2.2 等腰三角形同步课时作业

2.2 等腰三角形同步课时作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（　　）
A．37cm B．29cm C．37cm或29cm D．无法确定
2．在 中， ，若 的周长为24，则 的取值范围是（? ）
（A） ??? （B） （C） ?? （D）
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD
4．如图，中，AB=5cm,AC=3cm,BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则的周长（ ）cm
A、 6 B、 7 C、 8 D、9
5．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
6．在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
二、填空题
7．如图，在△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，则AC＝_____．
8．在活动课上，小红已有两根长为3cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是 cm．
9．等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm，则这个三角形的周长是 cm．
10．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组,则此等腰三角形的周长为_____．
11．已知等腰三角形ABC的底边BC的长为8，且|AC－BC|＝2，则腰AC的长为_____．
12．有一个等腰三角形，三边长分别为3x－2，4x－3，6－2x，求这个等腰三角形的周长．
三、解答题
13．如图，AB，AC是等腰三角形ABC的两腰，AD平分∠BAC，则△BCD是等腰三角形吗？试说明理由．
14．如图，AC平分∠BAD，CD⊥AD，CB⊥AB，连结BD．请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2ab＝c2＋2bc，试判断这个三角形的形状．
16．如图，直线l1，l2交于点B，A是直线l1上的点，在直线l2上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为15和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
（1）若7为腰长，15为底边长，由于，则三角形不存在；
（2）若15为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，
所以这个三角形的周长为；
故选A．
考点：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系
点评：题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
2．C
【解析】
试题分析：根据三角形三边的关系可列出不等式组，然后解之即可得出答案．
在△ABC中，AB=AC=x，若△ABC的周长为24，
∴2x＜24，
∴x＜12，
又因为24-2x-x＜x，
解得x＞6，
故6＜x＜12．
故选C．
考点：本题考查了等腰三角形及三角形三边关系
点评：本题考查了等腰三角形及三角形三边关系，属于基础题，关键是根据三角形三边关系列出不等式组．
3．C
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．
故选C．
4．C.
【解析】
试题分析：：∵DE为BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，
而AC=3cm，AB=5cm，
∴△ACD的周长为3+5=8cm．
故选C.
考点: 线段垂直平分线的性质.
5．C
【解析】
试题分析：利用三角形全等的判定方法可以证得△ABE≌△ACD和△ABD≌△ACE．
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD+DE=CE+DE
即：BE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴图中全等的三角形共有2对，
选C．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．B
【解析】
试题分析：因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
解：根据题意，
①当15是腰长与腰长一半时，即AC+AC=15，解得AC=10，
所以底边长=12﹣×10=7；
②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC=12，解得AC=8，
所以底边长=15﹣×8=11．
所以底边长等于7或11．
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长要一定要想到两种情况，此题要采用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．这也是学生容易忽视的地方，应注意向学生特别强调．
7．5
【解析】根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可知AC=AB=5.
点睛:本题主要考查垂直平分线的性质,解决本题的关键要掌握垂直平分线的性质,利用垂直平分线上的点到线段两端点距离相等,即可求解.
8．8
【解析】
试题分析：题目给出两条小棒长为3cm和8cm打算拼一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当第三根是3cm时，其三边分别为3cm，3cm，8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当第三根是8cm时，其三边分别是8cm，8cm，c3m，符合三角形三边关系；
所以第三根长8cm．
故答案为：8．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
9．20
【解析】
试题分析：本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长．
解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：2、2、9；
∵2+2＜9，
∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长=9+9+2=20．
故答案为：20．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10．5
【解析】先解二元一次方程组,解得,所以等腰三角形的两边长为2,1.若腰长为1,底边长为2,由三角形三边关系可知这样的三角形不存在,若腰长为2,底边长为1,根据三边关系可知可以构成三角形,所以这个等腰三角形的周长为5.
点睛:本题考查解二元一次方程组,三角形三边关系,等腰三角形的性质,解决本题的关键要会求二元一次方程组的解,并根据等腰三角形的性质进行分类讨论.
11．10或6
【解析】因为|AC－BC|＝2,所以AC－BC=±2,又因为BC=8,所以AC=10或AC=6,当AC=10时,此时三角形三边长为:10,10,6,满足构成三角形的条件,当AC=6时,此时三角形三边为:6,6,10,也满足构成三角形的条件,因此10或6 .
12．9或
【解析】试题分析：题中已知三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分情况进行分析，从而求解.
试题解析：①当3x-2是底边时，则腰长为：4x-3，6-2x
∵三角形为等腰三角形
∴4x-3=6-2x，
∴x=1.5，
∴4x-3=3，6-2x=3，
∴3x-2=2.5
∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5
②当4x-3是底边时，则腰长为：3x-2，6-2x
∵三角形为等腰三角形
∴3x-2=6-2x，
∴x=1.6，
∴3x-2=2.8，6-2x=2.8，
∴4x-3=3.4
∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9
③当6-2x是底边时，则腰长为：3x-2，4x-3
∵三角形为等腰三角形
∴3x-2=4x-3，
∴x=1，
∴3x-2=1，4x-3=1，
∵1=1
∴6-2x=4
∵1+1＜4
∴不能构成三角形
故答案为：8.5或9．
考点: 1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系．
13．△BCD是等腰三角形
【解析】试题分析:因为△ABC是等腰三角形得:AB=AC,AD平分∠BAC得:∠BAD=∠CAD, AD为公共边,根据全等三角形的判定方法SAS可证: △ABD≌△ACD,根据全等三角形的性质可证: BD=CD,再根据等腰三角形的定义可证△BCD是等腰三角形.
试题解析:△BCD是等腰三角形,理由如下:
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠ BAD＝∠ CAD,
∵ AB,AC是等腰三角形ABC的两腰,
∴ AB＝ AC,
在△ABD和△ACD中,

∴ △ABD≌△ACD（SAS）,
∴ BD＝CD,
∴ △BCD是等腰三角形.
点睛:本题主要考查全等三角形的判定和等腰三角形的判定,解决本题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定方法进行全等三角形的证明.
14．等腰三角形有△ABD和△BCD
【解析】试题分析:本题先利用角平分线的性质可证CD=CB,再根据HL判定△ADC≌△ADC,根据AC平分∠BAD,CD⊥AD,CB⊥AB,可证CD=CB,所以△CDB是等腰三角形.在Rt△ADC和Rt△ABC中,由CD=CB,AC=AC,可判定Rt△ADC≌Rt△ABC,从而可得AD=AB,所以△ABD是等腰三角形.
试题解析:等腰三角形有△ABD和△BCD,
理由如下:
∵ AC平分∠BAD,CD⊥ AD,CB⊥ AB,
∴ CD=CB,
∴ △CDB是等腰三角形,
在Rt△ADC和Rt△ABC中,
,
∴ Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）,
∴ AD=AB,
∴ △ ABD是等腰三角形.
点睛:本题要考查角平分线的性质,HL判定定理,等腰三角形的判定,解决本题的关键在于熟练掌握角平分线的性质,利用角平分线上的点到角两边的距离相等证明线段相等,再利用HL进行全等判定.
15．等腰三角形
【解析】试题分析:根据题目中a2＋2ab＝c2＋2bc,移项可以得到a2＋2ab－c2－2bc=0,然后根据平方差公式和提公因式法进行因式分解得: ,再利用提公因式法进行因式分解得: ,题中a,b,c是△ABC的三边长,都是正数,所以,即可得到a－c=0,即a=c,所以这个三角形是等腰三角形.
试题解析:
∵ a2＋2ab＝c2＋2bc,
∴ a2＋2ab－c2－2bc=0,
∴,
∴,
∵ a>0,b>0,c>0,
∴, a－c=0,
∴ a=c,
∴ △ABC为等腰三角形.
点睛:本题主要考查等式的变形,解决本题的关键在于利用平方差公式和提公因式法对多项式进行因式分解.
16．4个
【解析】试题分析:本题考查等腰三角形的构造方法,题目中已经给出线段AB,在直线l2上寻找一点C,使△ABC是等腰三角形,则需要进行分类讨论,以线段AB为腰和线段AB为底边两种情况进行画图,画图方法简称:”两圆一线”法.
试题解析:具体作法如下,如图，
（1）当以线段AB为腰时,点A为顶点时,可以以点A为圆心,线段AB为半径画圆,圆与直线l2 的交点即为点C,此时有1个,
（2）当以线段AB为腰时,点B为顶点时,可以以点B为圆心,线段BA为半径画圆,圆与直线l2 的交点即为点C,此时有2个,
（3）当以线段AB为底边,可以作线段AB的垂直平分线,线段垂直平分线与直线l2 的交点即为点C,此时有1个.
故共有4个满足题意的等腰三角形.
点睛:本题主要考查等腰三角形的构造问题,解决本题的关键在于理解掌握”两圆一线”法求满足条件的点.