2.3 等腰三角形的性质定理同步课时作业（1）

2.3 等腰三角形的性质定理同步课时作业（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为(　 　)
A． 120° B． 135° C． 145° D． 150°
2．如图，在中，，，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则　　
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数为（　　）
A． 30° B． 40° C． 20° D． 25°
4．如图，，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
5．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝(　 　)
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
6．如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）
A． 45° B． 55° C． 60° D． 75°
7．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）
A． 平行 B． 相交 C． 垂直 D． 平行、相交或垂直
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为(　　)
A． 80° B． 70° C． 40° D． 30°
9．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点E，D在AC同侧，若∠CAE＝118°，则∠B的大小为(　 　)
A． 31° B． 32° C． 59° D． 62°
二、填空题
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D。若BD＝BC，则∠A＝________度.
11．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是_____．
12．已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为______．
13．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC于E，EC的垂直平分线FM交DE的延长线于M，交EC于点F，若∠FMD＝40°，则∠C＝________．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB．若∠BGE＝110°，则∠BDF的度数为___________
16．如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为_______度．
三、解答题
17．如图，AB∥CD，BD=CD，∠D=36°，求∠ABC的度数．
18．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB的度数．
19．已知，如图，，E是AB的中点，，求证：．
20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．
21．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
22．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°．
23．如图，中，，．
Ⅰ作图：在CB上截取，连接AD，过点D作，垂足为E；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
Ⅱ求的度数．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°可得∠ABC＝60°，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠ADB、∠BDC，然后根据∠ADC＝∠ADB＋∠BDC求解即可．
【详解】
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC＝BD，
∴∠ADB＝（180°?∠ABD），
∠BDC＝（180°?∠CBD），
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC，
＝（180°?∠ABD）＋（180°?∠CBD），
＝（180°＋180°?∠ABD?∠CBD），
＝（360°?∠ABC），
＝180°?×60°，
＝150°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了等腰三角形两底角相等，要注意整体思想的利用．
2．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解．
【详解】
，，
，
以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可求得∠ABC的度数，再根据角平分线的定义即可求得∠ABD的度数.
【详解】
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）÷2=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=20°，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
4．A
【解析】
【分析】
直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．
【详解】
，
，
，
，
=180°-∠ACD-∠CAD=，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键．
5．A
【解析】
【分析】
首先证明△BAD≌△ACE，从而可得到∠CAE=∠ABD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BPF=60°，最后在Rt△BPF中，依据含30°角的直角三角的性质求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，求得∠BPF的度数是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得到∠ABD=∠C=60°，AB=BC，从而根据SAS证明△ABD≌△CBE，然后根据全等三角形的性质求得∠BAP=∠CBE，从而求得∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．
【详解】
∵等边三角形ABC
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC，
又∵BD=CE
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴∠BAP=∠CBE，
∴∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，关键是利用全等三角形的判定与性质解题.
7．A
【解析】【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出△AOC≌△ABD，进而判断出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出结论．
【详解】∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA；
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD=60°是解本题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【详解】
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°?∠A）÷2=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
故选D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键.
9．A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠CAB，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】
∵在△ABC中，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB，
∵AE∥BD，∠CAE＝118°，
∴∠B＋∠CAB＋∠CAE＝180°，
即2∠B＝180°?118°，
解得：∠B＝31°，
故选：A．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠CAB．
10．36
【解析】分析：题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．
详解：∵BD=BC，　∴∠C=∠BDC，∵AB=AC，　∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC，　∴∠ABD=∠CBD，　又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠C=∠BDC=2∠A，　又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，　∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，解得∠A=36°．
点睛：本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
11．88°，90°，99°，108°，116°
【解析】
【分析】
当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．
【详解】
如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90°
当∠ACB=48°时，有以下4种情况，
故答案为：88°，90°，99°，108°，116°
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题．
12．或
【解析】
【分析】
等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得．
【详解】
∵等腰三角形的一个外角为，∴与130°相邻的内角为50°，
当为顶角时，其他两角都为、，
当为底角时，其他两角为、，
所以等腰三角形的顶角为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题.
13．130°或90°．
【解析】分析：根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
详解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或90°．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
14．40°
【解析】∵DE为AB的垂直平分线，FM为EC的垂直平分线，
∴DE⊥AB，FM⊥EC，
∴∠BED+∠B=90°，∠MEF+∠FMD=90°，
∵∠BED=∠MEF（对顶角相等），
∴∠B=∠FMD=40°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义，等腰三角形等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
15．70°
【解析】分析：根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质可得出∠B、∠C的度数，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出结论.
详解：∵AB＝AC，∴∠B=∠C, ∵EG∥AB, ∴∠B+∠BGE=180°, ∠B=∠CGE,∵∠B+∠C+∠A=180°, ∴∠BGE=∠C+∠A=110°, ∴∠B=∠C=∠CGE =70°, ∴∠A=40°, ∠CEG=40°, ∵EG平分∠CED, ∴∠CED=∠DEG, ∵EG∥AB, ∴∠DEG=∠EDA=40°, ∴∠BDE=180°-40°=140°, ∵DF平分∠BDE, ∴∠BDF=∠BDE=70°.故答案为：70°.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的性质，解答本题的关键是利用等腰三角形及三角形外角的性质求出∠B=∠C=40°.
16．68
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝CD，等边对等角可得∠DAC＝∠C，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADB＝∠C＋∠DAC，再次根据等边对等角可得可得∠ADB＝∠BAD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】
∵DM垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝28°＋28°＝56°，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝56°，
在△ABD中，∠B＝180°?∠BAD?∠ADB＝180°?56°?56°＝68°．
故答案为：68．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质与定理是解题的关键．
17．∠ABC=72°.
【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质即可解决问题．
试题解析∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=（180°-∠D）=72°，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB=72°
18．90°
【解析】
【分析】
根据等边对等角得出∠ABD=∠A，再利用平行线的性质得出∠DBC=∠BCE，进而利用三角形的内角和解答即可．
【详解】
∵AD=BD，∠A=23°，
∴∠ABD=∠A=23°，
∵BG∥EF，∠BCE=44°，
∴∠DBC=∠BCE=44°，
∴∠ABC=44°+23°=67°，
∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°．
【点睛】
此题考查三角形的内角和问题，关键是根据等边对等角得出∠ABD=∠A．
19．见解析
【解析】
【分析】
由CE=DE易得∠ECD=∠EDC，结合AB∥CD易得∠AEC=∠BED，由此再结合AE=BE，CE=DE即可证得△AEC≌△BED，由此即可得到AC=BD.
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵是AB的中点，
∴，
在和中，，
∴≌．
∴．
【点睛】
熟悉“等腰三角形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定方法”是解答本题的关键.
20．24°
【解析】
【分析】
连接BD，根据线段垂直平分线性质得AD=BD，所以∠DBA=∠A，根据等腰三角形性质可得∠C=.
【详解】
解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A，
∵∠A=66°，
∴∠DBA=66°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=24°
∵AD=BC，
∴BD=BC，
∴∠C=∠BDC，
∴∠C==24°．
【点睛】
本题考核知识点：线段垂直平分线性质，等腰三角形性质.解题关键点：利用线段垂直平分线性质，等腰三角形性质证角相等.
21．（1）见解析；（2）∠EBC =21°，∠F=23°．
【解析】试题分析：(1)、根据题意得出AE=BE，然后结合AD=BD得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．
试题解析：(1)、证明：∵∠A=∠ABE， ∴EA=EB， ∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
(2)、解：∵∠A=46°， ∴∠ABE=∠A=46°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°．
22．（1）证明见解析；（2）75．
【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数.
【详解】
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为：75．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
23．（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
Ⅰ以C为圆心CA为半径画弧交CB于D，作即可；
Ⅱ先由等腰三角形的性质求出，再在在中根据直角三角形两锐角互余计算即可；
【详解】
解：Ⅰ如图，点D就是所求作的点，线段AD，DE就是所要作的线段．
Ⅱ，
，
在中，
．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型