3.8 弧长及扇形的面积(1)
弧长计算公式为l= (n表示弧的度数，R为半径)，公式可变形为n=或R=．
1.已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是(D).
A.5π B.6π C.8π D.10π
(第2题)
2.如图所示，“凸轮”的外围是由以等边三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段等弧组成.若等边三角形的边长为a，则“凸轮”的周长是(A).
A.πa B.2πa C. πa D. πa
3.如图所示，将边长为2的正方形ABCD沿直线l向右翻转(不滑动)，当正方形连续翻转10次后，正方形的中心O经过的路线长是(D).
A.10 B.20π C.5π D.10π
(第3题)(第4题) （第5题） (第7题)(第8题)
4.如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为(C).
A.10π B. C. π D.π
5.如图所示，在△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心、BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则的长为 π (结果保留π).
6.挂钟分针长10cm，经过45min，它的针尖转过的弧长是 15π cm．
7.如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将等边三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是 ．
8.如图所示，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则 BC的长为 4π ．
9.如图所示，正方形ABCD的边长为1，其中的圆心依次为点A，B，C．
(第9题)
(1)求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长．
(2)判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1) ++=3π.
(2)GB⊥DF.理由如下：在△FCD和△GCB中，∵CF=CG，∠FCD=∠GCB，CD=CB，∴△FCD≌△GCB.∴∠G=∠F.∵∠F+∠FDC=90°∴∠G+∠FDC=90°.∴∠GHD=90°.∴GB⊥D.
10.如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则劣弧AC的长为(C).
A.8 B.4 C.2π D.π
（第10题）(第11题)
11.如图所示，若的半径为18，圆心角为120°，半径为2的⊙O从的一个端点A(切点)开始先在外侧滚动到另一个端点B(切点)，再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙O自转了(C).
A.5周 B.6周 C.7周 D.8周
12.如图所示为一个半圆形工件，未搬动前直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 2π+50 m(结果保留π).
(第12题)
13.如图所示，已知∠B=90°，AB=3cm，BC=cm，点D是线段BC上的一个动点，连结AD，动点B′始终保持与点B关于直线AD对称，当点D由点B位置向右运动至点C位置时，相应的点B′所经过的路程为 π cm．
(第13题) （第14题）
14.如图所示，正方形ABCD的边长为2，O是边AB上一动点(点O不与点A，B重合)，以O为圆心、2为半径作⊙O，分别与AD，BC相交于点M，N，则劣弧MN长度a的取值范围是
π≤a≤π .
（第15题）
15.如图所示，AN是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，与圆相交于点E，AB=15，D是⊙O上的点，DC⊥BM，与BM交于点C，⊙O的半径为R=30.
(1)求BE的长.
(2)若BC=15，求的长.
【答案】(1)如答图所示，连结OE，过点O作OF⊥BM于点F,则OE＝AB＝15，BF＝AO＝30.
在Rt△OEF中，EF=＝=15，∴BE=BF-EF＝30-15.
（第15题答图）
(2)如答图所示，连结OD.在Rt△ODQ中，∵OD=30，OQ＝OA-AQ＝30-15=15，∴∠ODQ=30°.∴∠QOD=60°过点E作EH⊥AO于点H，在Rt△OEH中，∵OE=30，EH=AB＝15，∴∠EOH=30°.∴∠DOE=90°.∴的长为=15π.
(第16题)
16.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是平行的，且都水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将圆盘从点A滚动到点D的过程中其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．
【答案】如答图所示，圆盘滚动过程中圆心走过的路线为：OO1→O1O2→→O3O4.其中O1E⊥AB，O1F⊥BC，O2C⊥BC，O3C⊥CD，O4D⊥CD.
（第16题答图）
∠O1BE=∠O1BF=60°,Rt△O1BE≌Rt△O1BF.在Rt△O1BE中，BE= (cm).∴OO1=AB-BE=(60-)(cm).∵BF=BE= (cm)，∴O1O2=BC-BF=(40-)(cm).∵AB∥CD，∴∠BCD=120°.∵∠O2CB=∠O3CD=90°，∴∠O2CO3=60°.∴===π(cm).∵四边形O3O4DC是矩形，∴O3O4=CD=40cm.综上所述，圆盘从点A滚动到点D，其圆心经过的路线的长度是(60-)+(40-)+π+40=(140-+π)(cm).
17.【烟台】如图所示，在?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为(B).
A. π B. π C. π D. π
（第17题）（第18题） （第18题答图）
18.【聊城】如图所示，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为(1，0)，以点O1为圆心、O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以点O2为圆心、O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以点O3为圆心、O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4……按此作法进行下去，弧P2017O2018的长为 22015π .
【解析】如答图所示，连结P1O1，P2O2，P3O3,…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1.∵直线l的表达式为y=x，∴∠P1OO1=45°.∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴.同理，PnOn垂直于x轴.∴的长为⊙On的周长.∵以O1为圆心、O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2；以点O2为圆心、O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3；以此类推……∴OOn=2n-1.∴
的长为·2π·2n-1=π·2n-1=2n-2π.当n=2017时，弧P2017O2018的长为22015π.
19.如图所示，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°.动点M从点A出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周.设动点M的运动时间为t(s).当t为何值时，以点A，M，B，C为顶点的四边形是轴对称图形？
（第19题） 图1 图2图3
（第19题答图）
【答案】如答图1所示，当点M运动到与点C关于AB轴对称的点M1处时，四边形AMBC是轴对称图形，∴＝=π.∴t1= (s).如答图2所示，当点M运动到点M2处时，四边形AMBC是矩形，∴＝=π.∴t2= (s).如答图3所示，当点M运动到点M3处时，四边形ABMC是等腰梯形，∴＝=π.∴t3= (s).∴当t=s，s或s时，以点A，M，B，C为顶点的四边形是轴对称图形.
3.8 弧长及扇形的面积(2)
扇形面积公式为S==lR(n为扇形所在圆心角的度数，R为半径，l为扇形弧长)．
1. 挂钟分针长10cm，经过h，它扫过的面积为(A).
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
2.如图所示，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是(B).
A. B. C. D.
(第2题)(第3题)(第4题)
3.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A，C为圆心，AD，CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是(C).
A.4-2π B.8- C.8-2π D.8-4π
4.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB，AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是(D).
A. π-24 B.25π-24 C.25π-12 D. π-12
5.如图所示，将含60°角的直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是(A).
A. B. C. D.π
(第5题)(第7题)(第8题)
6.若弧长为20π的扇形的圆心角为150°，则扇形的面积是 240π (结果保留π)．
7.如图所示，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2AD=4，则阴影部分的面积为 π-2 .
8.如图所示为由圆心角为30°，半径分别是1，3，5，7，…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1，S2，S3，…，则S14= 18π (结果保留π)．
(第9题)
9.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．
(1)求线段EC的长．
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4.∴DE==2.∴EC=CD-DE=4-2.
(2)∵AE=2AD，∴∠DEA=30°.∴∠EAD=60°.∴图中阴影部分的面积为：S扇形FAE-S△DAE
=-×2×2=-2.
10.如图所示，在半径为12的圆中，两圆心角∠AOB=60°，∠COD=120°，连结AB，CD，求图中阴影部分的面积．
(第10题)
【答案】S扇形AOB==24π，S△AOB=×12×6=36，则S弓形AB=24π-36.S扇形COD=48π，S△COD=×12×6=36，则S弓形CD=48π-36.∴S阴影=S弓形CD-S弓形AB=48π-36-(24π-36)=24π.
11.如图所示，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连结AD，则图中阴影部分的面积是(D).
A.π B. C.3+π D.8-π
（第11题）(第12题) （第13题）
12.如图所示，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD和扇形A1D1C1，使A1D1=AD，D1C1=DC，正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P和Q的关系是(B).
A.P＜Q B.P=Q C.P＞Q D.无法确定
13.如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心、4为半径的圆，点P的坐标为(，)，弦AB经过点P，则图中阴影部分的面积的最小值为(D).
A.2π-4 B.4π-8 C. D.
（第14题）
14.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.⊙O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为 .
15.如图所示，AB是半圆O的直径，且AB=8，C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 (结果保留π).
(第15题) （第16题）
16.如图所示，在圆心角为135°的扇形OAB中，半径OA=2cm，点C，D为的三等分点，连结OC，OD，AC，CD，BD，则图中阴影部分的面积为 π-3 cm2.
(第17题)
17.如图1所示，已知在⊙O中，C为 AB的中点，连结AC并延长至点D，使CD=CA，连结DB并延长交⊙O于点E，连结AE．
(1)求证：AE是⊙O的直径．
(2)如图2所示，连结EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和(结果保留π与根号).
【答案】(1)如答图所示，连结CB，AB.∵C为的中点，∴CB=CA.∵CD=CA，∴AC=CD=BC.
∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D.∴∠ABD=90°.∴∠ABE=90°.∴AE是⊙O的直径.
(2)∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°.∵AE=10，AC=4，∴CE=2.∴S阴影=S半圆-S△ACE=×π×52-×4×2=12.5π-4.
(第18题)
18.如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将一块直径为2的半圆形纸片放置在矩形ABCD中，使其直径与AD重合，现将半圆绕点D顺时针旋转至A′D处，半圆弧与AD交于点P，设∠ADA′=α．
(1)若AP=2-2，求α的度数．
(2)当α=30°时，求阴影部分的面积．
【答案】
（第18题答图）
(1)如答图所示，连结PA′.∵A′D是直径，∴∠A′PD=90°.∵AD=A′D=2，AP=2-，∴PD=.∴A′P=.∴α=45°.
(2)如答图所示，连结OP.S阴影=S半圆-S弓形PD=π-(S扇形POD-S△POD)= π-(-××)=π+.
（第19题）
19.如图所示，菱形ABCO的顶点A的坐标为(-4，0)，∠ABC=60°，将菱形ABCO绕点O顺时针旋转270°得到菱形A′B′C′O，图中阴影部分是菱形ABCO旋转时所扫过的面积，该圆弧与x轴的负半轴交于点M.
(1)求点C′的坐标和空白部分的∠AOC′的度数.
(2)试判断点M是否在A′B′所在的直线上，并说明理由.
(3)求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)∵菱形ABCO的顶点A的坐标为(-4，0)，∠ABC=60°，∴OA=4,∠AOC=60°.
∵菱形A′B′C′O由菱形ABCO绕点O顺时针旋转270°得到，∴OC′＝4，∠A′OC′=60°.
∴点C′的坐标是(2，-2).由题意可得∠AOC′=∠AOA′+∠A′OC′=90°+60°=150°，
即点C′的坐标是(2，-2)，∠AOC′=150°.
(2)点M在点A′，B′所在的直线上.理由如下：由题意可得点A′的坐标是(0，-4)，点B′的坐标是(23，-6).设过点A′，B′所在的直线的表达式为y=kx+b，则,
解得.∴过点A′，B′所在的直线的表达式为y=-x-4.
（第19题答图）
如答图所示，连结OB.过点A作AH⊥OB于点H.∵四边形AOCB是菱形，∠ABC=60°,∴∠ABH=30°.在Rt△ABH中，AB＝4，∠ABH＝30°，∴BH＝2.∴BO＝2BH＝4∴OM＝BO＝4.∴点M的坐标为(-4，0).将x=-4代入y=-x-4，得y=0，∴点M在点A′，B′所在的直线上.
(3)∵OB＝4，OA=4，∴阴影部分的面积为π×(4)2-4×2=36π-8.
20.【朝阳】如图所示，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中，图中阴影部分的面积(A).
A.不变 B.由大变小
C.由小变大 D.先由小变大，后由大变小
（第20题） （第21题）
21.【无锡】如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E，F，且EF=2(EF与AB在圆心O1和O2的同侧)，则由，EF，，AB所围成图形(图中阴影部分)的面积为 3-- .
22.已知点P是正方形ABCD内的一点，连PA，PB，PC．
(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1所示)．
①设AB的长为a，PB的长为b(b＜a)，求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积.②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．
(2)如图2所示，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．
(第22题)（第22题答图）
【答案】(1)①S阴影=S扇形ABC+S△BP′C-S扇形PBP′-S△ABP=S扇形ABC-S扇形PBP′== (a2-b2).②如答图1所示，连结PP′.∵BP=BP′，∠PBP′=90°，∴∠BPP′=45°.∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，∴∠BPA+∠BPP′=180°，即A，P，P′三点共线，∠PP′C=135°-45°=90°.在Rt△PP′C中，PP′=42，P′C=PA=2，∴PC=6.
(2)如答图2所示，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连结PP′.∴BP=BP′,
∠PBP′=90°.∴PP′2=2PB2.∵PA2+PC2=2PB2=PP′2，∴PC2+P′C2=PP′2.∴∠P′CP=90°.
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，∴∠BP′C+∠BPC=180°.∵∠BPA=∠BP′C，∴∠BPC+∠APB=180°.∴A,P,C三点共线，即点P在对角线AC上.
