3.5 圆周角(1)
(1)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(2)直径(或半圆)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1.如图所示，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数为(D).
A.15° B.20° C.25° D.30°
(第1题) （第2题）(第3题)(第4题)
2.如图所示，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为(B).
A.100° B.110° C.115° D.120°
3.如图所示，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点.若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为(A).
A.3 B.4 C. D.5
4.如图所示，(ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E=36°，则∠ADC的度数为(B).
A.44° B.54° C.72° D.53°
5.如图所示，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数为(B).
A.90° B.100° C.110° D.120°
(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)
6.如图所示，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= 58° .
7.如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC= 100° ．
8.如图所示，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径作半⊙O，交BC于点D.若∠BAC=40°，则的度数是 140° .
9.如图所示，已知△ABC，以AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
(第9题) （第9题答图）
【答案】如答图所示，连结AE.∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB=90°.∴AE⊥BC.∵BE=CE，∴AB=AC.∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE.∴∠BAC=40°.∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°.
(第10题)
10.如图所示，△ABD是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，C为的中点，AD分别与BC，OC交于E，F两点.求证：
(1)OF∥BD．
(2)若∠C=30°，则AD平分OC．
【答案】(1)∵OC为半径，点C为中点，∴AF=DF.∵AO=BO，∴OF∥BD.
（第10题答图）
(2)如答图所示，延长CO交⊙O于点N.∵∠C=30°，∴∠BON=60°.∵∠AOC=∠BON，∴∠AOC=60°.∵OC为半径，C为中点，∴OF⊥AD.∴∠OFA=90°.∴∠A=30°.∴OF=OA=OC，即AD平分OC.
11.如图所示，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点.若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是(D).
A.45° B.60° C.75° D.85°
（第11题） (第12题) （第13题） （第14题）
12.如图所示，⊙O的直径AB为8，P是上半圆(点A，B除外)上任一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，弦EF过AC，BC的中点M，N，则EF的长是(A).
A.4 B.2 C.6 D.2
13.如图所示，A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 20° .
14.AB为半圆O的直径，现将一把等腰直角三角尺如图所示放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为 .
(第15题)
15.如图所示，D为边AC上一点，O为边AB上一点，AD=DO.以点O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连结EF.若∠BAC=22°，则∠EFG= 33° ．
16.我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.则圆心角∠AOB的度数等于它所对的弧的度数，记为：.由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半”是真命题，请结合图1给予证明(不要求写已知、求证，只需直接证明)，并解决以下的问题．
(1)如图2所示，⊙O的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，求证：．
(2)如图3所示，⊙O的两条弦AB，CD相交于圆外一点P.(1)中的结论是否成立？如果成立，给予证明；如果不成立，写出一个类似的结论(不要求证明).
(第16题) （第16题答图）
【答案】∵∠APB=∠AOB，,即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半.
(1)如答图所示，连结BC，则∠APC=∠PCB+∠PBC.∵.
(2)(1)中的结论不成立.类似的结论为：.
（第17题
17.【毕节】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为(C).
A.30° B.50° C.60° D.70°
18.【临沂】如图所示，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE=DB.
(2)若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径.
（第18题） （第18题答图）
【答案】(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAD.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAD，∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB.
(2)如答图所示，连结CD.由(1)得，∴CD=BD=4.∵∠BAC=90°，∴BC是直径.∴∠BDC=90°.∴BC==4.∴△ABC外接圆的半径=×4=2.
19.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图1所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD.
(1)求证：AB=CD.
(2)若⊙O的半径为8，的度数为120°，求四边形ABCD的面积.
(3)如图2所示，作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论.
图1图2（第19题）图1图2（第19题答图）
【答案】(1)∵AC=BD，∴，∴AB=CD.
(2)如答图所示，连结OB，OD，作OH⊥BD于点H，∵的度数为120°，∴∠BOD=120°.∴∠BOH=60°.则BH=OB=4，∴BD=8则四边形ABCD的面积S=×AC×BD=96.
(3)AD=2OM.证明：如答图2所示，连结OB，OC，OA，OD，作OE⊥AD于点E.∵OE⊥AD，∴AE=DE.
∵∠BOC=2∠BAC，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC.同理可得∠AOE=∠ABD.∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°.∴∠BOM+∠AOE=90°.∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE.在△BOM和△OAE中，∵,∴△BOM≌△OAE.∴OM=AE.∴AD=2OM.
3.5 圆周角(2)
在同圆或等圆中，等弧或同弧所对的圆周角相等，相等的圆周角对的弧也相等.要特别注意同圆或等圆这个条件．
1.如图所示，已知在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的度数为(B).
A.43° B.35° C.34° D.44°
（第1题）（第2题）(第3题)
2.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E是上任一点，则∠DEC的度数是(B).
A.30° B.45° C.60° D.80°
3.如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为(D).
A.1 B.2 C.2 D.
4.已知在半径为2的⊙O中，圆内接△ABC的边AB=2，则∠C的度数为(C).
A.60° B.30° C.60°或120° D.30°或150°
5.如图所示，OB是⊙O的半径，AB=OB，直径CD⊥AB.若点P是线段OD上的动点，连结PA，则∠PAB的度数可以是 70° (写出一个即可).
(第5题)(第6题) （第7题）
6.如图所示,⊙P经过点A(0，)，O(0，0)，B(1，0)，点C在第一象限的上，则∠BCO= 30° ．
7.如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF= 15° .
8.如图所示，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
(1)求∠EBC的度数．
(2)求证：BD=CD．
(第8题) （第8题答图）
【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°.∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°.∴∠EBC=22.5°.
(2)如答图所示，连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.∵AB=AC，∴BD=CD.
(第9题)
9.如图所示，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，点B正好落在圆上的点E处．
(1)求证：AD过圆心．
(2)若∠C=38°，求∠BAE的度数．
【答案】
（第9题答图）
(1)如答图所示，连结BE，BE交AD于点F.由题意得∠AFB=∠AFE=90°，BF=EF.∴AD垂直平分BE.∴AD过圆心.
(2)由题意得AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=∠C=38°.∴∠BAE=104°.
10.如图所示，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
(第10题)
(1)求证：DE=BF．
(2)若∠DAB=60°，AB=6，求△ACD的面积．
【答案】(1)∵，∴CB=CD，∠CAE=∠CAB.∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CF.∴Rt△CED≌Rt△CFB.∴DE=BF.
(2)∵CE=CF，∠CAE=∠CAB，∴△CAE≌△CAF.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵∠DAB=60°，AB=6，∴BC=3.∵CF⊥AB，∴∠FCB=30°.∴CF=，BF=.∴S△ACD=S△ACE-S△CDE=S△ACF-S△CFB=×(AF-BF)×CF= (AB-2BF)×CF=.
11.如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为点E，连结BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为(C).
A.50° B.60° C.80° D.90°
（第11题）(第12题) （第13题） （第13题答图）
12.如图所示，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是(C).
A.45° B.15° C.30° D.22.5°
13.已知在⊙O中，所对的圆心角∠AOB=108°，点C为⊙O上的动点，以AO，AC为边构造(AODC.当∠A= 27 °时，线段BD最长.
【解析】如答图所示，连结OC，延长AO交⊙O于点F，连结DF.∵四边形ACDO是平行四边形，∴∠DOF=∠CAO，DO=AC.∵OF=AO，∴△DOF≌△CAO.∴DF=OC.∴点D的运动轨迹是以点F为圆心、OC为半径的圆.∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大.∵∠AOB=108°，∴∠FOB=72°.∵OF=OB，∴∠OFB=54°.∵FD′=FO，∴∠FOD′=∠FD′O=27°.∴∠C′AO=∠FOD′=27°.
14.如图所示，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= 2 ．
(第14题)(第15题)(第16题)
15.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则四边形ADBC的面积为 9+4 ．
16.如图所示，过D，A，C三点的圆的圆心为点E，过B，E，F三点的圆的圆心为点D，如果∠A=63°，那么∠B= 18° ．
(第17题)
17.如图所示，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于点H．
求证：AC⊥BH．
【答案】
（第17题答图）
如答图所示，连结AD.∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC.∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°.∴∠DAC+∠DCA=90°.∴∠EBC+∠DCA=90°.∴∠BGC=90°.∴AC⊥BH.
18.已知等边三角形ABC内接于⊙O，点P是上的一点(端点除外)，延长BP至点D，使BD=AP，连结CD，PC．
(第18题)
(1)若AP过圆心O，如图1所示，请你判断△PDC是什么三角形，并说明理由．
(2)若AP不过圆心O，如图2所示，△PDC又是什么三角形？为什么？
【答案】(1)△PDC为等边三角形.理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC.
∵∠PAC=∠PBC，AP=BD，∴△APC≌△BDC.∴PC=DC.∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°.∴∠PBC=∠PAC=30°∠BCP=∠BAP=30°.∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°.∴△PDC为等边三角形.
(2)△PDC仍为等边三角形.理由如下：由(1)得PC=DC.∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC，∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°.∴△PDC为等边三角形.
（第19题）
19.【盐城】如图所示，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上.点D在AB上，若∠ACB=70°，则∠ADB= 110 °.
20.【安徽】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连结AE.
(1)求证：四边形AECD为平行四边形.
(2)连结CO，求证：CO平分∠BCE.
（第20题） （第20题答图）
【答案】(1)由圆周角定理得∠B=∠E，又∠B=∠D，∴∠E=∠D.∵CE∥AD，∴∠D+∠ECD=180°.∴∠E+∠ECD=180°.∴AE∥CD.∴四边形AECD为平行四边形.
(2)如答图所示，作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N.∵四边形AECD为平行四边形，∴AD=CE.
又AD=BC，∴CE=CB.∴OM=ON.又OM⊥BC，ON⊥CE，∴点O在∠BCE的平分线上.∴CO平分∠BCE.
21.如图1所示，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
(1)证明：B，C，E三点共线．
(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM．
(3)如图2所示，将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1，若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（第21题） 图1图2（第21题答图）
【答案】(1)∵AB是直径，∴∠BCA=90°.∵等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠BCA=∠DCE=90°.∴∠BCA+∠DCE=180°.∴B，C，E三点共线.
(2)如答图1所示，连结BD，AE，ON，延长BD交AE于点F.∵∠ABC=45°,∴CB=CA.∵CD=CE,
∴Rt△BCD≌Rt△ACE.∴BD=AE，∠EBD=∠CAE.∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE.∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，O为AB的中点，∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，OM∥AE.∴ON=OM，ON⊥OM.∴△ONM为等腰直角三角形.∴MN=2OM.
(3)成立.理由如下：如答图2所示，连结BD1，AE1，ON1.∵∠ACB-∠ACD1=∠D1CE1-∠ACD1，∴∠BCD1=∠ACE1.∵CB=CA，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1.与(2)同理可证△ON1M1为等腰直角三角形，∴M1N1=OM1.
