2.8 直角三角形全等的判定（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第2章特殊三角形
2.8直角三角形全等的判定
【知识清单】
1、直角三角形全等的判定定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2、角平分线的性质定理的逆定理
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
3、“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样适用.
【经典例题】
例题1，如图，在△ABC中，AD是角平分线， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若D是BC的中点，求证：AD⊥BC．
【考点】直角三角形全等的判定、等腰三角形的性质与判定．
【分析】根据角平分线的性质可得到DE=DF，由已知可得∠DEB=∠DFC=90°，从而可利用HL来判定Rt△DBE≌Rt△DCF，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠C，从而可得AB=AC，△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一，可以推出AD⊥BC．
【解答】　∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB=∠DFC=90°．
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
∵
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
【点评】点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；该题利用了角平分线的性质，得到线段相等，这也是解决本题的关键.
例题2，如图，∠B＝90°，BC＝14，AB＝4，EC⊥BC于C，点P和点D分别在线段BC和射线CE上运动，且AC＝PD，当AP＝ 时，△ABC与△PCD全等．
【考点】直角三角形全等的判定．
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△PCD，此时PC=AB=4，可据此求出P点的位置．②Rt△DCP≌Rt△ABC，此时CP=BC，P、B重合．
【解答】∵EC⊥BC，
∴∠PCD＝90°，
∴∠B＝∠PCD＝90°．
分两种情况：
①当PC＝AB＝4时，
在Rt△ABC和Rt△PCD中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△PCD (HL)．
②当CP＝BC＝14时，
在Rt△ABC和Rt△DCP中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DCP (HL)．
综上所述，当AP＝4或14时，△ABC与△PCD全等．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
【夯实基础】
1、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．两条直角边对应相等 B．有两条边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
2、如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )
A．AC＝DF，BC＝EF B．∠B＝∠E，AB＝DE
C．BC＝EF，AB＝DE D．∠A＝∠D，BC＝EF
　　
3、如图，FE⊥AD于E，BC⊥AD于C，已知AF=DC，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（ ）．
A．FC=CF B．BC = EF C．AB=DE D．AC=DF
4、如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，下面不正确的结论是（ ）
A．AB=DC B．AP=DP C．BP=CP D．AP=PC
5、如图，点P是△ABC内一点，已知∠BAC=90°，AB=AC，，，PC=2.则∠APC的度数为（ ）
A．95° B．105° C．125° D．135°
6、如图，点P是∠EAF内一点，PC⊥AE于点C，PB⊥AF于点B，若∠EAF=60°，PB=PC，AB=3，则PC的长为 .
7、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，PQ是DC的垂直平分线，交AB于点P，若，AD=PB，则△DPC的形状是 .
8、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，EF⊥DC于点F，若EA = EF，
（1）∠DEC的度数；
（2）求证：DC=AD＋BC.
【提优特训】
9、如图，∠ABP=∠ACP=90°，要想得到BE=CE，需要添加一个条件，下列的添加①AB=AC；②BP=CP；③∠BEP=∠CEP；④BE=CE；⑤∠BAP=∠CAP.其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10、BP，CP分别是∠ABC和外角∠ACD的平分线，相交于点P，若∠BPC=31°，则∠CAP的度数为（ ）
A．55° B．59° C．62° D．69°
11、如图，AB⊥CD于点O，若点O是AB的中点，AD=BC，则可以得到△AOD≌△BOC，理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
12、如图，锐角△ABC和锐角△A′B′C′中，CD，C′D′分别是AB，A′B′上的高，且AC=A′C′，CD=C′D′．要使△ABC≌△A′B′C′，则应补充的条件是??? ?（填写一个即可）．
13、如图，BD，CE是△ABC的高，且BE=CD，AD=3，EC=4，则BE的长为 .
14、如图，∠ACB=90°，DE⊥AB于点E，已知AC=AE，CD︰DB=3︰4，CD=6，则EB的长是 .
15、如图，点F在AD上，连接BF，并延长交AC于E，已知∠ABD=∠BAD=45°，BF=AC，你认为BE与AC有怎样的位置关系，并说明理由.
16、如图，△ABC与△ABD都是直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，E点是AB的中点，CF⊥AB于点E， EG⊥AB于点G，若CF=EG，
求证：△CED是等腰直角三角形.
17、如图，PD垂直平分BC，AP是平分∠BAC，PE⊥AB于点E，PF垂直AC延长线于F，求证：BE=CF.
18、如图，AD所在的直线是CE的垂直平分线，∠B=∠F=90°，AB=AF，求证：∠BCD=∠FED.
【中考链接】
19、（2018年湖南省娄底市）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　 　cm．
20、（8分）（2018?泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

参考答案
1、B 2、C 3、C 4、D 5、D 6、 7、等腰三角形 9、C 10、B 11、D
12、或或 13、2 14、
8、证明：（1）∵∠A=∠B=90°，EF⊥DC，
∴∠DFE=∠CFE=90°.
在Rt△AED和Rt△FED中，
∵
∴Rt△AED≌Rt△FED（HL），
∴∠1=∠2.
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE=FE，
在Rt△CBE和Rt△CFE中，
∵
∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL），
∴∠3=∠4.
∵∠A=∠B=90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD=180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，
∴2∠2＋2∠3=180°，
∴∠2＋∠3=90°，
∴∠DEC=90°.
（2）由（1）Rt△AED≌Rt△FED，Rt△CBE≌Rt△CFE，
∴AD=DF，BC=FC.
∴DC=DF＋FC=AD＋BC.
15、解答：BE⊥AC，理由如下：
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
Rt △BFD和Rt△ACD中，
∵
∴Rt △BFD≌Rt△ACD（HL），
∴∠1=∠C.
∵∠1=∠3，
∴∠C=∠3.
∵∠ADC=90°，
∴∠2+∠C=90°，
∴∠2+∠3=90°.
∴∠AEB=90°.
∴BE⊥AC.
16、证明：在Rt△ABC中，
∵点E为斜边AB的中点，
∴.
同理.
∴CE=DE.
∵CF⊥AB， EG⊥AB，
∴∠CFE=∠EGD=90°，
Rt △CFE和Rt△EGD中，
∵
∴Rt △CFE≌Rt△EGD（HL），
∴∠1=∠3.
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠CED=180°－（∠1＋∠2）=90°，
∴△CED是等腰直角三角形.
17、证明：∵AP是∠BAC平分线，PE⊥AB于点E，PF垂直AC延长线于F，
∴PE=PF，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC.
在Rt △PBE和Rt△PCF中，
∵
∴Rt △PBE≌Rt△PCF（HL），
∴BE=CF.
18、证明：连接AC，AE，
∵AD所在的直线是CE的垂直平分线，
∴AC=AE
∴∠2=∠3
在Rt △ABC和Rt△AFE中，
∵
∴Rt △ABC≌Rt△AFE（HL），
∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
即∠BCD=∠FED.
19、【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB，
又S△ABC=AC?BF，将AC=AB代入即可求出BF．
【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB，
∵S△ABC=AC?BF，
∴AC?BF=3AB，
∵AC=AB，
∴BF=3，
∴BF=6．
故答案为6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．
20、【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】552：三角形．
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，
知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，
证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．