3.3 垂径定理(1)
(1)圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
1.如图所示，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(B).
A.6 B.5 C.4 D.3
(第1题)(第2题)(第3题)(第4题)
2.如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连结CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中，正确的是(D).
A.AD=2OB B.CE=EO C.∠OCE=40° D.∠BOC=2∠BAD
3.如图所示，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是(C).
A.3 B.6 C.9 D.12
4.如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为(D).
A.8 B.10 C.16 D.20
5.如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P，且AB=CD=8，则OP的长为(C).
A.3 B.4 C.32 D.42
(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)
6.如图所示，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD=8，则△ACD的面积是 32 ．
7.如图所示，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(1，0)，以点P为圆心，AP长为半径作弧，与x轴交于点B，则点B的坐标为 (7，0) ．
8.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 2 .
(第9题)
9.如图所示，在同一平面内，有一组平行线l1，l2，l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为点A，B，AB=12，求⊙O的半径．
【答案】如答图所示，连结OA，过点O作OD⊥AB于点D.
（第9题答图）
∵AB=12，∴AD=AB=6.∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8.在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8，∴OA===10.∴⊙O的半径为10.
（第10题）
10.如图所示，在平面直角坐标系中，以点C(2，3)为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标.
(2)若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的表达式.
【答案】(1)过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如答图所示.
（第10题答图）
∵点C的坐标为(2，)，∴OM=2，CM=.在Rt△ACM中，CA=2，∴AM==1.∴OA=OM-AM=1，OB=OM+BM=3.∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(3，0).
(2)将点A(1，0)，B(3，0)代入y=x2+bx+c，得,解得.∴二次函数的表达式为y=x2-4x+3.
11.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为点M，则AC的长为(C).
A.2cm B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm
12.如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是(B).
A.4 B.3 C.3 D.3+
(第12题)(第13题) （第14题）(第15题)
13.如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=10，AB=16，∠A=∠B=60°，则BC的长为(B).
A.20 B.26 C.28 D.30
（第16题）
14.如图所示，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结BO并延长交⊙O于点E，连结CE，若AB=4，CD=1，则CE的长为 .
15.如图所示，⊙O的半径是4，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点E，F，G，连结EF.若OG=1，则EF= ．
16.如图所示，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=8，OC=6，则AB= .
(第17题)
17.如图所示，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．
(1)求圆心O到CD的距离．
(2)若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少.
【答案】(1)如答图所示，作OG⊥CD于点G，OF⊥AB于点F.∵∠OGE＝∠GEF＝∠OFE＝90°，
∴四边形OGEF是矩形.∴OG＝EF.
（第17题答图）
∵OF⊥AB，∴AF＝AB＝×(4＋10)＝7(cm).∴OG＝EF＝AF－AE＝3(cm).∴点O到CD的距离为3cm.
(2)如答图所示，连结OD，在Rt△ODG中，OD＝8cm，OG＝3cm，∴GD＝＝ (cm).∵OG⊥CD，∴CD＝2GD＝2 (cm).
(第18题)
18.如图所示，四边形ADFE和四边形BCDG都为正方形，且点F，D，C在半圆O的直径上，点E，A，B在半圆O的圆弧上，若小正方形边长为4，求该半圆的半径．
（第18题答图）
【答案】如答图所示，连结OA，OB，OE.∵四边形ADFE为正方形，∴EF=AD.∵OE=OA，OF=，OD=，∴OD=OF.设OD=x，则OC=x+4，AD=2x.在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2=x2+(2x)2=5x2，
在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2=(x+4)2+42，∵OA=OB，∴(x+4)2+42=5x2,解得x1=4，x2=-2(舍去).∴OA=x=4，即该半圆的半径为4.
（第19题）
19.【阿坝州】如图所示，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(D).
A.2cm B. cm C.2cm D.2cm
20.【雅安】⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 4≤OP≤5 .
（第21题）
21.如图所示，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
(1)当BC=4时，求线段OD的长．
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)∵OD⊥BC，∴BD=BC=2.∴OD==2.
（第21题答图）
(2)存在，DE的长度不变.理由如下：如答图所示，连结AB.过点O作AB的垂直平分线，与交于点F，与AB交于点M，则OM平分∠AOB与AB，∴∠AOF=60°.∴在Rt△AOF中，∠FAO=30°.∵OA=2，∴OF=.∴AF==3.∴AB=2AF=6.由垂径定理可知，点D，E分别是BC和CA的中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE=AB=3.
3.3 垂径定理(2)
(1)垂直弦(不是直径)、平分弦、平分弦所对的弧、直径四个条件中只要将其中两个作为条件，另两个作为结论，得到的命题都是真命题.(2)垂径定理应用于几何计算的本质就是半径、弦心距以及半弦长组成的直角三角形的计算．
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(C).
A.10cm B.16cm C.24cm D.26cm
（第1题） (第2题)(第3题)
2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是(A).
A.1275πm2 B.2550πm2 C.3825πm2 D.5100πm2
3.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为(C).
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
4.如图所示，将一个半径为5cm的半圆O折叠，使经过点O，则折痕AF的长度为(C).
A.5cm B.5cm C.5cm D.10cm
(第4题) (第5题) 图1图2
（第6题）
5.如图所示，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为 5cm ．
6.如图1所示，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 25 cm.
7.如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C.
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R.
（第7题） （第7题答图）
【答案】(1)如答图所示.
(2)连结AO，BO，CO，AO交BC于点E.∵AB=AC，OB＝CO，∴OA垂直平分BC.∴AE⊥BC.∴BE=
BC=×8=4（cm）.在Rt△ABE中，AE===3(cm).在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2，
即R2=42+(R-3)2，解得R=.∴圆片的半径R为cm.
（第8题）
8.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m，拱高PD=18m.
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长.
(2)当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m，即PE=4m时，是否要采取紧急措施？
【答案】(1)
（第8题答图）
如答图所示，连结OA.由题意得AD=AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO中，由勾股定理得r2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r的长为34m.
(2)连结OA′.易知OE=OP-PE=30（m），在Rt△A′EO中，由勾股定理得A′E2=A′O2-OE2，
即A′E2=342-302，解得A′E=16.∴A′B′=2A′E=32(m).∵A′B′=32m＞30m，∴不需要采取紧急措施.
9.如图所示，CD是⊙O的直径，将一把直角三角尺的60°角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与⊙O交于E，F两点，点F是的中点，⊙O的半径是4，则弦ED的长为(A).
A.4 B.5 C.6 D.6
(第9题)(第10题)(第11题)
10.如图所示，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB=1，则四边形ABCD的面积最大值为(C).
A. B. C. D.
11.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为2，那么点O到BE的距离OM= ．
12.如图所示，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 7 ．
(第12题)(第13题)
13.将一直径为2cm的圆形纸片(图1)剪成如图2所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图3)形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大值为 8 cm3．
(第14题)（第14题答图）
14.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B，C两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．
【答案】如答图所示，连结BO，CO，延长AO交BC于点D.∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AB=AC.∵点O是圆心，∴OB=OC.∴直线OA是线段BC的垂直平分线.∴AD⊥BC，且D是BC的中点.在Rt△ABC中，AD=BD=BC，∵BC=8，∴BD=AD=4.∵AO=1，∴OD=AD-AO=3.
∵AD⊥BC，∴∠BDO=90°.∴OB===5.
（第15题）
15.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1寸，CD=10寸，求直径AB的长.
请你解答这个问题.
【答案】如答图所示，连结OC.∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴E为CD的中点.又∵CD=10寸，∴CE=DE=CD=5寸.设OC=OA=x(寸)，则AB=2x(寸)，OE=(x-1)(寸)，由勾股定理得OE2+CE2=OC2，即(x-1)2+52=x2，解得x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸.
（第15题答图）
(第16题)
16.【南充】如图所示为由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 mm.
17.【无锡】如图1所示为一个用铁丝围成的置物架，我们来仿制一个类似的柱体形置物架.如图2所示，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO，矩形B2D2EO及若干个缺一边的矩形框A1C1D1B1，A2C2D2B2，…，AnBnCnDn，OEFG围成，其中A1，G，B1在
上，A2，A3…，An与B2，B3，…Bn分别在半径OA2和OB2上，C2，C3，…，Cn和D2，D3…Dn分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于点H2，C1D1⊥EF于点H1，FH1=H1H2=d，C1D1，C2D2，C3D3，…，CnDn依次等距离平行排放(最后一个矩形框的边CnDn与点E间的距离应不超过d)，A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥AnCn.
(1)求d的值.
(2)CnDn与点E间的距离能否等于d？如果能，请求出这样的n的值；如果不能，那么它们之间的距离是多少？
图1 图2
(第17题)
【答案】(1)在Rt△D2EC2中，∠D2EC2=90°，EC2=ED2=r，EF⊥C2D2，∴EH2=r，FH2=r-r.∴d=（r-r）=r.
(2)假设CnDn与点E间的距离能等于d.由题意得（n+1）·=r,这个方程n没有整数解∴假设不成立.∵r÷r=4+2≈6.8，∴n=6，此时CnDn与点E间的距离=r-6×r=r.
（第18题）
18.如图所示，C是⊙O上的中点，弦AB=6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE2-EF2，求y关于动点F的运动时间x（s）(0≤x≤6)的函数表达式．
【答案】如答图所示，延长CO交AB于点G.∵C是的中点，
（第18题答图）
∴CG⊥AB，AG=AB=3(cm).∴AE2=AG2+EG2，EF2=FG2+EG2.当0≤x≤3时，AF=x(cm)，FG=(3-x)(cm)，∴y=AE2-EF2=AG2+EG2-FG2-EG2=AG2-FG2=9-(3-x)2=6x-x2.当3＜x≤6时，AF=x(cm)，FG=(x-3)(cm)，∴y=AE2-EF2=AG2+EG2-FG2-EG2=AG2-FG2=9-(x-3)2=6x-x2.∴y=6x-x2(0≤x≤6).
