第3章 圆的基本性质
3.1 圆(1)
点与圆的位置关系：d>r(点在圆外；d=r(点在圆上；d
1.已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P(A).
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.不能确定
2.在平面直角坐标系中，点M(2，0)，⊙M的半径为4，那么点P(-2，3)与⊙M的位置关系是(C).
A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定
3.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，若以点A为圆心、5cm长为半径画⊙A，则点C与⊙A的位置关系为(A).
A.点C在⊙A上 B.点C在⊙A外 C.点C在⊙A内 D.无法判断
（第3题）（第4题）(第8题)
4.如图所示，在△ABC中，AB=2，BC=3，∠B=90°，以点B为圆心作半径为r的⊙B，要使点A，C在⊙B外，则r的取值范围是(A).
A.0＜r＜2 B.0＜r＜3 C.2＜r＜3 D.r＞3
5.已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是(C).
A.r＞15 B.15＜r＜20 C.15＜r＜25 D.20＜r＜25
6.已知⊙A的直径是8，点A的坐标是(3，4)，则坐标原点O在 ⊙A外 (填“⊙A内”“⊙A上”或“⊙A外”).
7.已知点P是⊙O所在平面内的一点，点P与圆上所有点的距离中，最长距离是9cm，最短距离是4cm，则⊙O的直径是 5cm或13cm ．
8.如图所示，正方形ABCD的边长为3，正方形AEFG的边长为1.若正方形AEFG绕点A旋转一周，则C，F两点之间的最小距离为 2 (结果保留根号).
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，以点B为圆心，3为半径作⊙B.
(1)AB与AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？
(第9题)
(2)若要让点A和点C有且只有一个点在⊙B内，则⊙B的半径应满足什么条件？
【答案】(1)∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=5.∵D为AB的中点，∴BD=2.5.∴点D在⊙B内.∵BE＞BC，∴点E在⊙B外.
(2)设⊙B的半径为r，∴当BC10.如图所示为边长为3cm的正方形ABCD，连结AC，BD相交于点O，以点A为圆心，22cm长为半径画圆，试判断B，C，D，O四点与这个圆的位置关系．
(第10题)
【答案】∵AB=BC=3，∠ABC=90°，∴AC=3,AO=.∵AB=3＞2，∴点B在圆外.
∵AC=3＞2，∴点C在圆外.∵AD=3＞2，∴点D在圆外.∵AO=＜2，∴点O在圆内.
11.⊙O的半径为4，圆心O到点P的距离为d，且d是方程x2-2x-8=0的根，则点P与⊙O的位置关系为(B).
A.点P在⊙O内部 B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外部 D.点P不在⊙O上
12.如图所示，⊙C半径为1，圆心坐标为(3，4)，P(m，n)是⊙C内或⊙C上的一个动点，则m2+n2的最小值是(B).
A.9 B.16 C.25 D.36
(第12题)(第13题)(第14题)
13.如图所示，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上点A处距离点O 240m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72km/h的速度行驶时，点A处受到噪声影响的时间为(B).
A.12s B.16s C.20s D.24s
14.如图所示，菱形ABCD的边长是13，点O是两条对角线的交点，且OB=12.约定：三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离.依据这个约定，可知当⊙C的半径是 2或16 时，△ABD与⊙C的距离为3．
(第15题)
15.如图所示，AB=8cm，点D从点A出发沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s，同时点C从点B出发沿BA向点A以相同速度运动，以点C为圆心，2cm长为半径作⊙C，点D到达点B时⊙C也停止运动，设运动时间为t(s)，则点D在⊙C内部时t的取值范围是 3＜t＜5 ．
16.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=53，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A，B，C，D是否在同一个圆上，并证明你的结论．
(第16题)
【答案】点A，B，C，D在同一个圆上.证明：连结BD.在Rt△ABD中，BD==10.
在△BCD中，∵82+62=102，即BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形.取BD的中点O，∴OB=OC=OA=OD=BD.∴点A，B，C，D在以BD为直径的圆上.
17.如图1所示，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”.如图2所示，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
图1 图2
（第17题） （第17题答图）
【答案】∵点A′是点A关于⊙O的反演点，∴OA′·OA=r2.又∵r=4，OA=8，∴OA′=2.同理可得OB′=4，即点B和点B′重合.设OA交⊙O于点C，连结B′C，如答图所示.∵∠BOA=60°，OB=OC，∴△OBC为等边三角形.又∵点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC.
在Rt△OA′B′中，OB′2=OA′2+A′B′2，即42=22+A′B′2,∴A′B′=2.
18.【枣庄】如图所示，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，若以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围是(B).
A.2＜r＜ B. ＜r≤3 C. ＜r＜5 D.5＜r＜
（第18题） （第18题答图）
【解析】给各点标上字母，如答图所示.AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.故选B.
19.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内.设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是＜r＜ .
（第20题）
20.(1)从A地到B地，甲走直径AB上方半圆的途径；乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1所示，已知AB=40m，AC=30m，计算各人所走的路程，并比较两人所走路程的远近．
(2)如果甲、乙走的路程图改成图2，两人走的路程相同吗？
【答案】(1)BC=AB-AC=10(m)，甲所走的路程为×π×AB=20π(m),乙所走的路程为×π×AC+×π×BC=20π(m).∴两人所走路程相等.
(2)两人走的路程相同.理由如下：甲所走的路程为×π×AB=π2AB,乙所走的路程为×π×AC+×π×CD+×π×DB=π(AC+CD+DB)=π2AB，即两人走的路程相同.
3.1 圆(2)
(1)确定圆的关键在于确定圆的圆心和半径，圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小.(2)不在同一条直线上的三点确定一个圆，这个圆的圆心称为以这三个点为顶点的三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点．
1.确定一个圆的条件是(D).
A.已知圆心 B.已知半径
C.已知直径 D.过一个三角形的三个顶点
2.下列命题中，正确的有(B).
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B).
A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块
(第3题) (第4题)(第5题) (第6题)
4.如图所示，点A，B，C分别表示三个村庄，AB=1000m，BC=600m，AC=800m，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在(A).
A.AB中点 B.BC中点
C.AC中点 D.∠C的平分线与AB的交点
5.如图所示，在平面直角坐标中，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直于x轴，点M为Rt△ABC的外心.若点A的坐标为(3，4)，点M的坐标为(-1，1)，则点B的坐标为(B).
A.(3，-1) B.(3，-2) C.(3，-3) D.(3，-4)
6.如图所示，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B的点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 (2,0) .
(第7题)
7.如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，若格点D在△ABC外接圆上，则图中符合条件的点D有 5 个(点D与点A，B，C均不重合)．
8.阅读材料：对于平面图形A，若存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.根据以上材料，回答下列问题：
(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．
(2)边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．
9.作图题：
(1)如图所示，分别在图1、图2、图3中作出点P，使得PA=PB=PC．
(2)观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：
当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的 内部 ；
当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的 斜边的中点上 ；
当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的 外部 ；
反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．
(第9题)
【答案】(1)略
(2)内部 斜边的中点上 外部
10.如图所示，已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．
(1)作图：⊙O，使得⊙O经过A，C两点，且圆心O落在AB边上.(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)
(2)求证：BC⊥OC．
(第10题)
【答案】(1)略
(2)连结OC，∵OA=OC，∠A=25°，∴∠BOC=50°.∵∠B=40°，∴∠BOC+∠B=90°.∴∠OCB=90°.∴OC⊥BC.
11.如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为(1，4)，(5，4)，(1，-2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D).
A.(2，3) B.(3，2) C.(1，3) D.(3，1)
（第11题）(第12题) （第13题）(第14题)
12.如图所示，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC=45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB的度数为(C).
A.65° B.90° C.130° D.140°
13.如图所示，坐标平面内有A(0，a)，B(-9，0)，C(10，0)三点，其中a＞0.若∠BAC=100°，则△ABC的外心在(D).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.根据三角形外心的概念，我们可以引入一个新定义：
到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的准外心．
根据准外心的定义，探究如下问题：如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，AB=6，如果准外心点P在AC边上，那么PA的长为 4或 ．
15.抛物线y=x2-2x-3与两坐标轴有三个交点，则经过这三个点的外接圆的半径为 ．
(第16题)
16.如图所示，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于点E，交半圆于点C，且CE=AO，求∠E的度数．
【答案】如答图所示，连结OC.
（第16题答图）
∵CE=AO，OA=OC，∴OC=EC.∴∠E=∠1.∴∠2=∠E+∠1=2∠E.∵OC=OD，∴∠D=∠2=2∠E.
∵∠BOD=∠E+∠D，∴∠E+2∠E=75°.∴∠E=25°.
(第17题)
17.如图1所示，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
(1)求证：△ABD≌△CBE．
(2)如图2所示，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD.∴∠ABD=∠CBE.在△ABD与△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE.
(2)四边形BDCE是菱形.证明：同(1)可证△ABD≌△CBE，∴CE=AD.∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC.∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD.∴四边形BDCE是菱形.
18.【宁夏】如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 .
（第18题） （第19题）
19.【泰州】如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2).若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，点P是△ABC的外心，则点C的坐标为 (7,4)或(6,5)或（1，4） .
20.如图所示，已知点H是△ABC的垂心，点O是外心，OL⊥BC于点L.求证：AH=2OL．
（第20题） （第20题答图）
【答案】如答图所示，作OM⊥AC于点M，取CH的中点K，连结MK，LK，则有MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM，∴四边形OLKM为平行四边形.∴MK=OL.∵MK=AH，∴AH=2OL.
