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3.3 垂径定理(1)
学习目标 1．经历探索垂径定理的过程． 2．探索并掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧(垂径定理)． 3．会运用垂径定理解决一些简单的几何问题．
学习过程
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？ 结论
思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径． (1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？
在刚才操作的基础上，令AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？ 结论
垂径定理 基本图形 定理的几何语言
如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ） A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D．＝
例1 已知，用直尺和圆规作这条弧的中点． 求弧AB的四等分点．
如图，M为⊙O内的一点，利用尺规作一条弦AB， 使AB过点M．并且使AM＝BM． 你能画过点M最长的弦呢？ 你还能画过点M最短的弦呢？
例2 如图，一条排水管的截面．已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16．求截面圆心O到水面的距离OC．
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． 求证：AC＝BD．
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB＝30°，DE＝9㎝，CE＝3㎝，求弦AB的长．
小结
拓展题
1、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） A．3 B．6cm C． cm D．9cm
2、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
3、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，则AB和CD的距离为_________________．
4、已知⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的弦心距为5cm，求弦AB的长．
5、在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算： (1)点O与AB的距离； (2)∠AOB的度数．
作业题
1．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（ ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm．
2．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知⊙O的半径为2，AB＝3．求DC的长(精确到0.01)．
3．过已知⊙O内一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点．
4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC． (1)求∠C的度数． (2)若⊙O的半径为r，求弦AB的长．
5．一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm(如图)．求截面圆中弦AB的长．
6．点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦．
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数学浙教版 九年级上
3.3垂径定理(1)
3.3垂径定理(1)
教学目标
1.经历探索垂径定理的过程．
2.探索并掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧（垂径定理）．
3.会运用垂径定理解决一些简单的几何问题．
重点和难点
本节教学的重点是圆的轴对称性的重要体现——垂径定理．
垂径定理的导出过程有一定难度，是本节教学的难点．
请观察下列三个银行标志有何共同点？
结论：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.
强调：
1.圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴．
2.圆的对称轴有无数条．
O
C
D
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？
思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？
O
C
D
A
B
E
在刚才操作的基础上，令AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？
如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧，那么在右图中，哪些圆弧相等？
请用命题的形式表述
你的结论．
A
B
E
O
C
D
理由如下：
∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴对称性，可得射线EA与EB重合，
∴点A与点B重合，AC和BC重合，AD和BD重合．
∴ EA=EB，AC=BC，AD=BD．
结论
AE=BE，AD=BD，AC=BC．
思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？
O
C
D
A
B
E
分一条弧成相等的两条弧的点，
叫做这条弧的中点．
A
B
C
D
O
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
定理的几何语言
∵ CD为直径，CD⊥AB
∴ EA=EB，AC=BC，AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
OC⊥AB
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧 ADB
CD平分弧 AB
CD平分弦 AB
结论
E
D
C
O
A
B
D
O
B
C
A
O
B
C
A
D
O
B
A
C
D
O
B
A
C
垂径定理的几个基本图形
A
B
C
O
D
E
如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．BD=BC
⌒
⌒
C
例1 已知AB，用直尺和圆规作这条弧的中点．
作法
1.连结AB．
2.作AB的垂直平分线
CD，交弧AB于点E.
点E就是所求作的
弧AB的中点．
求弧AB的四等分点．
C
D
A
B
E
F
G
m
n
●O
●M
你能画过点M最长的弦呢？
你还能画过点M最短的弦呢？
如图，M为⊙O内的一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M．并且使AM=BM．
例2 如图，一条排水管的截面．已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16．求截面圆心O到水面的距离OC．
解：由题意得OC⊥AB,
AC=BC=AB=0.5×16=8
由勾股定理得：
=6
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
如上图中的OC的长就是弦AB的弦心距．
答：截面圆心O到水面的距离为6．
.
A
C
D
B
O
E
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长．
解：作OF⊥AB于F，连接OA，
CD=DE+CE=9+3=12cm，
即圆O的直径为12cm．
OE=OC-CE=6-3=3cm，
在Rt△OEF中，∠CEB=30°，
OF=OE=×3=cm．
在Rt△OFA中，
AF===cm．
∴ AB=2AF=3cm．
F
谈谈你的收获、感受！
１、本节课主要内容：
（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2、垂径定理的应用：
（1）作图；（2）计算和证明．
3、解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长AB=2．
A
1、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
A．3 B．6cm C． cm D．9cm
2、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
A
3、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为_________________.
2或14
4、已知⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的弦心距为5cm，求弦AB的长．
5、在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：
(1)点O与AB的距离；
(2)∠AOB的度数．
谢谢
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1．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm．
答案：B
2．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知⊙O的半径为2，AB＝3．求DC的长(精确到0.01)．
答案：0.68．
3．过已知⊙O内一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点．
答案：
作法：如图．
(1)作直线OA，交⊙O于点E，F．
(2)过点A作OA的垂线，交圆于C，D两点，弦CD就是所求的弦，E，F分别是弦CD所对的两条弧的中点．
4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．
(1)求∠C的度数．
(2)若⊙O的半径为r，求弦AB的长．
答案：
(1)60°．
(2)r．
5．一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm(如图)．求截面圆中弦AB的长．
答案：8cm．
6．已知：如图，在⊙O中，弦AB∥CD．求证：＝．
答案：
证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E．
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
则＝，＝
∴ －＝－，即＝．
7．点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦．
答案：
连结OA，过点A作OA的垂线，交⊙O于B，C，所得弦BC就是最短的弦．设EF是过点A不与OA垂直的弦，OD⊥EF，于点D．由OA＞OD，可得DF＞AC，EF＞BC．
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