2.7 探索勾股定理（1）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第2章特殊三角形2.7探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理（1）　
【知识清单】
1、勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a、b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则有.
2、勾股定理的应用：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，这三边之间的数量关系也体现了数形结合的思想.勾股定理有三种表达形式： = ，= ，= （其中a、b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长），其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边；
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系.求直角三角形的另两边（列方程）；
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题.
3、注意：勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“”就认定是斜边.不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5.
【经典例题】
例题1，如图所示，已知正方形A的面积256，正方形C的面积为400，求正方形B的面积及边长.
【分析】因为正方形的面积等于边长的平方，结合勾股定理可知：正方形B的面积应该等于正方形C的面积减去正方形A的面积.
【解答】由图可得正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，
所以正方形的面积=正方形的面积－正方形的面积
=400－256=144.
所以正方形的边长==12.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理，即可完成.
例题2，如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=8cm，将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，则BE的长等于（　　）
A．4cm B．3cm C．cm D．cm
【分析】首先根据折叠可得AE=CE，然后设BE= x，则AE=EC=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得方程，再解方程即可算出答案．
【解答】解：根据折叠可得AE=CE，
设BE= x，则AE=EC=8-x，
∵∠B=90°，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得，
即，
解得x=3，
故答案为B．
【点评】此题主要考查了翻折变换及勾股定理，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等及哪些线段能构成直角三角形．
【夯实基础】
1、已知ΔABC的三边长分别为a、b、c，则下列各式一定成立的是（ ）
A．a+b=c B．b+c>a C． D．c+a2、在ΔABC中，∠A=90°，若BC=6，则（ ）
A．12 B．36 C．60 D．72
3、若一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）
A．5 B． C． D．4或5
4、在ΔABC中，∠A︰∠B︰∠C=1︰1︰2，a、b、c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则有（ ）
A． B． C． D．
5、已知边长为a等边三角形的面积等于 .
6、若等腰三角形的底角为30°，腰长为8cm，则这个三角形的面积为（ ）
7、甲、乙两人骑自行车由某地同时出发，甲向正南行驶，速度为每秒3米，乙向正东行驶，速度为每秒4米，10分钟后，甲乙两车的距离为 .
8、已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，AD=16，DC=12，求四边形ABCD的面积．
【提优特训】
9、在ΔABC中，AB=13， ，BC的高为5，则BC边的长为（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．不确定
10、若一个直角三角形的一条直角边为12，另一条直角边比斜边短4，则斜边上的高为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．9.6
11、 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，斜边AB上的中线CD=2，ΔABC的周长为，则ΔABC的面积（ ）
A． B． C． D．
12、在RtΔABC中，a、b、c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若，则下直角是 .
13、如图，已知1号、4号两个正方形的面积为13，2号、3号两个正方形的面积和为10，则a，b，c三个方形的面积和为 ．
14、在ΔABC中，AE、AD分别是BC边上的中线和高，求证：.
15、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3?. (1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明) (2)?如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.
16、如图所示，在等腰△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°，若AD=15，EB=8，求DE的长．
17、如图所示，A、B两村在一条公路l的同侧，A、B两村到公路的距离分别为AC=3km，BD=5km，又CD=6km，为将A、B两村绿色农产品及时运出去，现要在公路l上建一货运中转站P，使P点到A、B两村的距离的和最短，请你在l上选择货运中转站P的位置，并求出最短距离．
【中考链接】
18、2018?海南如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
19、2018四川绵阳11.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（???? ）
A. B. C. D.
20、2018天津17， 如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为__________．
21、2018?泸州16．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为　 　．
22、2018年云南6．（3.00分）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为　 　．
参考答案
1、B 2、D 3、C 4、D 5、 6、 7、300米 9、C 10、D 11、C
12、∠B 13、33 18、C 19、D 20、 21、18 22、9或1
8、证明（1）连接AC，
∵∠ADC=90°，
∴，
∴.
∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴
∴
∴
∴四边形ABCD的面积
=△ADC的面积+△ABC的面积
=

14、证明：∵AE是 BC边上的中线，
∴BE=CE.
∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在RtΔABD中，，
在RtΔACD中，，
∴


.
15、解答：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则
（1）S1=S2+S3；
（2）S1=S2+S3．证明如下：
由等边三角形的面积可知：，，.
∴，
即S1=S2+S3．
16、证明：如图，将△CAD绕点C逆时针旋转90°到△CBP的位置；
则∠DCP=90°，CD=CP，AD=BP；∠ACD =∠BCP，∠CBP=∠A；
∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=∠CBP=45°，
∴∠EBP=90°，
∵∠DCE=45°，∠DCP=90°，
∴∠PCE=90°－∠DCE=90°－45°=45°，
∴∠DCE=∠PCE.
在△DCE与△PCE中，
∵
∴△DCE≌△PCE（SAS）
∴DE=PE.
∵AD=BP=15，EB=8，
在直角三角形PBE中，
∴．
．
17、解答：作出点A关于l的对称点，连接交l于点P，连接AP，根据对称性可知，在点P处建货运中转站能使P点到A、B两村的距离的和最短．
过点作∥l，交BD的延长线于点E，
∴=CD，=DE，
∵= AC =3km，BD=5km，CD=6km，
∴=CD=6km，BE=BD+DE=BD+=5+3=8（km），
在Rt△中，（km），
P点到A、B两村的距离最短为10 km.