第3章 圆的基本性质单元检测试题A卷（含解析）

第3章 圆的基本性质单元检测试题A卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如果⊙O的半径为6 cm，OP＝7cm，那么点P与⊙O的位置关系是( )
A． 点P在⊙O内 B． 点P在⊙O上
C． 点P在⊙O外 D． 不能确定
2．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A． 50° B． 45° C． 30° D． 25°
3．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为(　　)
A． 正方形 B． 直线 C． 圆 D． 多边形
4．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是( )
A． 10 B． 8 C． 6 D． 5
5． 如图，已知是⊙O的直径，把为的直角三角板的一条直角边放在直线上，斜边与⊙O交于点，点与点重合．将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知⊙O的半径为5cm，P为该圆内一点，且OP=1cm，则过点P的弦中，最短的弦长为（ ）
A． 8cm； B． 6cm； C． 4cm； D． 4cm。
7．如图，圆心角∠AOB=80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．45°
8．如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）
9．如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,点O,B的对应点分别为O',B',连接BB',则图中阴影部分的面积是　　(　　)
A． B． 2- C． 2- D． 4-
10．如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(　 )
A． 4 B． 2 C． 4 D． 2
二、填空题
11．如图，点A、B把⊙O分成两条弧，则∠AOB=______．
12．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD=_______°．
13．如图，在中，，AC=8，BC=6，两等圆、外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 。
14．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为_______．
15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠BEC =127°，则∠CBD的度数为_______度．
16．如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1＝∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为________．
三、解答题
17．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
18．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．
19．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm.求直径AB的长．
20．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
21．如图 (1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：
(1)△DOE是等边三角形.
(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC， 则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
22．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝AC，△ADC的外接圆⊙O交BC于点E，连接DE并延长交AB延长线于点F.
(1)求证：CF＝DB；
(2)当AD＝时，求AB的长．
24．已知：如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离．
参考答案
1．C
【解析】
试题解析： 根据点到圆心的距离大于圆的半径 ，则该点在圆外.
故选C.
点睛：根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
2．D
【解析】∵在⊙O中， ，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°.
故选D.
3．C
【解析】试题分析：根据垂径定理可知：圆心到线段AB的中点的距离为4cm，则AB的中点所经过的路线是以O为圆心，4cm为半径的圆，故选C．　
4．A
【解析】试题分析：一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
解：由题意可得：
边数为360°÷36°=10，
则它的边数是10．
故答案为10．
5．D
【解析】在移动的过程中，x的最小值即点B和点O重合时，即是90°-60°=30°．
x的最大值即当点B和点E重合时，根据圆周角定理，得x=30°×2=60°．
由此可求出x的取值范围．
解：当O、B重合时，∠POF的度数最小，此时∠POF=∠PBF=30°；
当B、E重合时，∠POF的度数最大，∠POF=2∠PBF=60°；
故x的取值范围是30°≤x≤60°．
故答案为：30°≤x≤60°．
本题主要考查了圆周角定理，解决本题的关键是能够分析出x取最大值和最小值时B点的位置．
6．C
【解析】在过点P的所有O的弦中，最短的弦长为垂直于OP的弦，即OP⊥AB，连接OA，
在RT△AOP中,OA=5cm.OP=1cm.根据勾股定理可得：AP=2cm，
根据垂径定理可得：AB=2AP，
所以AB=4cm.
故选C.
7．B
【解析】
试题分析：认真观察图形，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得到答案．∵∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=×80°=40°
考点：圆周角定理
8．C
【解析】
试题分析：延长CE交AB于G
则△AEG和△FEG都是直角三角形∴，
∴，即，这个函数是一个二次函数且抛物线的开口向下，故选：C．
考点：函数的图像．
9．C
【解析】
【分析】
连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【详解】
连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′中⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=
=.
故选C．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．D
【解析】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′．∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°．∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=OA=×2=，即PA+PB的最小值=．故选D．
点睛：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．
11．80°
【解析】解：∠AOB=360°×=80°．故答案为：80°．
12．15
【解析】分析：根据圆的基本性质得出四边形OABC为菱形，∠AOB=60°，然后根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系得出答案．
详解：∵OABC为平行四边形，OA=OC=OB， ∴四边形OABC为菱形，∠AOB=60°，
∵OD⊥AB， ∴∠BOD=30°， ∴∠BAD=30°÷2=15°．
点睛：本题主要考查的是圆的基本性质问题，属于基础题型．根据题意得出四边形OABC为菱形是解题的关键．
13．。
【解析】根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积，因此，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴根据勾股定理得：AB=10，且∠A＋∠B=90°。∴扇形的半径为5。
∴阴影部分的面积=。
14．6cm
【解析】∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴AB=2BC，
在Rt△OBC中，OB=5，OC=4，∴BC==3,
∴AB=6，
故答案为：6cm.
15．37
【解析】分析：根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠ABC+∠ACB=106°, ∠BAC=74°进而求得∠DAC，再由同弧所对的圆周角相等得到∠CBD=∠DAC=37°．
详解：在△BCE中, ∠BEC =127°，
∴∠EBC+∠ECB=180°?127°=53°，
∵点E是△ABC的内心，
∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=106°,
∴∠BAC=74°，
∴∠DAC=∠BAC =37°,
∴∠CBD=∠DAC=37°
故答案为：37°
点睛：此题考查三角形内心定义、三角形内角和性质和同弧所对的圆周角相等的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键,.
16．3
【解析】
连接OB，
∵四边形OABC是菱形，∴OC=BC，
又OC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，
∴∠AOC=2∠COB=120°，
∵∠1=∠2，∴∠EOF=∠1+∠COE=∠COE+∠2=∠AOC=120°，
设扇形的半径是r，
∴ ，∴r=3，
【点睛】本题综合考查了菱形的性质和扇形的面积公式，解题的关键是根据题意正确添加辅助线.
17．证明见解析.
【解析】试题分析：求出 即可得出，从而判定等腰三角形．
试题解析： 四点共圆，


即是等腰三角形．
18．
【解析】
【分析】
连接半径，构建直角三角形，先根据已知求出直径AB的长，则可以得出OC和OD的长，再利用勾股定理求CD和BC．
【详解】
连接OC，∵AD=4，BD=9，∴AB=4+9=13，OC=，∴OD=BD-OB=9-=，由勾股定理得：

【点睛】
本题是圆中的计算题，考查了圆中的有关概念，要明确同圆的半径相等，半径是直径的一半；在圆中常利用勾股定理求线段的长.
19．30cm.
【解析】试题分析：先求出∠COD，根据切线的性质知∠OCD=90°，从而求出∠D，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，即可求出答案．
试题解析：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，∴在△ABC中，∠ABC=90°－∠BAC=60°，
∵OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，
又∵CD为⊙的切线，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°，
∴在Rt△OCD中，OC=OD=15cm，∴AB=2OC=30cm.
【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质等，关键是从图中发现有用的信息，选择合适的定理等进行推理和计算．
20．CE=2.
【解析】试题分析：由OD⊥AB，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
试题解析：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，
在Rt△ACO中，∵，∴，解得 x=5，∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=．
考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．三角形中位线定理；4．圆周角定理．
21．（1）证明见解析（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立
【解析】试题分析：(1)、根据等边三角形的性质以及圆的半径可以得出：△OBD和△OEC都为等边三角形，结合∠BOD=∠EOC=60°得出∠DOE=60°，从而得出等边三角形；(2)、连接CD，根据BC为直径得出∠BDC=∠ADC=90°，根据∠A的度数得出∠ACD=30°，然后根据圆周角的性质可得：∠DOE=60°，结合OD=OE得出等边三角形．
试题解析：(1)、证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，
∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD和△OEC都为等边三角形，
∴∠BOD=∠EOC=60°， ∴∠DOE=60°， ∴△DOE为等边三角形.
(2)、解：当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.
证明：连结CD，∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°， ∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°， ∴∠DOE=2∠ACD=60°， ∵OD=OE ，∴△DOE为等边三角形.
22．解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，∴。∴∠C=∠AOD。
∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE。
∵AO⊥BC，∴∠C=30°。
（2）连接OB，
由（1）知，∠C=30°，∴∠AOD=60°。∴∠AOB=120°。
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=，OF=。
∴AB=。
∴。
【解析】试题分析：（1）根据垂径定理可得=，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数．
（2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB，即可得出答案．
解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴=，
∴∠C=∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C=30°．
（2）连接OB，
由（1）知，∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，
∴AF=，OF=，
∴AB=，
∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××=π﹣．
考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．
23．详见解析.
【解析】
【分析】
（1）连结AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判断△ABC为等边三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到AC为⊙O的直径，则∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB；
（2）作EH⊥CF于H，由△ABC为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=AD=1，AC=2CD=2.
则AB=AC=2
【详解】
（1）证明：连结AE，如图，
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE，
CD∥BF，
∴∠DCE=∠FBE，
在△DCE和△FBE中，
，
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE，
∴四边形BDCF为平行四边形，
∴CF=DB；
（2）解：作EH⊥CF于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AD=，
∴DC=AD=1，AC=2CD=2，
∴AB=AC=2.
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题.
24．（1）证明见解析（2）3
【解析】
【分析】
（1）连接，由为直径可知，又因为，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接，则为的中位线，，已知，即可知的长即为点到直线的距离.
【详解】
（1）如图，连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°.
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点.
（2）如图，连接OD，
∵AD=BD，OB=OC，
∴DO是△ABC的中位线.
∴DO∥AC，OD=AC=3.
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO.
∴点O到直线DE的距离为3．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.