2.7 探索勾股定理同步课时作业（2）

2.7 探索勾股定理同步课时作业（2）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为 ( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A． 1，1， B． 4，5，6 C． 6，8，11 D． 5，12，15
3．如图,正方形网格中的ΔABC,若每个小方格边长都为1,则ΔABC的形状为(　　)
A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 以上答案都不对
4．如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则等于(????)
?
A． 75 B． 100 C． 120 D． 125
5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A． 7.5平方千米 B． 15平方千米 C． 75平方千米 D． 750平方千米
6．已知△ABC的三个角是∠A，∠B，∠C ，它们所对的边分别是a，b，c.①c2－a2＝b2；②∠A＝∠B＝∠C；③c＝a＝b；④a＝2，b＝2 ，c＝.上述四个条件中，能判定△ABC 为直角三角形的有(　　)
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
7．已知△ABC的三边长分别为10，24，26，则最长边上的中线长为（　　）
A． 14 B． 13 C． 12 D． 11
8．如图，中俄“海上联合—2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A,B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（ ）

A． 南偏东30° B． 北偏东30° C． 南偏东 60° D． 南偏西 60°
二、填空题
9．如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是_________cm2．
10．若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是_____．
11．若a、b、c是△ABC的三边，且|a-3|+(b-4)2+=0，则△ABC的面积为___________.
12．一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是______三角形．
13．如图所示，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，且AB＝2，则正方形ADEF的面积为________．
14．如图所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.
15．已知：如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．求△ABC的面积为_____．
三、解答题
16．如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，请问△BCD是直角三角形吗？请说明你的理由．
17．如图，四边形ABCD是一个四边形的草坪，通过测量，获得如下数据：AB＝4m，BC＝7m，AD＝3m，CD＝2m，请你测算这块草坪的面积．(取近似值2.46，结果精确到0.1)．
18．如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD，若AB=4，BC=5，AD=2，∠D=30°，求四边形ABCD的面积．
19．阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　；
（2）错误的原因为：　 　；
（3）本题正确的结论为：　 　．
20．如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积．
21．如图，一块四边形的土地，其中∠BAD=90°，AB=4m，BC=12m，CD=13m，AD=3m．
（1）试说明BD⊥BC；
（2）求这块土地的面积．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7 cm，AC＝25 cm.点P从点A沿AB方向以1 cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6 cm/s的速度运动至点C，P，Q两点同时出发．
(1)求BC的长；
(2)当点P，Q运动2 s时，求P，Q两点之间的距离；
(3)P，Q两点运动几秒时，AP＝CQ?
参考答案
1．B
【解析】分析：分别求出5个数字的平方，看哪两个的平方和等于第三个数的平方，从而可判断能构成直角三角形．
解答：解：∵32＝9，42＝16，52＝25，122＝144，132＝169，
∴9＋16＝25，25＋144＝169，
即32＋42＝52，52＋122＝132，
故选：B．
点睛：本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．
2．A
【解析】
【分析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两短边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
A．12+12=（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
B．52+42≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C．62+82≠112，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D．122+52≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
由题意可知ΔABC是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．故选B.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断．
4．B
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．
【详解】
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠DCF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠DCF，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知：CE2+CF2=EF2=100．
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．
5．A
【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选：A．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理、三角形的内角和逐一进行判断即可得.
【详解】
①由c2－a2＝b2，可得c2=a2+b2，故可判断三角形ABC是直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵c＝a＝b，∴a=b，
∴a2+b2=2a2=c2，∴△ABC是直角三角形；
④∵a＝2，b＝2 ，c＝，
∴a2+b2=12≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故选C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，主要涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
7．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，从而可根据斜边上的中线是斜边上的中线是斜边的一半求解．
【详解】
∵102+242=262，
∴△ABC是直角三角形，
∵直角三角形中最长的边即斜边为26，
∴最长边上的中线长=13．
故选B．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及直角三角形斜边上的中线的综合运用能力．
8．C
【解析】【分析】由题意可知OA=18，OB=24，AB=30，由勾股定理逆定理可知∠AOB=90°，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向.
【详解】如图，由题意得：OA=12×1.5=18，OB=16×1.5=24，
∵AB=30，
∴OA2+OB2=182+242=900=302=AB2，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，
∴二号舰航行的方向是南偏东 60°，
故选C.
【点睛】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键.
9．36
【解析】分析：连接AC，求证△ACD为直角三角形，则△ABC的面积=AC·AD，△ABC面积=AB·BC，四边形ABCD的面积等于△ABC和△ACD面积之和．
详解：连接AC，
∠ABC=90°，AC==5cm，
∵52+122=132，
∴AC2+AD2=CD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴△ACD面积=×AC×AD=30cm2，
△ABC面积=×AC×BC=6cm2，
故四边形ABCD的面积为36cm2，
故答案为 36．
点睛：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定△ACD是直角三角形是解题的关键．
10．5
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】
∵三角形三边分别为6，8，10，62+82=102，
∴该三角形为直角三角形，
∵最长边即斜边为10，
∴斜边上的中线长为：5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边中线的性质是解题的关键.
11．6
【解析】分析：先根据非负数的性质得到△ABC的三边a、b、c的长，再根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
详解：∵|a-3|+(b-4)2+=0，
∴a?3=0，b?4=0，c?5=0，
解得a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积为3×4÷2=6.
故答案为：6.
点睛：此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根等知识点，熟练掌握这些性质，得到三角形的三边长是解题的关键.
12．直角
【解析】
【分析】
先化简等式可得a2+b2=c2，再由勾股定理逆定理，即可判定这个三角形为直角三角形．
【详解】
∵(a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2=2ab，
即a2+b2=c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，解决的关键是把所给的等式化简.
13．3
【解析】
【分析】
在等边三角形AD为BC边上的高,根据等边三角形三线合一性质可得AD为BC边上的中线,即D为BC的中点,可得BD=DC=1,再根据勾股定理可求出AD,继而求出正方形的面积.
∵AD⊥BC,
∴AD2+BD2=AB2,
即AD=,
∴正方形ADEF的面积为S=AD2=3,
故答案为: 3．
【详解】
在等边三角形AD为BC边上的高,则AD为BC边上的中线,
即D为BC的中点,BD=DC=1,
∵AD⊥BC,
∴AD2+BD2=AB2,
即AD=,
∴正方形ADEF的面积为S=AD2=3,
故答案为: 3．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理.
14．cm.
【解析】解：过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，
∴AB=DE.
∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.
根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.
∴AB= cm.
15．84
【解析】∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB2=169，AD2=144，BD2=25，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴DC=,
∴BC=BD+DC=5+9=14，
∴S△ABC=BC·AD=.
16．△BCD是直角三角形
【解析】
【分析】
首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形．
【详解】
△BCD是直角三角形，
理由：在Rt△BAD中，
∵AB=AD=2，
∴BD==，
在△BCD中，BD2+CD2=（）2+12=9，BC2=32=9，
∴BD2+CD2=BC2，
△BCD是直角三角形．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
17．18.3m2
【解析】试题分析：连接BD，在Rt△ABD中，AB=4m，AD=3m，根据勾股定理求得的长，再由BC及CD的长，利用勾股定理的逆定理判断得到△BDC为直角三角形，草坪的面积=，求出即可．
试题解析：连接BD，如图所示，
在Rt△ABD中，AB=4m，AD=3m，
根据勾股定理得：
又
∴
∴
∴△BDC为直角三角形，
则S四边形ABCD 答：这块草坪的面积是
18．10+
【解析】
【分析】
先运用勾股定理求出AC的长度，从而利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后可将S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行求解．
【详解】
在△ACD中，AC⊥CD，AD=2，∠D=30°，
∴AC=，
∴CD=，
在△ABC中，AB2+BC2=42+52=41，AC2=41，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=10+.
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，解答本题的关键是判断出△ABC是直角三角形.
19．（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【详解】（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
20．这块地的面积．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ACB为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．
【详解】
连接AC．
，，
，
，
为直角三角形
，
，
这块地的面积．
【点睛】
本题主要考查学生对勾股定理及其逆定理的理解及运用能力，解答本题的关键是连接AC，求出三角形ACB的面积，再减去三角形ACD的面积即可．
21．(1)见解析;(2)36m2.
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．
【详解】
解：（1）
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=4m，AD=3m，由勾股定理得：BD=5m，
∵BC=12m，CD=13m，BD=5m.
∴BD2+BC2=DC2，
∴∠DBC=90°，
即BD⊥BC；
（2）四边形ABCD的面积是S△ABD+S△BDC==36m2．
【点睛】
本题考查了勾股定理, 勾股定理的逆定理，牢牢掌握这些定理是解答本题的要点.
22．（1）BC＝24 cm；（2）PQ＝13 cm；（3）P，Q两点运动s时，AP＝CQ.
【解析】
【分析】
(1)在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝7 cm,AC＝25 cm根据勾股定理可得BC2＝AC2－AB2＝252－72＝242,求出BC＝24 cm.
(2)连接PQ,由题意知BP＝7－2＝5(cm),BQ＝6×2＝12(cm),在Rt△BPQ中,由勾股定理得:
PQ＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132,进而求出PQ＝13 cm.
(3)设P，Q两点运动t s时,AP＝CQ,则可得t＝24－6t,解得t＝.
【详解】
解:(1)∵在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝7 cm,AC＝25 cm
∴BC2＝AC2－AB2＝252－72＝242,
∴BC＝24 cm.
(2)连接PQ,
由题意知BP＝7－2＝5(cm),BQ＝6×2＝12(cm)，
在Rt△BPQ中,由勾股定理,得:
PQ＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132,
∴PQ＝13 cm.
(3)设P，Q两点运动t s时,
AP＝CQ,则t＝24－6t,
解得t＝.
答:P,Q两点运动s时,AP＝CQ.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进行解答.