2.7 探索勾股定理同步课时作业（1）

2.7 探索勾股定理同步课时作业（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．等腰直角三角形的三边之比为(　　)
A． 3∶4∶5 B． 1∶1∶2 C． 1∶1∶ D． ∶∶1
2．对于任意两个正整数m、n（m＞n），下列各组三个数为勾股数的一组是（ ）
A． m2+mn，m2－1，2mn B． m2－n2，2mn，m2+n2 C． m+n，m－n，2mn D． n2－1，n2+mn，2mn
3．下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、17，其中是勾股数的有（　　）
A． 4组 B． 3组 C． 2组 D． 1组
4．一个直角三角形有两条边长分别为6和8，则它的第三条边长可能是（　　）
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
5．如图，a、b、c分别表示直角三角形的三边向外作的正方形的面积，下列关系正确的是（　　）
A． a+b=c B． a2+b2=c2 C． ab=c D． a+b=c2
6．小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了5根和12根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形时共用火柴棒(　　)
A． 13根 B． 18根 C． 25根 D． 30根
7．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距(　　)
A． 6海里 B． 24海里 C． 30海里 D． 42海里
8．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A． 2 B． -1 C． -1 D．
二、填空题
9．在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+BC2+CA2=_____．
10．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____cm．
11．如图，一张纸片的形状为直角三角形，其中，，，沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合，则CD的长为______cm．
12．如图，在Rt△ABC中，，，，点是中点，过点作交于点，则的长度是__．
13．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．
14．在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=12，DC=EC=5.当点A．C、D在同一条直线上时，AF的长度为_______.
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为__________．
三、解答题
16．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90o，AB＝8，点D是BC上一点，AD＝BD＝5，求CD的长．
17．如图，四边形ABCD的周长为42，AB=AD=12，∠A=60°，∠D=150°，求BC的长．
18．限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米
时一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点
M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此车是否超速．
19．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.
（1）求BE的长；
（2）求BD的长.
20．（8分）如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：BD2＋CD2＝2AD2．
21．某研究性学习小组进行了探究活动.如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m.
（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？
（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先设等腰直角三角形的一个直角边长为a，根据勾股定理计算出其斜边的长，然后三边相比即可．
【详解】
设等腰直角三角形的一个直角边长为a,由等腰三角形的性质可得：另一边长也为a，其斜边长为：
所以等腰直角三角形的三边之比为：a：a：＝1：1：.
故选：C.
【点睛】
考查学生对等腰直角三角形和勾股定理的理解和掌握，解得此题的关键是利用勾股定理求出其斜边的长.
2．B
【解析】
【分析】
满足勾股数的条件，即为可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.
【详解】
由勾股数的定义可得，满足两边的平方和等于第三边的平方即可，
而选项中只有选项，
而、、均不满足题意.
故选：.
【点睛】
熟练掌握勾股数的定义及勾股定理逆定理的运用.
3．C
【解析】①32+42=52，符合勾股数的定义；②42+52≠62，不符合勾股数的定义；③2.5、6.5不是正整数，不符合勾股数的定义；④82+152=172，符合勾股数的定义，故选C．
4．C
【解析】当8是直角边时，第三条边长为：，
当8是斜边时，第三条边长为：，
故选C．
5．A
【解析】由正方形的面积公式可知：左边正方形的边长=，右边正方形的边长=，下边正方形的边长=，由勾股定理可知：（）2+（）2=（）2，即a+b=c．故选：A．
点睛：本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是表示出三个正方形的边长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系利用勾股定理即可得出结论．
6．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量．再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量．
【详解】
∵两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒∴由勾股定理，得到斜边需用：
∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：5+12+13=30．故选：D．
【点睛】
考查勾股定理的应用，解题关键是利用勾股定理求得斜边的长度．
7．C
【解析】
【分析】
画出平面直角坐标系，标出2艘轮船的准确位置，根据夹角计算距离．
【详解】
如图所示：
OA为第2艘轮船的行驶路线，OB为第一艘轮船的行驶路线，则OA=12×1.5=18海里，OB=16×1.5=24海里，且∠AOB为90°，∴AB=海里．故选：C．
【点睛】
考查了勾股定理的运用，斜边的平方等于两直角边平方和，准确画出直角三角形，并利用勾股定理是解本题的关键．
8．C
【解析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示-1，可得M点表示的数．
解：AC= ，则AM=，∵A点表示-1，∴M点表示的数为： -1，故选C．
“点睛”此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9．18
【解析】因为△ABC为直角三角形，AB为斜边，所以AC2+BC2=AB2，又AB=3，所以AC2+BC2=AB2=9，则AB2+BC2+CA2=AB2+(BC2+CA2)=9+9=18，故答案为18.
10．
【解析】分析：直接利用勾股定理计算即可.
详解：由勾股定理得：斜边长=
故答案为：
点睛：此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理计算边长有：（1）已知两边求第三边；（2）已知一边和另两边之间的关系，求第三边.
11．3
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中根据勾股定理得AB=20，再根据折叠的性质得AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90°，所以BE=AB-AE=4，设CD=x，则BD=8-x，然后在Rt△BDE中利用勾股定理得到42+x2=（8-x）2，再解方程求出x即可．
【详解】
在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵△ACB沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合，
∴AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
设CD=x，则BD=8-x，
在Rt△BDE中，
∵BE2+DE2=BD2，
∴42+x2=（8-x）2，解得x=3，
即CD的长为3cm．
故答案为：3
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
12．
【解析】
【分析】
如下图，连接AE，由题意易得DE是AC的垂直平分线，由此可得AE=CE，设CE=，则AE=，BE=，这样在Rt△ABE中由勾股定理建立方程，解方程即可求得CE的值.
【详解】
图下图，连接AE，∵点D是AC的中点，DE⊥AC于点D，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=，则AE=，BE=，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得：，
解此方程得.
故答案为：.
【点睛】
作出如图所示的辅助线，熟悉“线段垂直平分线的性质和勾股定理的内容”是解答本题的关键.
13．-1
【解析】
【分析】
先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【详解】
如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=
∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
14．
【解析】分析:先根据AC=BC, ∠ACB=∠ECD=90°,DC=EC,可证明Rt△ACE≌Rt△BCD,
根据全等三角形性质可得∠EAD=∠CBD,根据∠EAD+∠AEC =90°, ∠CEA=∠BEF,可证得: ∠CBD+∠BEF=90°,继而可得: ∠BFA=90°,所以AF⊥BD,然后在Rt△BCD中,根据勾股定理可得:BD=,最后根据等面积法可得:,代入数值即可求解.
详解: 因为AC=BC, ∠ACB=∠ECD=90°,DC=EC,
所以Rt△ACE≌Rt△BCD,
所以∠EAD=∠CBD,
因为∠EAD+∠AEC =90°, ∠CEA=∠BEF,
所以 ∠CBD+∠BEF=90°,
所以 ∠BFA=90°,
所以AF⊥BD,
在Rt△BCD中,根据勾股定理可得:BD=,
由等面积法可得:,
所以,
所以,
故答案为:.
点睛:本题主要考查勾股定理,全等三角形判定和性质综合,解决本题关键是要熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理的综合运用.
15．
【解析】分析：首先根据三角形外角的性质可得∠B=∠BAD，根据等角对等边可得BD=AD=√55，然后利用勾股定理计算出CD长，进而可得BC长．
详解：∵∠B+∠DAB=∠ADC，∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD=，∵∠C=90°，∴CD===1，∴BC=+1．
故答案为：.
点睛：此题主要考查了勾股定理，以及三角形外角的性质，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
16．见解析
【解析】试题分析：设CD=x，则BC=5+x，在△ACD和△ACB中，利用勾股定理求解即可.
解：∵∠C＝90o，即△ACD和△ACB是直角三角形．
∴在Rt△ACD中，AC2＝AD2－CD2，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2－CB2，
∴AD2－CD2＝AB2－CB2．
设CD＝x，则BC＝5＋x，
∴52－x2＝82－(5＋x)2 ，
解得x＝1.4．
即CD的长为1.4．
17．13
【解析】分析：连接BD，根据∠A=60°，AB=AD得出△ABD为等边三角形，从而得出∠BDC=90°，根据四边形周长得出CD+BC=18，然后根据Rt△BCD的勾股定理得出答案．
详解：连接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠CDB=150°-60°=90°，△BCD是直角三角形，于是BC+CD=42-12-12=18，从而CD=18-BC，
利用勾股定理列方程得（18-BC）2+122=BC2，解得BC=13．
点睛：本题主要考查的是等边三角形的性质以及直角三角形勾股定理的应用，属于基础题型．添加辅助线得出△BCD为直角三角形是解决这个问题的关键．
18．此车没有超速
【解析】
【分析】
在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断．
【详解】
解：在中，，，
米，
在中，，，
米，
米，
汽车从A到B的平均速度为米秒，
米秒千米时千米时，
此车没有超速．
【点睛】
本题考核知识点：勾股定理的应用. 解题关键点：把问题转化为在直角三角形中的问题.
19．（1）2 （2）
【解析】分析：(1)、根据勾股定理求出AB的长度，然后根据角平分线得出△EAD和△CAD全等，从而得出AE=AC=8，最后求出BE的长度；(2)、折DC=x，则DE=x，BD=6－x，然后根据Rt△BDE的勾股定理求出x的值，从而得出BD的长度．
详解：(1)、在Rt△ABC中， ∵AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，
∴△EAD≌△CAD（AAS）， ∴AE=AC=8， ∴BE=10-8=2；
(2)、∵△EAD≌△CAD， ∴ED=DC， 设DC=x,则ED=x. ∵BC=6，∴BD=6-x，
在Rt△BED中，根据勾股定理得： 解得x=，∴BD=6-=．
点睛：本题主要考查的是直角三角形的勾股定理，属于中等难度的题型．根据题意得出△EAD和△CAD全等是解题的关键．
20．见解析
【解析】试题分析：（1）通过证BA＝CA，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得出△ABD≌△ACE；（2）证CE=BD,DE2=2AD2，再在Rt△CDE中利用勾股定理即可.
解：∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE．
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD=CE．
∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°，
∴CE2＋CD2＝DE2．
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE2＝AD2＋AE2＝2AD2．
∴BD2＋CD2＝2AD2．
21．（1）梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，理由见解析；（3）AB上的中点O到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【解析】分析：(1)在中利用勾股定理求得AO的长即可;
(2)在梯子长度不变的情况下,求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断.
详解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=12m，
∴梯子顶端距地面12m高；
（2）滑动不等于4m，
∵AC=4m，
∴OC=AO-AC=8m，
∴OD=m，
∴BD=OD-OB=?5＞4，
∴滑动不等于4m；
（3）AB上的中点O到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
点睛：本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是在直角三角形中弄清直角边和斜边.