第4章 相似三角形
4.1 比例线段（1）
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比例的基本性质：=(ad=bc(a,b,c,d都不为0).
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1.已知2x=5y（y≠0），则下列比例式中成立的是(B).
A. = B. = C. = D. =
2.若=，则的值为(D).
A.1 B. C. D.
3.如果a，b，c，d满足=，那么下列等式中，不一定成立的是(C).
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4.若==，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c的值是(D).
A.4 B.42 C.7 D.
5.已知a∶b=3∶2，则（a-b）∶a= 1∶3 ．
6.如果=，那么= 2 .
7.已知a∶b=2∶3，b∶c=3∶5，则a∶c= 2∶5 ．
8.已知 =，则mn= ．
9.已知ab=32，求下列算式的值.
（1）a+bb. （2）2a+b3a-2b.
【答案】∵/. /
10.已知a=,b=2+,c=2-．
（1）若a∶b=c∶x，求x．
（2）若b∶y=y∶c，求y．
【答案】(1)由a∶b=c∶x得x===2.
(2)由b∶y=y∶c得y2=bc=(2+)(2-)=1,∴y=±1.
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11.若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是(B).
A.2 B.-2 C.3 D.-3
12.若a∶b∶c=∶∶，则a∶b∶c化为整数比为(D).
A.3∶4∶5 B.5∶4∶3 C.20∶15∶12 D.12∶15∶20
13.若x∶y=1∶3，2y=3z，则的值是(A).
A.-5 B.- C. D.5
14.已知==，则= .
15.设x，y，z是三个互不相等的正数，若/= ．
16.如果/，那么/= ．
17.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，==，求△ABC三边的长．
【答案】设===k,则a=3k,b=4k,c=5k.∵a+b+c=36,∴3k+4k+5k=36,解得k=3.
∴a=3k=9,b=4k=12,c=5k=15.∴△ABC三边的长为a=9，b=12，c=15.
18.若/，且2a-b+3c=21.试求a∶b∶c．
【答案】设/=k，则a=3k-2，b=4k，c=6k-5，∴2（3k-2）-4k+3（6k-5）=21，解得k=2.∴a=4，b=8，c=7.∴a∶b∶c=4∶8∶7.
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19.【兰州】已知2x=3y（y≠0），则下列结论中，成立的是(A).
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20.【六盘水】已知/，则的值为 .
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21.已知/，求/的值．
【答案】设比值为k，则2a-b-c=ka，-a-c+2b=kb，-a-b+2c=kc，∴b+c=（2-k）a，a+c=（2-k）b，a+b=（2-k）c.∵/=k，∴k=/=0.
∴/=（2-k）3=（2-0）3=8.
4.1 比例线段（2）
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求线段的比要注意统一长度单位，特别在地图问题中单位的转换是易错点．
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1.C是线段AB上的一点，且AC∶CB=2∶3，那么AB∶BC等于(B).
A.2∶3 B.5∶3 C.3∶2 D.3∶5
2.在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，则两地的实际距离是(C).
A.30km B.300km C.3000km D.30000km
3.以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是(C).
A.2，5，10，25 B.4，7，4，7
C.2, ,，4 D. ,,2，5
4.给出下列各组线段，其中成比例线段是(D).
A.a=2cm，b=4cm，c=6cm，d=8cm
B.a=cm，b=cm，c=cm，d=cm
C.a=cm，b=cm，c=cm，d=2cm
D.a=2cm，b=cm，c=2cm，d=cm
5.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105km，在一张比例尺为1∶2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于(A).
A.一根火柴的长度 B.一支钢笔的长度
C.一支铅笔的长度 D.一根筷子的长度
6.已知线段a=2cm，b=（2-1）cm，c=（2-2）cm，则线段a，b，c的第四比例项是 cm．
7.C是线段AB上一点，BC=2AC，M，N分别是线段AC，BC的中点，那么MN∶BC= ．
/（第8题）
8.在某地图册上，连结甲、乙、丙三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示.如果飞机从丙直飞甲的距离约为1290km，那么飞机从丙绕道乙再到甲的空中飞行距离约是 3870 km．
9.如图所示，在(ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.找出图中的一组比例线段，并说明理由．
/（第9题）
【答案】∵S(ABCD=BC·AE=CD·AF，∴=.
/（第10题）
10.如图所示，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°．
（1）求的值．
（2）求AB∶AC∶BC.
/（第10题答图）
【答案】(1)如答图所示，作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AD=AB,BD=3AD.在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴AD=AC,CD=AD.∴AB=AC.∴=.
(2)∵AB=2AD，AC=AD，BD=AD，CD=AD，∴BC=BD+CD=（+1）AD.∴AB∶AC∶BC=2∶∶（+1）.
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11.已知甲、乙两幅地图的比例尺分别为1∶5000和1∶20000，如果甲图上A，B两地的距离与乙图上C，D两地的距离恰好相等，那么A，B两地的实际距离与C，D两地的实际距离之比为(C).
A.5∶2 B.2∶5 C.1∶4 D.4∶1
12.如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是(C).
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（第12题）
A.19.4 B.19.5 C.19.6 D.19.7
13.如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别为AB，CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于(A).
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（第13题）
A. ∶1 B.1∶ C. ∶1 D.1∶
14.已知AB是⊙O的直径，C是半圆的三等分点，则= 或 ．
15.李老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作，在第一次操作后，原线段AB上的，均变成，变成1.那么在线段AB上的点中（点A，B除外），在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是 1 ．
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（第15题）
16.如图所示，C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AD∶BD=3∶2，AB∶AC=5∶3，AC=3.6，求AD的长．
/
（第16题）
【答案】∵AB∶AC=5∶3，AC=3.6，∴AB=6.∵AD∶BD=3∶2，∴AB∶AD=1∶3.∴AD=18.
17.如图所示，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2.
（1）求下列各线段的比：，，.
（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，BF这六条线段中的成比例线段（写一组即可）.
/（第17题）
【答案】(1)∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2，∴CD=EF=AB=3，BC=AD=6.5，CF=BC-BF=4.5.∴==，==，=.
(2)成比例线段有= (答案不唯一).
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18.【娄底】若在比例尺为1∶6700000的地图上量得我国南北的图上距离是82.09cm，则我国南北的实际距离大约是 5500 km（结果精确到1km）.
19.已知点P在线段AB上，且AP∶BP=2∶3，则AB∶PB= 5∶3 .
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20.在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB=CB∶AB=k．
（1）求k的值．
（2）如果三条线段a，b，c满足a∶b=b∶c=k，这三条线段能否构成三角形？如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
/（第20题）
【答案】(1)设AB=x,则CB=kx,AC=k2x.∵AC+BC=AB，∴k2x+kx=x.∴k=.
∵k＞0，∴k=.
(2)不能.理由如下：∵a∶b=b∶c=k，∴b=kc=c,a=kb=2c=c.∴a+b=c.∴线段a，b，c不能构成三角形.
4.1 比例线段（3）
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黄金比为≈0.618，黄金分割是分一条线段，黄金比是一个比值，注意它们的区别和联系．
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1.已知线段a=4，b=16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于(B).
A.10 B.8 C.-8 D.±8
2.已知C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC·AB，则下列式子成立的是(B).
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3.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(D).
A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm
4.已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则PQ长为(C).
A.5（-1） B.5（+1） C.10（-2） D.5（3-）
5.如图所示，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1与S2之间的大小关系是(A).
A.S1=S2 B.S1＞S2 C.S1＜S2 D.不能确定
/（第5题）/（第7题）
6.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a，c的比例中项，那么b= 6 .
7.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m（精确到0.01m，参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.236）.
8.已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，BC=3-，则AB的长为 2 ．
9.已知C，D是线段AB的黄金分割点，AB=10，求线段AC与CD的长.
/（第9题）
【答案】∵C，D是线段AB的黄金分割点，∴AC=AB=5-5，BD=AB=5-5.∴AD=AB-BD=15-5.∴CD=AC-AD=5-5-（15-5）=105-20.
/（第10题）
10.如图1所示为一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC还是黄金矩形吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
【答案】矩形EFDC是黄金矩形.理由如下：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF.∵=，∴=,即F是线段AD的黄金分割点.∴==.∴=.∴矩形EFDC是黄金矩形.
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11.乐器上的一根琴弦AB=60cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为(C).
A.（90-30）cm B.（30+30）cm C.（30-30）cm D.（30-60）cm
12.如图所示，P为线段AB的黄金分割点（PB＞PA），四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形，且面积分别为S1，S2.四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且面积分别为S3，S4.下列说法中，正确的是(B).
A.S2=S1 B.S2=S3 C.S3=S4 D.S4=S1
/（第12题） /（第14题）
13.已知线段AB及AB上一点P，P为AB的黄金分割点.给出下列结论：①AP2=AB·PB；②AP=AB；③PB=AB；④=；⑤=.其中正确的是(A).
A.①②③ B.①②③ C.②③④⑤ D.①②③④⑤
14.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角相等，则图中的黄金三角形有 20 个．
15.（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP，PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且=，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为 .
（2）如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D，再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证：E是线段AB的黄金分割点.
/ （第15题）
【答案】(1)
(2)设BC=a，则AB=2a，∴AC=a.由题意得CD=BC=a，∴AE=AD=a-a，BE=AB-AE=3a-a.
∴=，=.∴=，即E是线段AB的黄金分割点.
/（第16题）
16.如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D，E，连结OE，DE=12AB，OD=2．
（1）求∠CDB的度数．
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由.
②求弦CE的长.
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C，D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，DE=AB，∴OA=OC=OE=DE.则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC.
设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.∵∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.∴x+2x=108°，x=36°.∴∠CDB=36°.
(2)①有三个：△DOE，△COE，△COD.∵OE=DE，∠CDB=36°，∴△DOE是黄金三角形.
②∵△COD是黄金三角形，∴OCOD=.∵OD=2，∴OC=-1.∴CD=OD=2，DE=OC=-1.
∴CE=CD-DE=2-（-1）=3-.
/（第16题答图）
③存在，有三个符合条件的点P1，P2，P3，如答图所示，以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB，CD得到点P1，P2;以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合.
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17.【山西】宽与长之比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以点F为圆心、FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则下列矩形中，属于黄金矩形的是(D).
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（第17题）
A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH
18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美.
如图所示，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3）……依此类推，则APn的长度是 （）n ．
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（第18题）
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19.如图1所示，点C将线段AB分成两部分，若=，点C为线段AB的黄金分割点．
某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2所示，在△ABC中，D是AB的黄金分割点．
（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连结EF（如图3所示），则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由．
/
（第19题）
【答案】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下：∵D是AB的黄金分割点，∴=.∵/，.
∴直线CD是△ABC的黄金分割线.
(2)∵三角形AB边的中点D′把AB分成相等的两条线段，即AD′=BD′，∴/.∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.
(3)∵DF∥CE，∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC.∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC.∵/.∴直线EF是△ABC的黄金分割线.
