3.4 圆心角(1)
(1)圆有旋转不变性，即绕着圆心旋转任意角度，仍与原来重合.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是(A).
A.相等的弦所对的弧相等 B.相等的弦所对的圆心角相等
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等
2.已知AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为(C).
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COD的度数为(A).
A.40° B.60° C.80° D.120°
(第3题)(第4题)(第5题)
4.如图所示，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，作AE∥CD，交⊙O于点E，则的度数为(D).
A.65° B.70° C.75° D.80°
5.如图所示，在⊙O中，∠B=37°，则劣弧的度数为 106° ．
6.如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是的中点，则∠ACD= 125° ．
(第6题) (第7题) (第8题)
7.如图所示，直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°，交AD于点E，则∠DEF= 60° ．
8.如图所示，C为的中点，CN⊥OB于点N，CD⊥OA于点M，CD=4cm，则CN= 2 cm．
9.如图所示，在⊙O中，C为优弧AB的中点，AD=BE，求证：CD=CE.
（第9题） （第9题答图）
【答案】如答图所示，连结OC.∵C为优弧AB的中点，∴∠AOC=∠BOC.∵AD=BE，OA=OB，∴OD=OE.在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE(SAS).∴CD=CE.
(第10题)
10.如图所示，AB为⊙O的直径，∠DOC=90°，∠DOC绕点O旋转，D，C两点不与点A，B重合．
(1)求证：．
(2)AD+BC=CD成立吗？为什么？
（第10题答图）
【答案】(1)∵AB为⊙O的直径，∠DOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠DOC=90°.∴.
(2)不成立，AD+BC＞CD.理由如下：如答图所示，
，∴DE=AD，BC=EC.在△DEC中，DE+EC＞DC，∴AD+BC＞CD.
11.如图所示，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AEO的度数是(A).
A.51° B.56° C.68° D.78°
（第11题）（第12题） (第13题)
12.如图所示，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于(A).
A.8 B.10 C.11 D.12
13.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向行走.按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于上，此时∠AOE=52°，则α的度数是(A).
A.51.5° B.60° C.72° D.76°
14.如图所示，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，AB=a，则OA= a .
(第14题) (第15题)
15.如图所示，点A1，A2，A3，A4，A5在⊙O上，且，B，C分别是A1A2，A2A3上两点，A1B=A2C，A5B与A1C相交于点D，则∠A5DC的度数为 108° ．
16.如图所示，在△ABO中，∠A=∠B，⊙O与OA交于点C，与OB交于点D，与AB交于点E，F．
(第16题)
(1)求证：．
(2)写出图中所有相等的线段(不要求证明)．
【答案】(1)连结OE，OF，则OE=OF.∴∠OEF=∠OFE.∵∠A=∠B，∴∠AOE=∠BOF.∴.
(2)OA=OB，OC=OD，AC=BD，AE=BF，AF=BE.
(第17题)
17.如图所示为⊙O的部分图形，OA，OB是⊙O的两条互相垂直的半径，点M是弦AB的中点，过点M作MC∥OA，交于点C.求证：=．
（第17题答图）
【答案】如答图所示，连结OC，延长CM交OB于点D.∵点M是弦AB的中点，MC∥OA，∴点D为OB的中点.∴OD=OB=OC.∵OA⊥OB,∴CD⊥OB.∴∠DCO=30°.∴∠AOC=∠AOB.∴=.
18.如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，E，且．
(1)求证：AC=AE．
(2)利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线相交于点F(保留作图痕迹，不写作法)，求证：EF平分∠CEN．
(第18题) （第18题答图）
【答案】(1)如答图1所示，作OP⊥AM于点P，OQ⊥AN于点Q，连结AO，BO，DO.
∵，∴BC=DE，∴CP＝EQ＝BP=DQ.∵OB=OD，∴△OBP≌△ODQ.∴OP=OQ.在Rt△APO和Rt△AQO中，∵AO=AO，OP=OQ，∴△APO≌△AQO.∴AP=AQ.∵CP=EQ，∴AC=AE.
(2)如答图2所示，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，AF为CE的垂直平分线.∴∠ECM=∠CEN，CF=EF.
∴∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN.∴EF平分∠CEN.
19.【兰州】如图所示，在⊙O中，若C是的中点，∠A=50°，则∠BOC的度数为(A).
A.40° B.45° C.50° D.60°
（第19题） (第20题)
20.【菏泽】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为 50° ．
（第21题）
21.如图所示，点A是半圆上一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为多少？
【答案】如答图所示，作点A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则点A′必在圆上，
连结BA′交MN于点P，连结PA，此时PA+PB最小，PA+PB=PA′+PB=A′B.连结OA，OA′，OB.
（第21题答图）
∵=，∴∠AON=∠A′ON=60°.∵，∴∠BON=∠AON=30°.∴∠A′OB=90°.∴A′B===.∴AP+BP的最小值是.
3.4 圆心角(2)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们对应的其余各对量都相等．
1.如图所示，已知在⊙O中，BC是直径，，∠AOD=80°，则∠ABC等于(B).
A.40° B.65° C.100° D.105°
(第1题)(第2题) （第4题）
2.如图所示，在⊙O中, ,则下列结论：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ .其中正确的个数是(D).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如果在两个圆中有两条相等的弦，那么(C).
A.这两条弦所对的圆心角相等 B.这两条弦所对的弧相等
C.这两条弦都被与它垂直的半径平分 D.这两条弦所对的弦心距相等
4.如图所示，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，则∠AOC与∠OAB之间的关系是(B).
A.∠AOC＞2∠OAB B.∠AOC=2∠OAB C.∠AOC＜2∠OAB D.不能确定
5.如图所示，在⊙O中, ,那么(B).
A.AB＞2CD B.AB＜2CD C.AB=2CD D.无法比较
(第5题) （第6题）(第7题)(第8题)
6.如图所示，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C.若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，150°，则∠AOB的度数为 105° ，∠A的度数为 50° .
7.如图所示，AB和DE是⊙O的直径，AC∥DE，若BE=3，则CE= 3 ．
8.如图所示，等腰三角形ABC的顶角∠A＝120°，AB＝AC＝10，△ABC的外接圆的半径为 10 .
9.如图所示，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=3cm．
(第9题)
(1)求证：．
(2)求BD的长．
【答案】(1)∵∠1=∠2，∴.
(2)∵，∴AC=BD.∵AC=3cm，∴BD=3cm.
10.如图所示，M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD.求证：∠AMN=∠CNM．
(第10题) （第10题答图）
【答案】如答图所示，连结OM，ON.∵点O为圆心，M，N分别为弦AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD.∵AB=CD，∴OM=ON.∴∠OMN=∠ONM.∵∠AMN=90°-∠OMN，∠CNM=90°-∠ONM，∴∠AMN=∠CNM.
11.如图所示，AB是所对的弦，AB的垂直平分线CD交于点C，交AB于点D，AD的垂直平分线EF交于点E，交AB于点F，DB的垂直平分线GH交于点G，交AB于点H.下列结论中，不正确的是(C).
D.EF=GH
(第11题) （第12题）（第13题）
12.如图所示，已知AB和CD是⊙O的两条等弦.OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M，N，BA，DC的延长线交于点P，连结OP.有下列四个说法：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO.其中正确的有(D).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.如图所示，扇形OAB的圆心角为90°，点C，D是的三等分点，半径OC，OD分别与弦AB交于点E，F.下列说法中，错误的是(A).
A.AE=EF=FB B.AC=CD=DB C.EC=FD D.∠DFB=75°
14.如图所示，C是⊙O直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若所对圆心角度数为40°，则所对圆心角度数为 120° ．
(第14题)(第15题)
15.如图所示，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结AB，并延长AB至点D，使DB=AB，连结OD交半圆C于点F，连结CF，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E.当∠ACF=120°时，的度数是 60° ；当DE=8时，线段AE的长是 4 ．
16.如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心、AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G.判断是否相等，并说明理由.
（第16题） （第16题答图）
【答案】.理由如下：如答图所示，连结AF.∵点A为圆心，∴AB=AF.∴∠ABF=∠AFB.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF.∴∠DAF=∠GAD.∴.
(第17题)
17.如图所示，∠AOB=90°，C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
【答案】如答图所示，连结AC，BD.∵∠AOB=90°,C，D为的三等分点，
（第17题答图）
∴AC=CD=BD,∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°.∵OA=OC=OB=OD,∴∠OCA=∠ODB=75°,∠OAB=∠OBA=45°.∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=75°,∠OFE=75°.∴∠AEC=∠ACE,∠BFD=∠BDF.
∴AE=AC,BF=BD.∴AE=BF=CD.
18.【潍坊】A，C是以半径为3的圆的圆周上的两点，B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为(D).
A. 或2 B. 或2 C. 或2 D或2
图1图2
（第18题答图）
【解析】过点B作直径，连结AC交BO于点E.∵点B为AC的中点，∴BD⊥AC.如答图1所示，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD=×2×3=2.∴OD=OB-BD=1.∵四边形ABCD是菱形，∴DE=BD=1.∴OE=2.连结OC.在Rt△OEC中，CE==，在Rt△DEC中，CD==.如答图2所示，BD=×2×3=4，同理可得OD=1，OE=1，DE=2.连结OC，在Rt△OEC中，CE==2，在Rt△DEC中，CD==2.故选D.
19.【牡丹江】如图所示，在⊙O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，求证：AD=BE.
(第19题) （第19题答图）
【答案】如答图所示，连结OC.∵，∴∠AOC=∠BOC.∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，∴∠CDO=∠CEO=90°.在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE(AAS).∴OD=OE.∵AO=BO，∴AD=BE.
20.已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在⊙O内作等边三角形ABC，D为⊙O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交⊙O于点E.求AE的长．
（第20题） （第20题答图）
【答案】如答图所示，连结OE，OA，OB.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=a，∠CAB=∠ACB=60°.∵，∴AB=BD.∴∠AED=∠AOB.∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD.
∵∠EAB+∠D=180°，∴∠EAC+60°+∠D=180°.∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形.在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，AC=AB，∴△EAC≌△OAB.∴AE=OA=1.
