2.4 等腰三角形的判定定理同步课时作业

2.4 等腰三角形的判定定理同步课时作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为(　　)
A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D． 1
2．如图，AC与BD相交于O，∠1=∠4，∠2=∠3，△ABC的周长为25cm，△AOD的周长为17cm，则AB=（　　）
A． 4cm ； B． 8cm； C． 12cm； D． 无法确定；
3．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论中正确的是(　　)
①△BCD为等腰三角形；②BF＝AC；③CE＝BF；④BH＝CE.
A． ①② B． ①③ C． ①②③ D． ①②③④
4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（ ）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
5．△ABC中，AD是中线，点D到AB，AC的距离相等，则△ABC一定是（　　）
A． 直角三角形 B． 等腰三角形
C． 等边三角形 D． 等腰直角三角形
6．如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是　　
A． B． C． D．
7．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为(　　)
A． 8 B． 16 C． 32 D． 64
8．如图，在四边形ABCD中AC，BD为对角线，，则的大小为　　
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，∠ABD=76°，∠C=38°，BC=30cm，则BD的长为_____．
10．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②DE=BD+CE；
③△ADE的周长为AB+AC；
④BD=CE．其中正确的是　 　．
11．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为__．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是_____．
13．如图：∠DAE=∠ADE =15，DE∥AB．DF⊥AB，若AE=8．则DF等于 ．
14．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__．
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为____________．
三、解答题
16．已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角∠EAC．求证：AB=AC．
17．如图，在中，，于点求作射线BM，分别交AD，AC于P，Q两点，使得保留作图痕迹，不写作法
18．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E，试说明：△CDM是等腰三角形．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，点F在边AC上，若∠CAB＋∠BDF＝180°.求证：DF＝DB.
20．如图①，AB＝AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB.问：(答题时，注意书写整洁)
(1)图①中有几个等腰三角形？(写出来，不需要证明)
(2)过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图②，图中增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．
(3)如图③，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF与BE、CF有什么关系？(写出来，不需要证明)
21．如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．
（1）求证：OB=DC；
（2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．
参考答案
1．D
【解析】∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD=?BE=?AE=（AC-BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD=×（5-3）=2．
故选D.
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等角对等边及等腰三角形“三合一”性质是解答本题的关键．
2．B
【解析】分析：先求出∠ABC=∠BAD，然后利用角边角证明△ABC与△BAD全等，根据全等三角形的周长相等可得△ABD的周长为25cm，再根据等角对等边的性质得到AO=BO，求出△AOD的周长等于AD+BD，然后代入数据进行计算即可求出AB的长度．
详解：∵∠1=∠4，∠2=∠3，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
即∠ABC=∠BAD.
在△ABC与△BAD中，
∵∠2＝∠3 ，? ?
AB＝BA ，? ?
∠ABC＝∠BAD， ? ?
∴△ABC≌△BAD（ASA），
∵△ABC的周长为25cm，
∴△BAD的周长为25cm，
∵∠2=∠3，
∴AO=BO，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD=AD+BO+OD=AB+BD=17cm，
∴AB=△ABD的周长-AD-BD=25-17=8cm．
故选B.
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定，等要三角形的判定，求出△AOD的周长等于线段AB与BD的和是解题的关键．????
3．C
【解析】
分析：
根据“等腰三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质”结合“已知条件”进行分析解答即可.
详解：
（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CDA=90°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，
∴BD=CD，
∴△BCD是等腰三角形，即结论①成立；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CDA=90°，
∴∠ABF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF=AC，即结论②成立；
（3）∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴∠BEA=∠BEC=90°，∠ABE=∠CBE，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE=AC，
∴CE=BF，即结论③成立；
（4）∵BD=CD，DH⊥BC，
∴BH=BC，
∵CE=AC，且不能确定AC=BC成立，
∴不能确定BH=CE成立，即结论④不一定成立.
综上所述，4个结论中成立的是①②③.
故选C.
点睛：这是一道综合考查“等腰三角形和全等三角形”的题目，熟悉“等腰三角形的判定方法和相关性质及全等三角形的判定方法和性质”是正确解答本题的关键.
4．D
【解析】
分析：利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB=MO，NC=NO，将三角形AMN周长转化为AB+AC，求出即可．
详解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO．
∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，∴MB=MO，NC=NO，∴MN=MO+NO=MB+NC．
∵AB=4，AC=6，∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10．
故答案为：10．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，熟练掌握各自的判定和性质是解答本题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
由AD是△ABC的中线，可得 ，再由D到AB，AC的距离相等可得AB=AC,即可得证.
【详解】
∵AD是中线，∴,再由∵D到AB，AC的距离相等，∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形，故选B．
【点睛】
本题考查了中线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是知道三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
6．B
【解析】
【分析】
由∠ABC=50°，∠ACB=60°，可判断出AC≠AB，根据三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，根据邻补角定义可求出∠ACE度数，由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可求得∠BDC的度数，继而根据三角形内角和定理可求得∠DOC的度数，据此对各选项进行判断即可得.
【详解】
∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，∠ACE=180°-∠ACB=120°，AC≠AB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC=∠ABC=25°，∠DCE=∠ACD=∠ACE=60°，
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=35°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=180°-60°-35°=85°，
∵∠DBC=25°，∠BDC=35°，∴BC≠CD，
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形判定，角平分线的定义等，熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解本题的关键.
7．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2 A2B1，从而得出A3B3= A2B1，A4B4= A2B1，A5B5= A2B1，A6B6= A2B1，找出规律即可求出A6B6的值.
【详解】
解：∵△A1B1A2是等边三角形，∠MON＝30°.
∴A2B1= A1B1= OA1＝1， ∠O B1A1＝30°，
∠A1B1A2＝∠B1A1 A2＝∠B1A2 A1＝60°，
∵∠O B1A1+∠A1B1A2+∠B2B1 A2＝180°，
∴∠B2B1 A2＝90°.
∵△A2B2A3为等边三角形
∴A2B2= A3B2，∠A2B2A3＝∠B2A3 A2＝∠B2A2 A3＝60°，
∴∠A2B2B1＝30°
∴A2B2=2 A2B1，
同理可得：A3B3= A2B1，A4B4= A2B1，A5B5= A2B1，A6B6= A2B1，
∴A6B6=32.
即△A6B6A7的边长为32.
故选C.
【点睛】
这是一个规律型题，根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，正确总结规律是解题的关键.
8．D
【解析】
分析：先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°可得∠ABC=60°，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠ADB、∠BDC，然后根据∠ADC=∠ADB+∠BDC求解即可．
详解：∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵AB=BC=BD，
∴∠ADB=（180°-∠ABD），
∠BDC=（180°-∠CBD），
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC，
=（180°-∠ABD）+（180°-∠CBD），
=（180°+180°-∠ABD-∠CBD），
=（360°-∠ABC），
=180°-×60°，
=150°．
故选：D．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了等腰三角形两底角相等，要注意整体思想的利用．
9．30cm．
【解析】解：∵∠ABD=76°，∠C=38°，∴∠D=∠ABD﹣∠C=76°﹣38°=38°，∴∠C=∠D，∴BD=BC=30cm．故答案为：30cm．
10．①②③
【解析】试题分析：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DB＝DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；故正确．
②∵△BDF，△CEF都是等腰三角形，
∴DF＝DB，EF＝EC，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋EC，故正确．
③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD＝DF，EF＝EC，
△ADE的周长＝AD＋DF＋EF＋AE＝AD＋BD＋AE＋EC＝AB＋AC；故正确，
④无法判断BD＝CE，故错误，
故答案为①②③．
11．等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
【解析】因为（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，所以a-b=0或a2+b2=c2，所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
故答案为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
12．13cm.
【解析】试题解析：∵DE∥AB，BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠ABD=∠EDB，
∴DE=BE=5cm，
∵AB=AC，DE∥AB，
∴∠C=∠ABE=∠DEC，
∴DC=DE=5cm，且CE=3cm，
∴DE+EC+CD=5cm+3cm+5cm=13cm，
即△CDE的周长为13cm，
故答案为：13cm．
13．4
【解析】作DG⊥AC，垂足为G.
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中,DG=ED=×8=4，
∴DF=DG=4.
故答案为4.
14．②③④
【解析】解：应添加的条件是②③④；
证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高，则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF．
∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC，∴△AEF是等腰三角形，∴∠E=∠F．
∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E．
同理，得∠ACB=2∠F，∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）．
∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；
∴①+②得：2AB=2AC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：②③④．
点睛：此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质．本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．
15．20°或40°或70°或100°
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，分四种情况讨论：
①当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°；
②当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×40°=20°；
③当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=×（180°﹣40°）=70°；
④当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°﹣40°×2=100°；
综上所述：∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．
故答案为：20°或40°或70°或100°．
16．见解析
【解析】分析：根据平行线的性质得出∠B=∠EAD，∠C=∠DAC，根据角平分线定义得出∠EAD=∠DAC，即可得出答案．
详解： ∵AD∥BC
∴∠B=∠EAD ∠C=∠DAC
∵AD平分外角∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
∴∠B=∠C
∴AB=AC
点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
17．作图见解析.
【解析】
【分析】
作的角平分线即可，由余角的性质可知∠C=∠BAD,由三角形外角的性质可证∠APQ=∠AQP，从而AP=AQ.
【详解】
解：如图，点P、Q为所作．
【点睛】
本题考查了基本作图---作角的平分线，余角的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的作法是解答本题的关键.
18．见解析
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定SAS证得△ABD≌△FEC（SAS），即可根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠FCE，最后根据等角对等边证明即可.
【详解】
解：∵BC=DE，
∴BC+CD=DE+CD，即BD=CE，
在△ABD与△FEC中，
∴△ABD≌△FEC（SAS），
∴∠ADB=∠FCE，
∴CM=DM，
即△CDM是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定与性质证明∠ADB=∠FCE.
19．见解析.
【解析】分析：在AB上截取AE＝AF，根据角平分线和公共边得出△ADF和△ADE全等，从而得出DF=DE，根据∠CAB＋∠BDF＋∠5＋∠B＝360°，∠CAB＋∠BDF＝180°，得出∠5＋∠B＝180°，根据平角的性质以及∠5=∠3得出∠B=∠4，从而得出答案．
详解：解：如图，在AB上截取AE＝AF，∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2，
在△ADF和△ADE中，AF=AE，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF≌△ADE(SAS)，
∴DF＝DE，∠5＝∠3，∵∠CAB＋∠BDF＋∠5＋∠B＝360°，∠CAB＋∠BDF＝180°，
∴∠5＋∠B＝180°， 又∵∠3＋∠4＝180°，∠5＝∠3， ∴∠B＝∠4，
∴DB＝DE， ∴DF＝DB．
点睛：本题主要考查的是三角形全等的证明与性质、等腰三角形的判定与性质，难度中上，综合性比较强．作出辅助线构造三角形全等是解决这个问题的关键．
20．（1）有两个等腰三角形：△ABC，△BDC.（2）增加了三个等腰三角形：△EBD，△FDC，△AEF，证明见解析；（3）有两个等腰三角形：△EBD，△FDC.EF＝BE＋CF，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由条件可证得∠DBC＝∠DCB，所以共有两个等腰三角形；
（2）由平行和角平分线的性质可得∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，且AE＝AF，所以增加了三个等腰三角形；
（3）此时同②只能得出∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，即只有两个等腰三角形，且EF＝BE＋FC．
【详解】
（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CD分别是角平分线，
∴∠DBC＝12∠ABC＝12∠ACB＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∴△BDC是等腰三角形，
即在图1中共有两个等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴△EBD为等腰三角形，同理△FDC为等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵AB＝AC，
∴△AEF为等腰三角形，
即在图2中增加了三个等腰三角形；
（3）同（2）可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形，
所以EF＝BE＋CF，
即只有两个等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）40°；（3）当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）由已知证明△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得；
（2）由∠BOC=130°，根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°，再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四边形AOCD中，根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数；
（3）分三种情况进行讨论即可得.
【详解】
（1）∵∠BAC=∠OAD=90°，
∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO，
∴∠DAC=∠OAB，
在△AOB与△ADC中，
，
∴△AOB≌△ADC，
∴OB=DC；
（2）∵∠BOC=130°，
∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，
∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC，
∴∠ADC+∠AOC=230°，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=90°，
∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；
（3）当CD=CO时，
∴∠CDO=∠COD==70°，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA=45°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°，
又∠AOB=∠ADC=α，
∴α=115°；
当OD=CO时，
∴∠DCO=∠CDO=40°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°，
∴α=85°；
当CD=OD时，
∴∠DCO=∠DOC=40°，
∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°，
∴α=145°，
综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、等腰三角形的判定等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质和定理是解题的关键.