3.8 弧长及扇形的面积同步课时作业（1）

3.8 弧长及扇形的面积同步课时作业（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，AB为⊙O的直径，过B作⊙O的切线，在该切线上取点C，连接AC交⊙O于D，若⊙O的半径是6，∠C=36°，则劣弧AD的长是（　　）
A． B． C． D． 3π
2．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　）
A． π B． 13π C． π D． 14π
3．如图，AB为的直径，点C在上，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
4．如图,半径为1的⊙ O 与正五边形 ABCDE 的边相切于点的 A 、C ，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（　　）
A． 3π B． 6π C． 9π D． 12π
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（　　）
A． π B． π C． 2π D． π
7．如图是一把折扇，其平面图是一个扇形，扇面ABDC的宽度AC是骨柄长OA的一半．已知OA=30 cm，∠AOB=120°，则扇面ABDC的周长为________cm．
二、填空题
8．如图，半圆O的直径，P，Q是半圆O上的点，弦PQ的长为2，则与的长度之和为______．
9．如图，的外接圆O的半径为3，，则劣弧的长是______结果保留
10．如图，在平行四边形ABCD中，，，与AD相交于点F，AB为的直径，与CD的延长线相切于点E，则劣弧FE的长为______．
11．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧交图中网格线与点A，B，则弧AB的长是________.
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧的长为_____（保留π）
13．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，，是圆上的点，为圆心，，从到只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了__________步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：，取3.142）
14．如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是_____．
三、解答题
15．如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm，10cm，∠AOB＝120°，则这个广告标志的周长是多少？
16．如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″位置．设BC＝1，AC＝，求当顶点A运动到A″位置时，点A经过的路线长度．
17．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，其中，，的圆心依次是点A，B，C．
(1)求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
(2)判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
19．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G.
(1)求证：FA＝FG；
(2)若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
(1)求∠CAD的度数；
(2)若⊙O的半径为3，求弧BC的长.

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
连接BD，OD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADB为直角，再由BC与圆O相切，利用切线的性质得到AB垂直于BC，根据∠C的度数求出∠ABD的度数，进而确定出∠AOD度数，根据半径为6，利用弧长公式即可求出劣弧AD的长．
【详解】
连接BD，OD．
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°．
∵BC与圆O相切，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°．
∵∠C=36°，∴∠ABD=36°．
∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB=36°，∴∠AOD=72°，则劣弧AD的长为=π．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，弧长的计算，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
如答图所示，第一次旋转：以点D为旋转中心，旋转角=∠ADA′=90°，第二次旋转：以点C′为旋转中心，旋转角=∠B′C′B″=90°，然后依据扇形的弧长公式求解即可．
【详解】
如图所示：
∵AB=9，AD=12，∴BD==15．
第一次旋转：以点D为旋转中心，旋转角=∠ADA′=90°，第二次旋转：以点C′为旋转中心，旋转角=∠B′C′B″=90°，点B在两次旋转过程中经过的路径的长=+=．
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质，扇形的弧长公式的应用，确定出旋转中心、旋转角的大小以及旋转半径的大小是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，然后根据弧长公式进行计算即可求出答案．
【详解】
，，
，
，
，
，
的长为：，
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、弧长公式，熟练掌握相关知识并正确得出的度数是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求解即可.
【详解】
，，，，，，的长为：．故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长公式的应用以及圆周角定理，正确得出的度数是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
连接OA、OC，如图，根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【详解】
连接OA、OC，如图．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E=∠D==108°．
∵AE、CD与⊙O相切，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠AOC=（5-2）×180°-90°-108°-108°-90°=144°，
∴的长为,
= ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键．
6．B
【解析】
分析：直接利用弧长公式计算得出答案．
详解：的展直长度为：=6π（m）．
故选：B．
点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
7．A
【解析】【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴，
∴∠AOB=×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，
解得：AO=2，
∴的长为=π，
故选A．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
8．30π+30
【解析】分析：根据题意求出OC，根据弧长公式分别求出AB、CD的弧长，根据扇形周长公式计算．
详解：由题意得，OC=AC=OA=15，
的长==20π，
的长==10π，
∴扇面ABDC的周长=20π+10π+15+15=30π+30（cm），
故答案为：30π+30．
点睛：本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式: 是解题的关键．
9．
【解析】
【分析】
连接OP、OQ，由知，从而得，根据弧长公式求解可得．
【详解】
：如图，连接OP、OQ，则，
，
为等边三角形，
，
，
则与的长度之和为．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查弧长的计算，等边三角形的判定与性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
10．
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求，根据弧长公式可求劣弧的长．
【详解】
，，
，
根据弧长公式的长，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握弧长公式是解题的关键.
11．
【解析】
【分析】
连接、，作于，如图，利用切线的性质得，再利用平行四边形的性质得，，，从而得到四边形为矩形，则，计算出，然后求出的度数后利用弧长公式求解．
【详解】
连接、，作于，如图，
为切线，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
易得四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
，
，
劣弧FE的长
故答案为
【点睛】
本题考查了圆的切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了平行四边形的性质求圆的半径和圆心角是解决问题的关键．
12．
【解析】
【分析】
如图，连接OA，OB，则OC=OB，求得∠OBC=30°，根据平行线的性质得到∠BOE=30°，同理∠DOA=30°，根据弧长的计算公式即可得到结论．
【详解】
如图，连接OA，OB，
则OC=OB，
∴∠OBC=30°，
∵BC∥OE，
∴∠BOE=30°，
同理∠DOA=30°，
∴∠AOB=90°-30°-30°=30°，
∴的长度=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，解直角三角形，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．
【解析】分析：连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，然后利用弧长公式l=来计算劣弧的长．
详解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=2，
∴劣弧的长为：．
故答案为：．
点睛：本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到∠BOC=60°是解题的关键所在．
14．15
【解析】【分析】过O作OC⊥AB于C，分别计算出弦AB的长和弧AB的长即可求解.
【解答】过O作OC⊥AB于C，如图，
∴AC=BC，
∵
∴
∴
∴
∴
又∵弧AB的长=
米步.
故答案为：15.
【点评】考查了弧长的计算，垂径定理的应用，熟记弧长公式是解题的关键.
15．
【解析】【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．
【详解】直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2==4，点A2的坐标为（4，0），
这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）
以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），
则的长是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，弧长的计算，解题的关键找出点的坐标的变化规律、运用数形结合思想进行解题.
16．(40π＋20)cm
【解析】试题分析：首先根据弧长的计算公式分别求出优弧CD和优弧AB的长度，然后加上AC和BD的长度得出周长．
试题解析：，AC=BD=20-10=10cm，
∴周长=()cm．
17．
【解析】试题分析：分别找出每次转动的圆心、半径和转动的角度，然后根据弧长的计算公式得出路线长．
试题解析：根据勾股定理可得：AB=，
第一次旋转所经过的路程为：，
第二次旋转所经过的路程为：，
则点A经过的路程长度为：．
点睛：本题主要考查的就是弧长的计算公式的应用，属于简单题型．在实际的应用过程中，我们一定要找准每次旋转时的圆心、半径和旋转的度数，然后再根据弧长的计算公式来进行解答．
18．（1）3π（2）BG⊥DF
【解析】试题分析：(1)、扇形ADE的半径AD＝1，扇形BEF的半径BE＝BA＋AE＝BA＋AD＝2，扇形CFG的半径CF＝BC＋BF＝3，然后根据弧长的计算公式得出答案；(2)、首先得出△FCD和△GCB全等，然后根据全等的性质得出答案．
试题解析：(1)、．
(2)、∵CD=CB，CF=CG，∠FCD=∠GCB=90°， ∴△FCD≌△GCB， ∴∠BGC=∠CFD，
延长GB交FD于点H，∵∠GBC=∠FBH， ∠GBC+∠BGC=90°，∴∠FBH+∠CFD=90°，
∴∠BHF=90°，即BG⊥DF．
19．（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
详证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴的长=．
点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
20．(1)证明见解析；(2)π.
【解析】
【分析】
（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，弧AB=弧AE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
（2）根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据弧AB=弧AE，求出∠EOC=60°，即可求出弧EC的长度是多少．
【详解】
(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠ABE＋∠AGB＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠C＋∠CAD＝90°.
∵＝，
∴∠C＝∠ABE.
∴∠AGB＝∠CAD.
∴FA＝FG.
(2)连接AO，EO.
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO.
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO.
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB＝60°.
∵＝，
∴∠AOE＝60°.
∴∠EOC＝60°.
∴的长为2π×(2＋2)×＝π.
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理和应用，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算方法，等边三角形的判定与性质，要熟练掌握．推出∠AGB=∠CAD是解（1）的关键，推出∠AOB＝60°是解答（2）的关键.
21．(1) 35°;(2) .
【解析】分析：
（1）由已知易得，由此可得∠ACB=2∠ACD，由∠DAE=105°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形易得∠BCD=105°，由此可得3∠ACD=105°，从而可得∠ACD=35°；
（2）由（1）中结论易得∠ABC=∠ACB=70°，由此可得∠BAC=40°，连接OB、OC，则可得∠BOC=80°，这样由弧长计算公式即可求出的长度了.
详解：
(1)∵AB=AC，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴∠ACB=2∠ACD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=∠EAD=105°
∴∠ACB+∠ACD=105°，即3∠ACD=105°，
∴∠CAD=∠ACD=35°
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=40°，
连结OB，OC，则∠BOC=2∠BAC =80°，
∴的长.
点睛：（1）“能由已知证得∠ACB=2∠ACD，由圆内接四边形的性质得到∠BCD=∠DAE=105°”是解答第1小题的关键；（2）“作出如图所示的辅助线，能由（1）中结论求得∠BAC的度数，进而得到∠BOC的度数”是解答第2小题的关键.