2.8 直角三角形全等的判定同步课时作业

2.8 直角三角形全等的判定同步课时作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点D,BC=BD．如果AC=3cm,那么AE+DE=　 (　　)
A． 2 cm B． 4 cm C． 3 cm D． 5 cm
2．如图，于D，于P，且，则与全等的理由是　　
A． SSS B． ASA C． SSA D． HL
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A． 两个锐角对应相等 B． 一条直角边和一个锐角对应相等
C． 两条直角边对应相等 D． 一条直角边和一条斜边对应相等
4．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 75°
5．已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是( )
A． 与互为余角 B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于D，BC=BD，已知AC=3㎝，那么AE+DE等于（ ）
A． 2㎝； B． 3㎝； C． 4㎝； D． 5㎝；
7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ）
A． 90° B． 120° C． 135° D． 150°
8．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）
A． 30° B． 35° C． 45° D． 60°
9．如图，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（　　）
A． PC=PD B． OC=OD C． OC=OP D． ∠CPO=∠DPO
二、填空题
10．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB=60°，OC=4，则PD=_____．
11．如图所示，，可使用“HL”判定与全等，则应添加一个条件是______．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=1O，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=_____时，△ABC和△PQA全等．
13．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，已知左边滑梯与地面的夹角∠ABC＝27°，则右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝________°.
14．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝________．
15．如图,已知BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，连接AD，∠DAC=46°, ∠BDC _________
三、解答题
16．如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF，求证：AF=CE．
17．已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
求证：AO=BO，CO=DO．
18．如图，对角线AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分，如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等，且AC＝AE.
(1)在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF；
(2)请你猜想BC与BE的数量关系并证明．
19．如图，△ABC与△DEF边BC、EF在同一直线上，AC与DE相交于点G，且∠ABC＝∠DEF＝90°，AC＝DF，BE＝CF.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若AB＝3，DF－EF＝1，求EF的长.
20．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）证明：AB=AD+BC；
（2）判断△CDE的形状？并说明理由．
21．是的平分线上一点，，，、是垂足，连接交于点．
（）若，求证：是等边三角形．
（）若，，求线段的长．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先证明进而得到，再由即可得到答案.
【详解】
于，
，
在和中，
，
，
，
.
故选：.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的判定定理.
2．D
【解析】
【分析】
根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．
【详解】
∵OD⊥AB，OP⊥AC，
∴△ADO和△APO是直角三角形，
又∵OD=OP，AO=AO，
∴Rt△AOD≌△Rt△AOP(HL)，
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
3．A
【解析】
【分析】
根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
A、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
B、正确，符合判定AAS；
C、正确，符合判定SAS；
D、正确，符合判定HL．
故选：A
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
4．B
【解析】
分析：本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．
详解：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选：B．
点睛：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
5．D
【解析】
【分析】
先利用HL证明Rt△ABC≌Rt△CED（HL），根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠2，∠1=∠D，继而可得∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，由此对各选项进行判断即可.
【详解】
∵∠B=∠E=90°，
在Rt△ABC和Rt△CED中，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C正确，
∴∠A=∠2，∠1=∠D，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B正确；D 错误，
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“HL”是解本题的关键.
6．B
【解析】分析：根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△BCE，推出DE=CE，从而AE+DE=AE+CE=AC,．
详解：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
∵BE=BE，
BD=BC，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，
∴DE=CE，
∴AE+DE=AE+CE=AC，
∵AC=3，
∴AE+DE=3，
故选：B.
点睛：本题考查三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△BCE，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
7．A
【解析】由题意得： ，在 和中， 所以 .所以.
故选A.
8．B
【解析】
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
【详解】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
9．C
【解析】
【分析】
已知OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，根据角平分线的性质定理可得PC=PD，在Rt△ODP和Rt△OCP中，利用HL定理判定Rt△ODP≌Rt△OCP，根据全等三角形的性质可得OC=OD，∠CPO=∠DPO，由此即可得结论.
【详解】
∵OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD（选项A正确），
在Rt△ODP和Rt△OCP中，

∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
∴OC=OD，∠CPO=∠DPO（选项B、D正确），
只有选项C无法证明其正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质，证明Rt△ODP≌Rt△OCP是解决本题的关键.
10．
【解析】试题解析：∵∠AOB=60°，点P是∠AOB的角平分线上一点，

又∵PC∥OA，
∴∠PCB=60°，∴∠POC=30°，
∵∠PCB=180°﹣∠60°=120°，
∴
∴为等腰三角形，
∵
∴
可求
又

故答案为：
点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等.
11．
【解析】
【分析】
由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．
【详解】
条件是AC=AD，
∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为：AC=AD．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定，知道“HL”即为斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等是解题的关键．
12．5或10
【解析】
【分析】当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【详解】当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13．63
【解析】
【分析】
利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴∠DEF=∠ABC=27°，
∴∠DFE=90°?27°=63°.
故答案为：63.
【点睛】
本题考查了学生对全等三角形的性质及判定的运用．解题时要注意找已知条件，根据已知选择方法．
14．50°
【解析】试题分析：根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°.
15．44°
【解析】如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，过点D作DH⊥AC于点H，过点D作DG⊥BA，交BC的延长线于点G，
∵BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，
∴DF=DG=DH，
∵DH⊥AC，DF⊥BA，
∴AD平分∠CAF，
∴∠DAC=∠FAD=46°,
∴∠BAC=180°-46°-46°=88°；
∵BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，
∴∠DCE= ，∠DBC= ，
∵∠DCE=∠BDC+∠DBC，∠ACE=
∴∠BDC+∠DBC=（∠BAC+∠ABC），
∴∠BDC=∠BAC= .
16．证明见解析
【解析】
【分析】
首先证明BE=DF，然后依据HL可证明Rt△ADF≌Rt△CBE，从而可得到AF=CE．
【详解】
∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，即DF=BE，
在Rt△ADF和Rt△CBE中，，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF=CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
17．证明见解析
【解析】
【分析】
根据HL证明Rt△ACB≌Rt△ADB，得∠ABC=∠BAD，根据等角对等边，得OA=OB，所以，由AD﹣OA=BC﹣OB，得OD=OC．
【详解】
证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△ADB为直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
∵AD=BC，
∴AD﹣OA=BC﹣OB，
即OD=OC．
【点睛】
本题考核知识点：全等三角形，等腰三角形. 解题关键点：运用全等三角形的性质和等腰三角形性质证明线段相等.
18．（1）见解析；（2）BC＝BE.
【解析】
【分析】
（1）根据作三角形的高的方法，作出AD、AF;
（2）根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AEF，从而得出CD＝EF，再根据HL证明Rt△ABD≌Rt△ABF，从而得出BD＝BF，再利用等式的性质得出：BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
【详解】
解：(1)画出高AD，AF，如图所示．
(2)猜想：BC＝BE.证明如下：
∵AD⊥BC，AF⊥BE，
∴△ACD，△AEF，△ABD，△ABF都是直角三角形．
在Rt△ACD和Rt△AEF中，
∴Rt△ACD≌Rt△AEF(HL)．
∴CD＝EF(全等三角形的对应边相等)．
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF(全等三角形的对应边相等)．
∴BD－CD＝BF－EF(等式的性质)，即BC＝BE.
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是运用HL证明Rt△ACD≌Rt△AEF和Rt△ABD≌Rt△ABF得出CD＝EF和BD＝BF.
19．（1）见解析；（2）4.
【解析】分析：（1）先由BE＝CF可得BC=EF，再根据“HL”推出两三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质得，然后根据勾股定理求解即可.
详解：(1)∵BE=CF，
∴BC=EF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵AC＝DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（HL）.
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴，
∵，
.
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解（1）的关键，运用勾股定理列方程是解（2）的关键.
20．见解析
【解析】分析：(1)易证DE=CE，即可证明RT△ADE≌RT△BEC，可得AD=BE，即可解题;(2)由RT△ADE≌RT△BEC可得∠AED=∠BCE，即可求得∠DEC=90°，即可解题.
详解：（1）∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵在RT△ADE和RT△BEC中，，
∴RT△ADE≌RT△BEC，（HL）
∴AD=BE，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AD+BC；
（2）∵RT△ADE≌RT△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE为等腰直角三角形.
点睛：本题考查了等腰三角形的判定，垂直的定义，全等三角形的判定,全等三角形对应角、对应边相等的性质,本题中求证RT△ADE≌RT△BEC是解题的关键.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）先由角平分的性质得出ED=EC，再结合OE=OE不难证明△ODE≌△OCE，由此得出OD=OC，又因为∠AOB=60°，所以证明△OCD是等边三角形；（2）由（1）△OCD是等腰三角形，OE平分∠AOB得出OE⊥CD，DF=CF，再求出∠DEC的度数为90°，继而得出EF=CD，已知EF求出CD，最后利用勾股定理求出OD即可.
试题解析：
（）∵OE平分∠AOB，ED⊥OA与D，EC⊥OB与C，
∴ED=EC，
再Rt△ODE和Rt△OCE中，
,
∴△ODE≌△OCE（HL），
∴OD=OC，
∴△OCD是等腰三角形，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（）
由（1）可知，△OCD是等腰三角形，OE平分∠AOB，
∴OE⊥CD，DF=CF，
∵∠AOB=90°，∠ODE=90°，∠OCE=90°，
∴∠DEC=90°，
∴EF=CD，
∵EF=5，
∴CD=10，
∵在Rt△OCD中，OD2+OC2=CD2，即2OD2 =CD2，
∴OD=5.
点睛：此题较为综合，涉及到全等三角形的判定、等腰三角形三线合一性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用.