11．75
【解析】∵，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°.
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角也相等，熟知相关性质是解题的关键.
12．
【解析】解：∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，
∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴弧BC的度数为40°．故答案为：40．
点睛：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
13．50
【解析】解：连接OA、OD，∵AB=CD，∴ ，∴ ，∴AC=BD，在△APC和△DPB中，∵∠PAC=∠PDB，∠APC=∠DPB，AC=BD，∴△APC≌△DPB，∴PA=PD，在△AOP和△DOP中，∵PA=PD，OA=OD，OP=OP，∴△AOP≌△DOP，∴∠APO=∠DPO=65°，∴∠APD=130°，∴∠APC=50°．故答案为：50．
点睛：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质和判定定理是解题的关键．
14．30°．
【解析】解：∵=====,
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°,
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC=（180°-120°）=30°.
故答案为30°.
15．
【解析】如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B=，即AP+BP的值最小=.
故答案为： .
16．20
【解析】弦AB=弦CD,所以的度数还是20°.
点睛：
圆心角定理: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （1）等弧对等圆心角 （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角． （3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧． （4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
17．证明见解析
【解析】试题分析:根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等即可证得结论．
在☉O中,∵∠1=∠2=∠3,
又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴==,
∴AC=EB=DF.
18．相等．
【解析】试题分析： 首先根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可证明平分进而得到至此即可得到与的关系.
试题解析：连
平分
∠1=∠2
点睛：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
19．的度数为70°, 的度数为20°.
【解析】
【分析】
连接OC，求出∠B度数，根据等腰三角形性质求出∠BOC，根据OA⊥OB可得∠AOC即可.
【详解】
解:连结OC，
在Rt△AOB中，∠A=35°，
∴∠B=55°，又∵OC=OB，
∴∠COB=180°-2∠B=70°，
∴的度数为70°，
∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，
∴ 的度数为20°.
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键.
20．证明见解析
【解析】分析: 根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得.
详解:
∵＝，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键.
21．（1）证明见解析；（2）四边形OFEG是正方形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由AB=CD判断，再得到，从而判断AC=BD；
（2）先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到CF=DF，AG=BG，则利用CD=AB得到AG=DF，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG是正方形；
【详解】
（1）证明：∵AB=CD，
∴，
∴，即，
∴AC=BD
（2）四边形OFEG是正方形
理由如下：
如图，连接OA、OD．
∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴四边形OFEG是矩形，DF＝CD，AG＝AB．
∵AB=CD，
∴DF=AG．
∵OD=OA，
∴OD=OA，
∴△OFD≌△OGA，
∴OF=OG．
∴矩形OFEG是正方形
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系；掌握正方形的判定方法．
22．(1)证明见解析；(2)π.
【解析】
【分析】
（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，弧AB=弧AE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
（2）根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据弧AB=弧AE，求出∠EOC=60°，即可求出弧EC的长度是多少．
【详解】
(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠ABE＋∠AGB＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠C＋∠CAD＝90°.
∵＝，
∴∠C＝∠ABE.
∴∠AGB＝∠CAD.
∴FA＝FG.
(2)连接AO，EO.
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO.
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO.
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB＝60°.
∵＝，
∴∠AOE＝60°.
∴∠EOC＝60°.
∴的长为2π×(2＋2)×＝π.
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理和应用，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算方法，等边三角形的判定与性质，要熟练掌握．推出∠AGB=∠CAD是解（1）的关键，推出∠AOB＝60°是解答（2）的关键.
3.4 圆心角同步课时作业（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列语句中正确的是（ ）
A． 长度相等的两条弧是等弧 B． 平分弦的直径垂直于弦
C． 相等的圆心角所对的弧相等 D． 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 120°
3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（ ）
A． = B． ＞ C． ＜ D． 不能确定
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A． 6 B． 8 C． 5 D． 5
5．如图，在半径为R的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．
A． R B． C． 2R D． 3R
6．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A． OE＝OF B． 弧AC=弧BD C． AC＝CD＝DB D． CD∥AB
7．如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A． 52° B． 57° C． 66° D． 78°
8．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝( )
A． 110° B． 80° C． 40° D． 70°
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=?________．
?
10．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
11．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________?°．
12．如图，⊙经过五边形的四个顶点，若， ， ，则的度数为__________．
13．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC的度数为______°.
14．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=___．
15．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上， ，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ______________.
16．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是______度．
三、解答题
17．如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.
18．D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则 弧CA与 弧CB?的关系是？
19．如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求弧CD和弧BC的度数.
20．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
21．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8．
（1）求证：AC=BD；
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形；
22．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G.
(1)求证：FA＝FG；
(2)若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
参考答案
1．D
【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．
详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D．
点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据等弧所对的圆心角相等求得∠EOD=∠COD=∠BOC，从而可求得∠AOE的度数．
【详解】
∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°?，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°?，
∴∠AOE=60°．?
故选B．
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆心角相等．由D，C是劣弧EB的三等分点求得∠EOD=∠COD=∠BOC是解答本题的关键.
3．D
【解析】分析：根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．
详解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故选D．
点睛：本题考查了在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用，解题的关键是不要忽视在同圆或等圆中这一前提条件．
4．B
【解析】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【详解】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB==8，
故选B．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等，正确添加辅助线以及熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
5．A
【解析】分析：如解答图，作辅助线，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE=AB；利用等腰三角形性质证明DE=OE，因此CD-AB=CD-DE=CE=R．
详解：连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE与△OAB中，CO=AO=R，∠OCE=∠AOB=36°，CE=OB=R，
∴△COE≌△OAB（SAS）， ∴OE=AB． ∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE， ∴DE=OE， ∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R． 故选A．
点睛：此题考查了圆心角、弧、弦的关系、全等三角形、等腰三角形等知识，解题关键是添加辅助线，构造等腰三角形．
6．C
【解析】【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断B选项正确；连结AD，由，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，判断D选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出不一定等于那么AC=BD不一定等于CD，判断C选项不正确．
【详解】连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中，，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故A选项正确；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴，故B选项正确；
连结AD,
∵，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D选项正确；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴不一定等于，
∴AC=BD不一定等于CD，
故C选项不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．
7．B
【解析】∵，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，
∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=66°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=（180°-∠AOE）÷2=57°，
故选B.
8．A
【解析】连接OE，如图所示：
∵弧DE为40°的弧， ∴∠DOE=40°． ∵OD=OE， ∴∠ODE= =70°． ∵弦DE∥AB， ∴∠AOC=∠ODE=70°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-70°=110°． 故选A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
9．125°
【解析】分析: 连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
详解: 连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
10．144
【解析】【分析】根据在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
【详解】∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°，
故答案为：144.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度是解题的关键.
11．75
【解析】∵，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°.
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角也相等，熟知相关性质是解题的关键.
12．
【解析】解：∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，
∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴弧BC的度数为40°．故答案为：40．
点睛：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
13．50
【解析】解：连接OA、OD，∵AB=CD，∴ ，∴ ，∴AC=BD，在△APC和△DPB中，∵∠PAC=∠PDB，∠APC=∠DPB，AC=BD，∴△APC≌△DPB，∴PA=PD，在△AOP和△DOP中，∵PA=PD，OA=OD，OP=OP，∴△AOP≌△DOP，∴∠APO=∠DPO=65°，∴∠APD=130°，∴∠APC=50°．故答案为：50．
点睛：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质和判定定理是解题的关键．
14．30°．
【解析】解：∵=====,
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°,
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC=（180°-120°）=30°.
故答案为30°.
15．
【解析】如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B=，即AP+BP的值最小=.
故答案为： .
16．20
【解析】弦AB=弦CD,所以的度数还是20°.
点睛：
圆心角定理: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （1）等弧对等圆心角 （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角． （3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧． （4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
17．证明见解析
【解析】试题分析:根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等即可证得结论．
在☉O中,∵∠1=∠2=∠3,
又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴==,
∴AC=EB=DF.
18．相等．
【解析】试题分析： 首先根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可证明平分进而得到至此即可得到与的关系.
试题解析：连
平分
∠1=∠2
点睛：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
19．的度数为70°, 的度数为20°.
【解析】
【分析】
连接OC，求出∠B度数，根据等腰三角形性质求出∠BOC，根据OA⊥OB可得∠AOC即可.
【详解】
解:连结OC，
在Rt△AOB中，∠A=35°，
∴∠B=55°，又∵OC=OB，
∴∠COB=180°-2∠B=70°，
∴的度数为70°，
∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，
∴ 的度数为20°.
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键.
20．证明见解析
【解析】分析: 根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得.
详解:
∵＝，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键.
21．（1）证明见解析；（2）四边形OFEG是正方形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由AB=CD判断，再得到，从而判断AC=BD；
（2）先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到CF=DF，AG=BG，则利用CD=AB得到AG=DF，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG是正方形；
【详解】
（1）证明：∵AB=CD，
∴，
∴，即，
∴AC=BD
（2）四边形OFEG是正方形
理由如下：
如图，连接OA、OD．
∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴四边形OFEG是矩形，DF＝CD，AG＝AB．
∵AB=CD，
∴DF=AG．
∵OD=OA，
∴OD=OA，
∴△OFD≌△OGA，
∴OF=OG．
∴矩形OFEG是正方形
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系；掌握正方形的判定方法．
22．(1)证明见解析；(2)π.
【解析】
【分析】
（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，弧AB=弧AE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
（2）根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据弧AB=弧AE，求出∠EOC=60°，即可求出弧EC的长度是多少．
【详解】
(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠ABE＋∠AGB＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠C＋∠CAD＝90°.
∵＝，
∴∠C＝∠ABE.
∴∠AGB＝∠CAD.
∴FA＝FG.
(2)连接AO，EO.
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO.
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO.
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB＝60°.
∵＝，
∴∠AOE＝60°.
∴∠EOC＝60°.
∴的长为2π×(2＋2)×＝π.
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理和应用，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算方法，等边三角形的判定与性质，要熟练掌握．推出∠AGB=∠CAD是解（1）的关键，推出∠AOB＝60°是解答（2）的关键.
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列语句中正确的是（ ）
A． 长度相等的两条弧是等弧 B． 平分弦的直径垂直于弦
C． 相等的圆心角所对的弧相等 D． 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 120°
3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（ ）
A． = B． ＞ C． ＜ D． 不能确定
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A． 6 B． 8 C． 5 D． 5
5．如图，在半径为R的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．
A． R B． C． 2R D． 3R
6．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A． OE＝OF B． 弧AC=弧BD C． AC＝CD＝DB D． CD∥AB
7．如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A． 52° B． 57° C． 66° D． 78°
8．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝( )
A． 110° B． 80° C． 40° D． 70°
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=?________．
?
10．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
11．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________?°．
12．如图，⊙经过五边形的四个顶点，若， ， ，则的度数为__________．
13．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC的度数为______°.
14．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=___．
15．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上， ，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ______________.
16．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是______度．
三、解答题
17．如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.
18．D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则 弧CA与 弧CB?的关系是？
19．如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求弧CD和弧BC的度数.
20．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
21．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8．
（1）求证：AC=BD；
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形；
22．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G.
(1)求证：FA＝FG；
(2)若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
参考答案
1．D
【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．
详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D．
点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据等弧所对的圆心角相等求得∠EOD=∠COD=∠BOC，从而可求得∠AOE的度数．
【详解】
∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°?，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°?，
∴∠AOE=60°．?
故选B．
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆心角相等．由D，C是劣弧EB的三等分点求得∠EOD=∠COD=∠BOC是解答本题的关键.
3．D
【解析】分析：根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．
详解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故选D．
点睛：本题考查了在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用，解题的关键是不要忽视在同圆或等圆中这一前提条件．
4．B
【解析】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【详解】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB==8，
故选B．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等，正确添加辅助线以及熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
5．A
【解析】分析：如解答图，作辅助线，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE=AB；利用等腰三角形性质证明DE=OE，因此CD-AB=CD-DE=CE=R．
详解：连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE与△OAB中，CO=AO=R，∠OCE=∠AOB=36°，CE=OB=R，
∴△COE≌△OAB（SAS）， ∴OE=AB． ∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE， ∴DE=OE， ∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R． 故选A．
点睛：此题考查了圆心角、弧、弦的关系、全等三角形、等腰三角形等知识，解题关键是添加辅助线，构造等腰三角形．
6．C
【解析】【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断B选项正确；连结AD，由，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，判断D选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出不一定等于那么AC=BD不一定等于CD，判断C选项不正确．
【详解】连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中，，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故A选项正确；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴，故B选项正确；
连结AD,
∵，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D选项正确；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴不一定等于，
∴AC=BD不一定等于CD，
故C选项不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．
7．B
【解析】∵，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，
∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=66°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=（180°-∠AOE）÷2=57°，
故选B.
8．A
【解析】连接OE，如图所示：
∵弧DE为40°的弧， ∴∠DOE=40°． ∵OD=OE， ∴∠ODE= =70°． ∵弦DE∥AB， ∴∠AOC=∠ODE=70°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-70°=110°． 故选A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
9．125°
【解析】分析: 连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
详解: 连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
10．144
【解析】【分析】根据在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
【详解】∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°，
故答案为：144.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度是解题的关键.
11．75
【解析】∵，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°.
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角也相等，熟知相关性质是解题的关键.
12．
【解析】解：∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，
∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴弧BC的度数为40°．故答案为：40．
点睛：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
13．50
【解析】解：连接OA、OD，∵AB=CD，∴ ，∴ ，∴AC=BD，在△APC和△DPB中，∵∠PAC=∠PDB，∠APC=∠DPB，AC=BD，∴△APC≌△DPB，∴PA=PD，在△AOP和△DOP中，∵PA=PD，OA=OD，OP=OP，∴△AOP≌△DOP，∴∠APO=∠DPO=65°，∴∠APD=130°，∴∠APC=50°．故答案为：50．
点睛：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质和判定定理是解题的关键．
14．30°．
【解析】解：∵=====,
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°,
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC=（180°-120°）=30°.
故答案为30°.
15．
【解析】如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B=，即AP+BP的值最小=.
故答案为： .
16．20
【解析】弦AB=弦CD,所以的度数还是20°.
点睛：
圆心角定理: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （1）等弧对等圆心角 （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角． （3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧． （4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
17．证明见解析
【解析】试题分析:根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等即可证得结论．
在☉O中,∵∠1=∠2=∠3,
又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴==,
∴AC=EB=DF.
18．相等．
【解析】试题分析： 首先根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可证明平分进而得到至此即可得到与的关系.
试题解析：连
平分
∠1=∠2
点睛：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
19．的度数为70°, 的度数为20°.
【解析】
【分析】
连接OC，求出∠B度数，根据等腰三角形性质求出∠BOC，根据OA⊥OB可得∠AOC即可.
【详解】
解:连结OC，
在Rt△AOB中，∠A=35°，
∴∠B=55°，又∵OC=OB，
∴∠COB=180°-2∠B=70°，
∴的度数为70°，
∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，
∴ 的度数为20°.
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键.
20．证明见解析
【解析】分析: 根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得.
详解:
∵＝，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键.
21．（1）证明见解析；（2）四边形OFEG是正方形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由AB=CD判断，再得到，从而判断AC=BD；
（2）先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到CF=DF，AG=BG，则利用CD=AB得到AG=DF，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG是正方形；
【详解】
（1）证明：∵AB=CD，
∴，
∴，即，
∴AC=BD
（2）四边形OFEG是正方形
理由如下：
如图，连接OA、OD．
∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴四边形OFEG是矩形，DF＝CD，AG＝AB．
∵AB=CD，
∴DF=AG．
∵OD=OA，
∴OD=OA，
∴△OFD≌△OGA，
∴OF=OG．
∴矩形OFEG是正方形
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系；掌握正方形的判定方法．
22．(1)证明见解析；(2)π.
【解析】
【分析】
（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，弧AB=弧AE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
（2）根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据弧AB=弧AE，求出∠EOC=60°，即可求出弧EC的长度是多少．
【详解】
(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠ABE＋∠AGB＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠C＋∠CAD＝90°.
∵＝，
∴∠C＝∠ABE.
∴∠AGB＝∠CAD.
∴FA＝FG.
(2)连接AO，EO.
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO.
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO.
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB＝60°.
∵＝，
∴∠AOE＝60°.
∴∠EOC＝60°.
∴的长为2π×(2＋2)×＝π.
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理和应用，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算方法，等边三角形的判定与性质，要熟练掌握．推出∠AGB=∠CAD是解（1）的关键，推出∠AOB＝60°是解答（2）的关键.
3.4 圆心角同步课时作业（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列语句中正确的是（ ）
A． 长度相等的两条弧是等弧 B． 平分弦的直径垂直于弦
C． 相等的圆心角所对的弧相等 D． 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 120°
3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（ ）
A． = B． ＞ C． ＜ D． 不能确定
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A． 6 B． 8 C． 5 D． 5
5．如图，在半径为R的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．
A． R B． C． 2R D． 3R
6．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A． OE＝OF B． 弧AC=弧BD C． AC＝CD＝DB D． CD∥AB
7．如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A． 52° B． 57° C． 66° D． 78°
8．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝( )
A． 110° B． 80° C． 40° D． 70°
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=?________．
?
10．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
11．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________?°．
12．如图，⊙经过五边形的四个顶点，若， ， ，则的度数为__________．
13．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC的度数为______°.
14．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=___．
15．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上， ，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ______________.
16．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是______度．
三、解答题
17．如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.
18．D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则 弧CA与 弧CB?的关系是？
19．如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求弧CD和弧BC的度数.
20．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
21．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8．
（1）求证：AC=BD；
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形；
22．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G.
(1)求证：FA＝FG；
(2)若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
参考答案
1．D
【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．
详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D．
点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据等弧所对的圆心角相等求得∠EOD=∠COD=∠BOC，从而可求得∠AOE的度数．
【详解】
∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°?，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°?，
∴∠AOE=60°．?
故选B．
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆心角相等．由D，C是劣弧EB的三等分点求得∠EOD=∠COD=∠BOC是解答本题的关键.
3．D
【解析】分析：根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．
详解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故选D．
点睛：本题考查了在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用，解题的关键是不要忽视在同圆或等圆中这一前提条件．
4．B
【解析】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【详解】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB==8，
故选B．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等，正确添加辅助线以及熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
5．A
【解析】分析：如解答图，作辅助线，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE=AB；利用等腰三角形性质证明DE=OE，因此CD-AB=CD-DE=CE=R．
详解：连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE与△OAB中，CO=AO=R，∠OCE=∠AOB=36°，CE=OB=R，
∴△COE≌△OAB（SAS）， ∴OE=AB． ∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE， ∴DE=OE， ∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R． 故选A．
点睛：此题考查了圆心角、弧、弦的关系、全等三角形、等腰三角形等知识，解题关键是添加辅助线，构造等腰三角形．
6．C
【解析】【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断B选项正确；连结AD，由，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，判断D选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出不一定等于那么AC=BD不一定等于CD，判断C选项不正确．
【详解】连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中，，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故A选项正确；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴，故B选项正确；
连结AD,
∵，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D选项正确；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴不一定等于，
∴AC=BD不一定等于CD，
故C选项不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．
7．B
【解析】∵，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，
∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=66°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=（180°-∠AOE）÷2=57°，
故选B.
8．A
【解析】连接OE，如图所示：
∵弧DE为40°的弧， ∴∠DOE=40°． ∵OD=OE， ∴∠ODE= =70°． ∵弦DE∥AB， ∴∠AOC=∠ODE=70°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-70°=110°． 故选A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
9．125°
【解析】分析: 连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
详解: 连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
10．144
【解析】【分析】根据在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
【详解】∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°，
故答案为：144.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度是解题的关键.
11．75
【解析】∵，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°.
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角也相等，熟知相关性质是解题的关键.
12．
【解析】解：∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，
∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴弧BC的度数为40°．故答案为：40．
点睛：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
13．50
【解析】解：连接OA、OD，∵AB=CD，∴ ，∴ ，∴AC=BD，在△APC和△DPB中，∵∠PAC=∠PDB，∠APC=∠DPB，AC=BD，∴△APC≌△DPB，∴PA=PD，在△AOP和△DOP中，∵PA=PD，OA=OD，OP=OP，∴△AOP≌△DOP，∴∠APO=∠DPO=65°，∴∠APD=130°，∴∠APC=50°．故答案为：50．
点睛：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质和判定定理是解题的关键．
14．30°．
【解析】解：∵=====,
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°,
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC=（180°-120°）=30°.
故答案为30°.
15．
【解析】如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B=，即AP+BP的值最小=.
故答案为： .
16．20
【解析】弦AB=弦CD,所以的度数还是20°.
点睛：
圆心角定理: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （1）等弧对等圆心角 （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角． （3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧． （4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
17．证明见解析
【解析】试题分析:根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等即可证得结论．
在☉O中,∵∠1=∠2=∠3,
又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴==,
∴AC=EB=DF.
18．相等．
【解析】试题分析： 首先根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可证明平分进而得到至此即可得到与的关系.
试题解析：连
平分
∠1=∠2
点睛：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
19．的度数为70°, 的度数为20°.
【解析】
【分析】
连接OC，求出∠B度数，根据等腰三角形性质求出∠BOC，根据OA⊥OB可得∠AOC即可.
【详解】
解:连结OC，
在Rt△AOB中，∠A=35°，
∴∠B=55°，又∵OC=OB，
∴∠COB=180°-2∠B=70°，
∴的度数为70°，
∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，
∴ 的度数为20°.
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键.
20．证明见解析
【解析】分析: 根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得.
详解:
∵＝，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键.
21．（1）证明见解析；（2）四边形OFEG是正方形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由AB=CD判断，再得到，从而判断AC=BD；
（2）先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到CF=DF，AG=BG，则利用CD=AB得到AG=DF，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG是正方形；
【详解】
（1）证明：∵AB=CD，
∴，
∴，即，
∴AC=BD
（2）四边形OFEG是正方形
理由如下：
如图，连接OA、OD．
∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴四边形OFEG是矩形，DF＝CD，AG＝AB．
∵AB=CD，
∴DF=AG．
∵OD=OA，
∴OD=OA，
∴△OFD≌△OGA，
∴OF=OG．
∴矩形OFEG是正方形
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系；掌握正方形的判定方法．
22．(1)证明见解析；(2)π.
【解析】
【分析】
（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，弧AB=弧AE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
（2）根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据弧AB=弧AE，求出∠EOC=60°，即可求出弧EC的长度是多少．
【详解】
(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠ABE＋∠AGB＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠C＋∠CAD＝90°.
∵＝，
∴∠C＝∠ABE.
∴∠AGB＝∠CAD.
∴FA＝FG.
(2)连接AO，EO.
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO.
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO.
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB＝60°.
∵＝，
∴∠AOE＝60°.
∴∠EOC＝60°.
∴的长为2π×(2＋2)×＝π.
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理和应用，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算方法，等边三角形的判定与性质，要熟练掌握．推出∠AGB=∠CAD是解（1）的关键，推出∠AOB＝60°是解答（2）的关键.
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