4.4 两个三角形相似的判定（3）
三边对应成比例的两个三角形相似．
1.已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是(C).
A.2cm，3cm B.4cm，5cm C.5cm，6cm D.6cm，7cm
2.如图所示，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是(A).
A.△AFD B.△AED C.△FED D.不能确定
（第2题） （第4题） （第6题）
3.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①；②；
③∠A=∠A′；④∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A′B′C′的共有(C).
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4.如图所示，图1，图2中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图2中AB，CD交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(A).
A.都相似 B.都不相似
C.只有图1中相似 D.只有图2中相似
5.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中真命题是 ②③ （把所有真命题的序号都填上）．
6.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，N是AC上的点，且AN=AB，连结BN，作AD⊥BN于D，M是BC上的动点，则当BM= 5 时，△BMD∽△BCN．
7.如图所示，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线交于点M．
（第7题）
（1）AC= 2 ，AB= 2 ．
（2）求∠ACB的值．
（3）判断△CAB和△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】(1)2 2
(2)∵BC==2,AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.
(3)△CAB和△DEF相似.理由如下：DE=DF==，EF==.∴===2.∴△CAB∽△DEF.
8.如图所示，在△ABC中，点D在AC上，AE分别交BD，BC于点F，G，∠1=∠2，=.
求证：BF2=FG·EF．
（第8题）
【答案】∵=，∠AFD=∠EFB，∴△ADF∽△EBF.∴∠1=∠E.∵∠1=∠2，∴∠2=∠E.
∵∠BFG=∠EFB，∴△BEF∽△GBF.∴=，即BF2=FG·EF.
9.下列条件中，能判定△ABC∽△A′B′C′的是(C).
A.∠A=50°，∠B=40°，∠A′=40°，∠C′=80°
B.∠A=∠A′=130°，AB=4，AC=10，A′B′=10，A′C′=24
C.AB=48，BC=80，CA=60，A′B′=24，C′A′=30，B′C′=40
D.∠A=∠A′=90°，AB=1，AC=2，A′C′=3，B′C′=6
10.如图所示，在正方形网格中有6个斜三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的是(B).
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
（第10题） （第11题）（第12题）
11.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）.P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形：
△DP2P5，△DP2P4，△DP4P5 ．
12.P是等边△ABC的边AB上一点，连结PC，点Q，D在PC，BC上，连结BQ，DQ，AD，∠PQB=∠BQD=∠CQD，若BQ=3，QC=6，则AD的长为 7 ．
13.如图所示，四边形ABCD，DCFE，四边形EFGH都是正方形．
（1）求证：△ACF∽△GCA．
（2）求∠1+∠2的度数．
（第13题）
【答案】(1)设正方形的边长为a，则AC=a，∴==.∵∠ACF=∠GCA，∴△ACF∽△GCA.
(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF.∴∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45°.
14.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE，作BF⊥AE交AE于点H，交CD于点F，作CG∥AE，交BF于点G.求证：
（第14题）
（1）CG=BH．
（2）FC2=BF·GF．
（3）=．
【答案】(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.∴∠CBG+∠BCG=90°,∠BAH+∠ABH=90°.
∵∠ABH+∠CBG=90°,∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG.∵AB=BC.∴△ABH≌△BCG.∴CG=BH.
(2)∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，∴△CFG∽△BFC.∴=，即FC2=BF·GF.
(3)同(2)可知BC2=BG·BF.∵AB=BC，∴AB2=BG·BF.∴==.
15.图中的每个点（包括△ABC的各个顶点）都在边长为1的小正方形的顶点上，在P，Q，G，H中找一个点，使它与点D，E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是 Q,G .（写出满足条件的所有的点）
（第15题） （第16题）
16.如图所示，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P的坐标是 (1，)或(1，2+)或(1，2- ) ．
17.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点.
（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长.
（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？请说明理由.
（第17题）
【答案】(1)设AP=x.∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当△ADP∽△BPC时，则=，∴=，解得x=2或6.
②当△ADP∽△BCP时，则=，∴=，解得x=2.∴当以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似时，AP的值为2或6.
(2)设PA=x.∵△ADP∽△BPC，∴=.∴=，整理得x2-mx+ab=0.由题意Δ≥0，∴m2-4ab≥0.∴当a，b，m满足m2-4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC.
4.4 两个三角形相似的判定（1）
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）有两个角对应相等的两个三角形相似．
1.下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(C).
A.都含有一个30°的内角 B.都含有一个45°的内角
C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个80°的内角
2.如图所示，?ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC,DC于点F，G，则下列结论中，错误的是(D).
A.△ABE∽△DGE B.△CGB∽△DGE C.△BCF∽△EAF D.△ACD∽△GCF
（第2题）（第3题） （第4题）
3.如图所示，F是△ABC的边BC上一点，DE∥BC交AF于点G，若ADDB=34，则
等于(A).
A. B. C. D.
4.如图所示，?ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于点G，则图中的相似三角形有(B).
A.8对 B.6对 C.4对 D.2对
5.如图所示，在矩形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE，交CD于点F，连结BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是(B).
A.△EFB B.△DEF C.△CFB D.△EFB和△DEF
（第5题）（第6题） （第7题） （第8题）
6.如图所示，E是?ABCD的边AD上一点，AE=ED，CE与BD相交于点F，BD=10，则DF= 4 .
7.如图所示，已知△ABC与△DEF均为等边三角形，则图中的相似三角形有 3 对．
8.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 2 .
9.如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE．
（第9题）
【答案】在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.
10.如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连结BD，OB.
（1）求证：△AEC∽△DEB.
（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径.
（第10题）
【答案】(1)∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC∽△DEB.
(2)设⊙O的半径为r，则CE=2r-2.∵CD⊥AB，AB=8，∴AE=BE=AB=4.∵△AEC∽△DEB，
∴=，即=，解得r=5.
11.如图所示，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．
（第11题）
（1）求证：△ABD∽△DCF．
（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
【答案】(1)∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠ADE=60°.∵∠BDA+∠ADE=∠DFC+∠C,∴∠BDA=∠DFC.∴△ABD∽△DCF.
(2)△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD.
12.如图所示，在锐角三角形ABC中，∠A=60°，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，则DE∶BC等于(C)．
A.2∶3 B.1∶3 C.1∶2 D.3∶2
（第12题）（第13题）（第14题）
13.如图所示，点E，F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若=2，则的值为(B).
A. B. C. D.
14.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为(A).
A.3 B.4 C.5 D.6
15.如图所示，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC，AD于点F，E，若AD=1，AB=CF，则AE= .
（第15题） （第16题）
16.如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连结OE交AD于点F.若CD=5，BC=8，AE=2，则AF= .
17.如图所示，在正方形ABCD中，H为CD的中点，延长AH至点F，使AH=3FH，过点F作FG⊥CD，垂足为点G，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点E.求证：
（1）△ADH∽△FGH.
（2）四边形CEFG是正方形.
（第17题）
【答案】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADH=90°，AD=DC.∵FG⊥CD，∴∠FGH=90°.
∴∠ADH=∠FGH.又∠AHD=∠FHG，∴△ADH∽△FGH.
(2)∵FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，∴四边形CEFG是矩形.∵△ADH∽△FGH，∴==.∵AH=3FH，∴==3.∴GF=AD.又∵DH=CH，∴CG=2GH.∴CD=6GH.∴CG=CD.∴GF=CG.∴矩形CEFG是正方形.
（第18题）
18.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连结CE，OH．
（1）求证：△ACE∽△CFB．
（2）若AC=6，BC=4，求OH的长．
（第18题答图）
【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCB=45°.
∵AE⊥CD，∴∠CAE=45°=∠FCB.∵∠E=∠ABC，∴△ACE∽△CFB.
(2)如答图所示，延长AE，CB交于点M.∵∠FCB=45°，∠CHM=90°，∴∠M=45°=∠CAE.
∴HA=HC=HM，CM=CA=6.∵CB=4，∴BM=6-4=2.∵OA=OB，HA=HM，∴OH是△ABM的中位线.∴OH=BM=1.
19.【泰安】如图所示，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为(B).
A.18 B. C D.
（第19题） （第20题）
20.【锦州】如图所示，E为?ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB=2∶3，连结DE交BC于点F，则CF∶AD= 3∶5 .
21.如图所示，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．
（1）求证：△ACE∽△FBE．
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α，β满足什么关系时，△ACE≌△FBE，请说明理由．
（第21题）
【答案】(1)∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′.∴∠CAB+∠BAC′=∠C′AB′+∠BAC′，即∠CAC′=∠BAB′.
∴∠ACC′=∠ABB′.∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE.
(2)当β=2α时，△ACE≌△FBE.∵AC=AC′，∴∠ACC′===90°-α.
∵∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，∴∠BCE=α.∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE.∴CE=BE.∵△ACE∽△FBE，∴∠BEF=∠CEA，∠FBE=∠ACE.∵CE=BE，∴△ACE≌△FBE.
4.4 两个三角形相似的判定（2）
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
1.如图所示，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC∽△ADE的是(C).
A.∠B=∠D B.∠C=∠AED C. = D. =
（第1题）（第2题） （第3题）
2.如图所示，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为(C).
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
3.如图所示，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且=，AE=BE，则有(B).
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
4.如图所示，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有(C).
(第4题)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 △APB∽△CPA ．
（第5题） （第6题）
6.如图所示，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 4或9 时，△ADP和△ABC相似．
7.如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
（第7题）
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．
（2）请分别说明两对三角形相似的理由．
【答案】(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.
(2)∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE.∴=.∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE.
8.如图所示，AB=3AC，BD=3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（第8题）
（1）求证：△ABD∽△CAE．
（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．
【答案】(1)∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA=∠CAE.∵==3，∴△ABD∽△CAE.
(2)∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2.∴∠D=90°.∵△ABD∽△CAE，
∴∠E=∠D=90°.∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，∴BC2=（AB+AE）2+EC2=(3BD+BD)2+(BD)2=12BD2=12a2.∴BC=2a.
9.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有(C).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
10.如图所示，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件.下列添加的条件中，错误的是(D).
A.∠ACD=∠DAB B.AD=DE C.AD2=BD·CD D.CD·AB=AC·BD
11.如图所示，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2.当AB= 3或 时，这两个直角三角形相似．
12.如图所示，P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM，ON相交于点A，B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角.如果∠MON=50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为 155° .
13.如图所示，?ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC交于点E.设AP=x，当x= 8 时，△ABP与△EBC相似．
14.如图所示，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=1，连结BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．
（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．
（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答.
（第14题）
【答案】(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG，∴BC=CE=EG=BG=1,FG=AB=.∴BG=3.∴=
==3.∵∠BGF=∠FGE，∴△BFG∽△FEG.∵△FEG是等腰三角形，∴△BFG是等腰三角形.∴BF=BG=.
(2)略
15.如图所示，已知点D，E分别在△ABC的边AC，BC上，线段BD与AE交于点F，且CD·CA=CE·CB.
（1）求证：∠CAE=∠CBD.
（2）若=，求证：AB·AD=AF·AE.
（第15题） （第15题答图）
【答案】(1)∵CD·CA=CE·CB，∴=.∵∠ECA=∠DCB，∴△CAE∽△CBD.∴∠CAE=∠CBD.
(2)如答图所示，过点C作CG∥AB，交AE的延长线于点G.∴
.∴CG=CA.∴∠G=∠CAG.∵∠G=∠BAG，∴∠CAG=∠BAG.∵∠CAE=∠CBD，∠AFD=∠BFE，
∴∠ADF=∠BEF.∴△ADF∽△AEB.∴=.∴AB·AD=AF·AE.
16.【随州】在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=
或 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似.
17.【宿迁】如图所示，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上.
（1）求证：△BDE∽△CEF.
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
（第17题）
【答案】(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，
∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF.∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF，∴=.∵点E是BC的中点，∴BE=CE.∴=.∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE=∠CFE.∴FE平分∠DFC.
18.如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm.点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动.点E，G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t（s）时，△EFG的面积为S（cm2）.
（1）当t=1(s)时，S的值是多少？
（2）写出S关于t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由．
（第18题） (第18题答图)
【答案】(1)当t=1(s)时，AE=2(cm)，EB=10(cm)，BF=4(cm)，FC=4(cm)，CG=2(cm)，
S=S梯形GCBE-S△EBF-S△FCG= (EB+CG)×BC-EB×BF-FC×CG=×（10+2）×8-×10×4-×4×2
=24（cm2）.
(2)①如答图1所示，当0s≤t≤2s时，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上移动，
此时AE=2t(cm)，EB=(12-2t)(cm)，BF=4t(cm)，FC=(8-4t)(cm)，CG=2t(cm)，
S=S梯形GCBE-S△EBF-S△FCG=（EB+CG）×BC-EB×BF-FC×CG=×8×（12-2t+2t）-×4t（12-2t）-×2t（8-4t）=8t2-32t+48.
②当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4(s).如答图2所示,当2s＜t≤4s时，点E在边AB上移动，点F，G都在边CD上移动，此时CF=(4t-8)(cm)，CG=2t(cm)，FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t(cm)，S=FG×BC=（8-2t）×8=-8t+32.∴S=.
(3)如答图1所示，当点F在矩形BC上移动时，0≤t≤2.在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°.
①若=，即=，解得t=.当t=时，△EBF∽△FCG.
②若=,即=，解得t=.当t=时，△EBF∽△GCF.
综上所述，当t=或t=时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似.
