第3章 圆的基本性质单元检测试题B卷（含解析）

第3章 圆的基本性质单元检测试题B卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为(　　)
A． 15° B． 30° C． 45° D． 60°
2．如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　　）
A． 点O是△ABC的内心 B． 点O是△ABC的外心
C． △ABC是正三角形 D． △ABC是等腰三角形
3．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( )

A． 3 B． 4 C． 3 D． 4
4．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是(　　)
A． 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B． 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C． AC＝BC D． ∠BAC＝30°
5．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10.上述结论中正确的个数是(　 　)
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
7．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A． 30 B． 45 C． 50 D． 60
8．一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（　　）
A． m B． m C． m???? D． m
9．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长是（　　）
A． B． 7 C． 4+3 D． 3+4
10．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，∠C=20°，则∠BOC的度数是 ．
12．如图，点D是等腰的底边AB上的点，若且，将绕点C逆时针旋转，使它与重合，则______度
13．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
14．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 个．
15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．
16．如图所示，AB是半圆的直径，∠C的两边分别与半圆相切于A、D两点，DE⊥AB，垂足为E，AE=3，BE=1，则图中阴影部分的面积为_______．
三、解答题
17．如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.
求证：(1)∠AOE＝∠BOD；
(2).
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
20．如图，已知中，，把绕A点沿顺时针方向旋转得到，连接BD，CE交于点F．
求证：≌；
若，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
21．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。
（1）求证： ACO=BCD。
（2）若EB=，CD=，求⊙O的直径。
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E.
(1)求∠OCA的度数；
(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
23．如图，在中，，是的中点，以为直径的⊙交的边于点、、.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)若，求的度数.
24．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在上．
(1)求∠AED的度数；
(2)若⊙O的半径为2，则的长为多少？
(3)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n的值．
参考答案
1．B
【解析】分析：由AD∥OC可知∠DAC=∠OCA，再由OA=OC得∠OCA=∠OAC，故可得∠OAC=∠DAC，从而得出结论.
详解：∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC=∠DAB=×60°=30°.
故选：B.
点睛：本题考查的是圆的半径相等，以及平行线的性质，利用圆的半径相等构造等腰三角形是解答此题的关键．
2．A
【解析】
【分析】
过作于，于，于，连接、、，根据垂径定理和已知求出，根据勾股定理求出，根据三角形内心的定义求出即可.
【详解】
过作于，于，于，连接、、，
由垂径定理得：，，，
，
，
，
由勾股定理得：，
即到三边的距离相等，
是的内心.
故选：.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形的内心的应用，注意：三角形的内心到三角形三边的距离相等.
3．C
【解析】
【分析】
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
【详解】
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理，得BM=AB=4，DN=CD=4
勾股定理得：OM=ON==3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP==3，
故选C..
【点睛】
本题考查的是垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．D
【解析】在△QAB即，OA＝OB，OA＝AB，∴△OAB为等边之扇形，∴∠AOB＝60°，
∴弦AB的长等于园内接正方形的边长，故A对；
∵OC⊥AB，△OAB为等边之扇形，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴AC的长为园内接正十二边形的边长，故B对；
∵∠AOC=∠BOC，∴?弧AC?＝?弧BC，?故C对；
∵∠BAC＝?∠BOC＝?×30°＝150°，故D错；
故选D.
点睛：本题考查了圆周角定理，及多边形内角的关系，要注意的知识结构即掌握能够根据选项所给的内容进行判断是解题的关键.
5．C
【解析】【分析】
【详解】因为 ,
所以，∠BOD=，
因为点D关于AB的对称点，
所以，∠BOE＝60°；
因为∠CED和∠DOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
所以，∠CED＝∠DOB；
当M与O重合时，CM＋DM=CE=AB=10，即最小值是10.
由已知可得CE位置不变，DM位置随M而边，所以DM不一定垂直于CE；
所以，结论①，②，④正确.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：圆的基本性质. 解题关键点：熟记圆的相关性质.
6．B
【解析】
试题分析：此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；
△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；
四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴，
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故选B．
点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．
7．A
【解析】试题解析：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOE=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB=30°；
故选A．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
8．B
【解析】连接OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AB=100m，
∴AO=50m，
∴AD=2AO=100m，
故选B．
9．D
【解析】
试题分析：过B作BF⊥DE于F．
在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=，
∴BD=8．
在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30°，
∴BE=5．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30°，BD=8，
∴DF=BD?cos30°=4．
在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=，BE=5，
∴EF=BE?cos∠BEF=3．
∴DE=DF+EF=3+4，
故选D．
考点：1．解直角三角形；2．圆周角定理．
10．C
【解析】
分析：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；
详解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，
∵DE=DC，
∴∠C=∠DEC=20°，
∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S扇形DBE=．
故选：C．
点睛：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．
11．40°
【解析】
试题分析：由于OC=OA，所以∠C=∠A=20°，∠BOC是△AOC的外角，所以∠BOC=∠A+∠C=40°．
解：∵OC=OA，
∴∠C=∠A，
∵∠C=20°，
∴∠A=∠C=20°，
∴∠BOC=∠A+∠C=40°．
故答案为：40°．
点评：本题考查了圆的认识和三角形的外角性质，解题的关键是利用半径相等这一隐含条件，得到等角，再利用外角的性质解答．
12．80
【解析】
【分析】
首先根据旋转的性质得：△ACD≌△BCD′，则可得∠A=∠CBD′，又由AC=BC且∠ACB=100°，即可求得∠A与∠ABC的度数，继而求得∠D′BA．
【详解】
根据旋转的性质得：△ACD≌△BCD′，∴∠A=∠CBD′，∵AC=BC且∠ACB=100°，∴∠A=∠ABC==40°，∴∠CBD′=∠A=40°，∴∠D′BA=∠D′BC+∠ABC=80°．故答案是：80．
【点睛】
考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
13．
【解析】试题解析：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．
14．12个
【解析】
试题分析：因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．
解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，
即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得：=5，即x2+y2=25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；
x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；
x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；
x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
点评：本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．
15．
【解析】
试题分析：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，根据正方形的性质可得AB=BC=4，∠ABC=90°，可得AC是直径，AC=4，即OE=OF=2，再由OM⊥EF，可得EM=MF，根据等边三角形的性质可得∠GEF=60°，在RT△OME中，OE=2，∠OEM=∠CEF=30°，即可求得OM=，EM=OM=，
由垂径定理的EF=．
考点：圆的综合题.
16．
【解析】
【分析】
本题可设半圆的圆心为O,连接OD,则阴影部分的面积可用梯形ACDE和扇形AOD,△ODE的面积差来求得,已知了AE、BE的长,即可得知圆的直径和半径长,在Rt△ODE中,可根据OD和OE的长,求得∠DOE的度数,即可求得扇形AOD的圆心角,由此可求得△ODE和扇形AOD的面积,下面再求梯形ACDE的面积,关键是求出梯形的下底AC的长,连接AD,不难得出△ACD是个等边三角形,那么可在△ADE中求得AD的长,即可得出AC的长,由此可求出梯形的面积,根据上面分析的阴影部分面积的计算方法即可得出所求的值．
【详解】
设圆的圆心是O,连接OD,OB,
根据题意,可得:圆的直径是4,则圆的半径是2,
∴OE=BE=1,
在Rt△ODE中,OD=2,OE=1,则∠DOE=60°,DE=,
∴△OBD是等边三角形,∠AOD=120°,
连接AD,则∠ADB=90°,
∴∠DAB=30°,
∴∠DAC=60°,
又AC=CD,
∴△ACD是等边三角形,
∴AC=AD=2
则S梯形ACD=
S扇形AOD=
S△ODE=
∴阴影部分的面积是,
故答案为: .
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定和性质以及梯形的面积公式和扇形的面积公式,解题的关键是能够发现等边三角形和30°的直角三角形,熟悉直角梯形、扇形和直角三角形的面积公式．
17．证明见解析
【解析】分析：（1）先画出图形，根据等腰三角形的性质，可得出∠A=∠B，再由OA=OD，OB=OE，可得出∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，即可得出∠AOD=∠BOE，即可得出∠AOE=∠BOD；
（2）根据∠AOD=∠BOE，由弧、弦、圆心角之间的关系，即可得出．
详解：（1）∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，
∴∠AOD=∠BOE，
∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
∴∠AOE=∠BOD；
（2）∵∠AOD=∠BOE，
∴．
点睛：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
18．(1)78°；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．
（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，
∴∠1=∠2．
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
19．（1）∠ACB=60°；
（2）AB=7．
【解析】
试题分析：（1）由题意可得出△AEB≌△DEC，从而可得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；
（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
试题解析：（1）在△AEB和△DEC中
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB=60°；
（2）∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
作BM⊥AC于点M，∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=，BM=，
∴AM=AC﹣CM=，
∴AB==7．
考点：1、全等三角形的判定与性质；2、等边三角形的判定与性质；3、三角形的外接圆与外心；4、勾股定理．
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1)由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
(2)根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD-DF求出BF的长即可．
【详解】
由旋转的性质得：≌，且，
，，，
，即，
在和中，
，
≌；
四边形ADFC是菱形，且，
，
由得：，
，
为直角边为2的等腰直角三角形，
，即，
，
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
21．（1）详见解析；（2）⊙O的直径为26cm.
【解析】试题分析：（1）根据垂径定理可得CE=ED， ,由等弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠BAC，又因为△AOC是等腰三角形，即可得OAC=OCA，结论得证；（2）根据垂径定理可得CE=ED，设⊙O的半径为Rcm，则OE= R8，在RtCEO中，根据勾股定理列出以R为未知数的方程，解方程即可求得圆的半径长，从而求得圆的直径的长.
试题解析：
证明：(1)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED， ,
∴BCD=BAC,
∵OA=OC .
∴OAC=OCA .
∴ACO=BCD .
(2)设⊙O的半径为Rcm，则OE=OBEB=R8，
CE=CD= 24=12，
在RtCEO中，由勾股定理可得,
OC=OE+CE ,
即R= (R8) +12,
解得 R=13.
∴2R=213=26 .
答：⊙O的直径为26cm.
点睛：本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理，会综合运用考查的知识点是解题的关键.
22．（1）30°（2）3π-2
【解析】试题分析：（1）圆内接四边形性质得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，由OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；
（2）由∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，从而有∠COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°；
（2）∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC=，∴OE=OC?tan∠OCE=?tan30°==2，
∴S△OEC=OE?OC==，∴S扇形OBC==3π，∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=．
考点：(1)、扇形面积的计算；(2)、圆内接四边形的性质；(3)、解直角三角形
23．（1）见解析；（2）40°
【解析】试题分析：（1）连接DF，由直角三角形斜边上的中线性质得出BD=CD=AD，由圆周角定理可知DF⊥BC，证出DE∥BC，证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE=BC=BF，即可得出结论；
（2）连接OG，由等腰三角形的性质得出∠DCA═∠A=35°，由三角形的外角性质得出∠ODG=∠A+∠DCA=70°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOG=40°，即可得出结果．
解：(1)连接
因为,是的中点
所以
又因为是⊙的直径
所以
所以，
所以
所以是的中位线
所以
所以四边形是平行四边形.
(2)连接
因为
所以
所以
因为
所以
所以
即的度数为.
24．(1) 120°；（2）；（3）12
【解析】试题分析：（1）连接AC,由AB=AD可得到∠ACB=∠ACD=60°,在四边形ACBE中由对角互补可求得∠AEB,(2)因为 ∠AOD=2∠ABD=120°,半斤为2,根据弧长公式即可求解.
（3）连接OA,求出∠AOE的度数即可求出正n边形的边数.
连接BD,∵四边形ABCD是 O的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°,
∵∠C=120°,
∴∠BAD=60°,
∵AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=60°,
∵四边形ABDE是 O的内接四边形,
∴∠AED+∠ABD=180°,
∴∠AED=120°,
(2) ∵∠AOD=2∠ABD=120°,
∴弧AD的长=,
(3)连接OA,
∵∠ABD=60°,
∴∠AOD=2∠ABD=120°,
∵∠DOE=90°,
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°,
∴n=.