2.3 等腰三角形的性质定理同步课时作业（2）

2.3 等腰三角形的性质定理同步课时作业（2）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确迅速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是(　　)
A． AB和BC，焊接点为B B． AB和AC，焊接点为A
C． AD和BC，焊接点为D D． AB和AD，焊接点为A
2．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A． AB=2BD B． AD⊥BC C． AD平分∠BAC D． ∠B=∠C
3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）
A． 20° B． 35° C． 40° D． 70°
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）
A． BC B． CE C． AD D． AC
5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E．则∠EDC的大小是（　　）
A． 20° B． 30° C． 40° D． 50°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为( )
A． 18 B． 20 C． 22 D． 24
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为( )
A． 35° B． 45° C． 55° D． 60°
8．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C； ②∠AEF=∠AFE； ③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB=AC， AD是BC边上的高，BD=4cm，则BC=_____ cm．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积是_____cm2.

11．已知△ABC的周长是36cm，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，(ABD的周长是30cm，那么AD的长是________cm．
12．如图，△ABC中，AB=AC，BC=4，点E为中线AD上一点，已知△ABE和△CDE的面积分别为2和3，则AD的长度为 _________ 。
13．如图，等边中，AD是中线，于点E，，则点D到AB的距离为：______．
14．如图，已知S△ABC=10m2，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E,连接CD，则S△ADC=____________m2．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
16．如图，已知等腰三角形ABC的周长为16，AD是顶角∠BAC的平分线，AB∶AD＝5∶4，且△ABD的周长12．求△ABC各边的长．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，过点 A作 AD⊥BC于点D，过点 D作AB的平行线交AC于点E．
求证: DE=EC=AE．
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE.
求证： AE=BE.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．
20．（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．证明：DE=DF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE和DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：DE=DF．
21．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，延长 AE 交 BC 的 延长线于点 F.
（1）△DAE 和△CFE 全等吗？说明理由；
（2）若 AB=BC+AD，说明 BE⊥AF；
（3）在（2）的条件下，若 EF=6，CE=5，∠D=90°，你能否求出 E 到 AB 的距离？如果能 请直接写出结果.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质进行分析即可．
【详解】
根据等腰三角形的三线合一，知：AD⊥BC，根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D.
故选:C．
【点睛】
考查等腰三角形三线合一性质:在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。
2．A
【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得：∠B=∠C，根据三线合一定理可得：AD⊥BC，AD平分∠BAC，故选A．
3．B
【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
详解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选：B．
点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
4．B
【解析】试题解析：如图连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．
5．A
【解析】∵AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，∴∠CAD=∠BAD=20°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°﹣∠CAD=70°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣70°=20°，故选A．
6．B
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于点D，∴BD=CD．∵AB=6，CD=4，∴△ABC的周长=6+4+4+6=20．故选B．
点睛：本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的三线合一是解题的关键．
7．C
【解析】
试题分析：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°﹣70°）=55°．
故选C．
考点：等腰三角形的性质．
8．C
【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，
∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF=90°，
∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，
又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF=∠AFE，故②正确；
∵∠ABE=∠CBE，
∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；
∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
9．8
【解析】
【分析】
由AB=AC， AD是BC边上的高，可知AD是BC边的中线，从而可求出BC的长.
【详解】
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=4cm，
∴BC=2BD =2×4=8cm．
故答案为8.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线重合是解答本题的关键.
10．9
【解析】∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD，S△BEF=S△CEF，(同底等高的三角形面积相等)
∴S阴影= S△BAE+S△CEF+S△BFD=S△BAE+S△BEF+S△BFD=S△ABD=S△ABC=×18=9（cm2）.
故答案为9.
点睛：本题主要考查等腰三角形的三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.还考查了同底等高的三角形面积相等.
11．12
【解析】
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵C△ABC=36cm，
∴AB+AC+BC=36，
∴2AB+2BD=36，
∴2（AB+BD）=36，
∴AB+BD=18，
∵C△ABD=30cm，
∴AB+BD+AD=30，
∴AD=30－18=12cm.
故答案为12.
点睛：本题关键在于利用等腰三角形三线合一性质将等腰三角形的周长进行转化.
12．5
【解析】∵△ABE和△CDE的面积分别为2和3，
∴S△ABC=(2+3) ×2=10.


13．3
【解析】
【分析】
作DF⊥AB,根据等腰三角形性质可得AD是∠BAC的角平分线；根据角平分线性质可得DF=DE=3.
【详解】
作DF⊥AB,
因为，三角形ABC是等边三角形，AD是中线
所以，∠BAD=∠CAD=30?,即：AD是∠BAC的角平分线.
因为，，
所以，DF=DE=3,
所以，D到AB的距离为3.
故答案为：3
【点睛】
本题考核知识点：等腰三角形性质，角平分线性质. 解题关键点：熟记等腰三角形“三线合一”性质.
14．5
【解析】分析：根据三线合一定理得出点D为BE的中点，然后根据等底同高的三角形面积相等的性质得出，，从而得出答案．
详解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD， ∴△ABE为等腰三角形，点D为BE的中等，
∴根据等底同高的性质可得：，，
∴．
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形面积的计算，属于中等难度的题型．根据三线合一定理得出点D为中点是解决这个问题的关键．
15．65°
【解析】试题分析：由等腰三角形“三线合一”得到∠DAE的度数，再由直角三角形的两锐角互余得到结论．
试题解析：解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC．∵∠BAC＝50°，∴∠DAE＝∠BAC＝25°．又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－25°＝65°．
16．AB＝5，AC＝5，BC＝6
【解析】试题分析：由等腰三角形ABC的周长为16以及AB∶AD＝5∶4，可设AB＝5x，则AD＝4x，AC＝5x，则BC＝16－10x，由，AD是顶角∠BAC的平分线，得BD＝DC，由△ABD的周长12可到关于x的方程，解之即可.
试题解析：设AB＝5x，则AD＝4x，AC＝5x，BC＝16－10x.
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝DC＝BC＝8－5x，
∴5x＋4x＋(8－5x)＝12，
解得x＝1.
∴AB＝5x＝5，AC＝5x＝5，BC＝16－10x＝6.
17．证明见解析
【解析】证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD．
又∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，∠ADE=∠BAD．
∴∠EDC=∠C，∠ADE=∠CAD．
∴DE=EC，AE=DE．
∴DE=EC=AE．
18．见解析
【解析】
分析：
由∠C=90°易得∠CAB+∠B=90°，结合∠CAB=∠BDE可得∠BDE +∠B=90°，由此可得∠DEB=90°，从而可得DE⊥AB，再由∠DAB=∠B证得AD=BD即可由等腰三角形的性质得到AE=BE.
详解：
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠CAB=∠BDE，
∴∠BDE +∠B=90°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥AB，
∵∠DAB=∠B，
∴DA=DB，
∴AE=BE.
点睛：由∠CAB=∠BDE结合∠CAB+∠B=90°证得∠BDE +∠B=90°，从而证得DE⊥AB是解答本题的关键.
19．证明见解析
【解析】分析：先利用等边对等角证出∠B=∠C，再线段垂直平分线的性质得到ED=EC，进而得到∠EDC=∠C，利用等量代换得到∠EDC=∠B，最后利用平行线的判定即可证出结论.
详解：证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF垂直平分CD，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∴∠EDC=∠B，
∴DF∥AB．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、平行线的判定.利用等腰三角形的性质、垂直平分线的性质证出∠EDC=∠B是解题的关键.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，又因DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质定理即可证得DE=DF；（2）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CDA=90°，又因DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，可得∠ADE=∠ADF=45°，利用ASA证得△AED≌△AFD，根据全等三角形等的性质即可得结论.
试题解析：
（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF；
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴DE=DF．
点睛：本题考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5
【解析】分析：（1）根据平行线的性质可得∠ADE=∠FCE，根据中点定义可得DE=EC，结合对顶角相等即可根据“ASA”得到△ADE≌△FCE；
（2）由全等三角形的性质可得AD=CF，AE=EF，从而AB=BF，E为为 AF 中点，由三线合一的性质知BE⊥AF，BE平分∠ABC；
（3）由（2）知BE平分∠ABC，根据角平分线的性质即可得到答案.
详解：（1）△DAE≌△CFE 理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是 CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
∵????????ADC＝(ECF（已证），
DE＝EC（已证），
(AED＝(CEF（对顶角相等），
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=EF（全等三角形的对应边相等），
∴E 为 AF 中点，即 BE 是△ABF 中 AF 边上的中线，
∵AB=BC+AD，
∴AB=BC+CF=BF，
∴BE⊥AF（三线合一）；
（3）∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=90°,
∵CE=5，
∴E 到 AB 的距离等于5.
点睛：本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解（1）的关键，熟练掌握等腰三角形的性质是解（2）的关键，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解（3）的关键.