2018-2019学年浙教版九年级上数学《4.3相似三角形》同步导学练（含答案）

4.3 相似三角形
对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似，反之，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应边的比叫做相似比．
1.如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(C).
A.28°　　　　　　B.32°　　　　C.42°　　　　　　　　D.52°
(第1题) （第3题） （第4题）
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值为(C).
A. 　　　　　　　B.5　　　　　　C或5　　　　　D.无数个
3.如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论中，一定正确的是(A).
A.AB2=BC·BD　　　　　　　　　　　　　　　B.AB2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC　　　　　　　　　　　　　D.AB·AD=AD·CD
4.如图所示，在(ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是(D).
A.5　　　　B.8.2　　　　　C.6.4　　　　　　　　D.1.8
5.已知△ABC的三边长是，，2，△DEF的两边长分别是1和3，如果△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是 .
6.如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是线段AC的中点，点E在线段AB上，且△ADE∽△ABC，则AE= ．
（第6题） （第7题）
7.如图所示，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5，AC=4，若△ABC∽△ACD，则AD= ．
8.如图所示，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC.求：
（第8题）
（1）AB的长．
（2）CD的长．
（3）∠BAD的大小．
【答案】(1)∵△ABC∽△DAC,∴,解得AB=3.
(2)∵△ABC∽△DAC,∴，解得CD=.
(3)∵△ABC∽△DAC,∴∠B=∠DAC,∠BAC=∠D.又∵∠B=36°,∠D=107°,
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=107°+36°=143°.
9.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D.点E，F分别在AB，AC上，BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连结BG，EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形．
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
（第9题）
【答案】(1)∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF.∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF.
∵BE=AF，∴FG=BE.∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形.
(2)BE=3.6.
10.已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3，4，5，如果△DEF的周长为6，那么△DEF中某条边的边长不可能是(D).
A.1.5　　　　　　B.2　　　　　C.2.5　　　　D.3
11.如图所示，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(B).
A.(6，0）　　　　B.（6，3）　C.（6，5）　D.（4，2）
（第11题） （第12题） （第13题）（第14题）
12.如图所示，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止.点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是(A).
A.3s或4.8s　　　　B.3s　　　　C.4.5s　　　　　　　　D.4.5s或4.8s
13.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6，D为BC中点，E是线段AB上一动点，若△BDE∽△BAC，则BE= ．
14.如图所示，在长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是AB边上一点（不与点A，B重合），F是BC边上一点（不与点B，C重合）.若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF= 或 ．
15.如图所示，已知△ABG∽△FBD，F是AB的中点，求证：=．
（第15题）
【答案】∵△ABG∽△FBD，∴∠G=∠BDF.∴DF∥AG.∵F是AB的中点，∴DF是△ABG的中位线.∴BD=DG.又∵DF∥AG，∴=.∴=.
16.如图所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（第16题）
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC，CD，BD之间的数量关系．
【答案】(1)∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°.∴∠ACP=120°.∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B.∴∠APC+∠CPB=∠B+∠CPB.∴∠APB=∠ACP=120°.
(2)∵△ACP∽△PDB，∴AC∶PD=PC∶BD∴PD·PC=AC·BD.∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD.∴CD2=AC·BD.
17.如图所示，已知，在平面直角坐标系中有四点：A（-2，4），B（-2，0），C（2，-3），D（2，0），设P是x轴上的点，且PA，PB，AB所围成的三角形与PC，PD，CD所围成的三角形相似，请求出所有符合上述条件的点P的坐标．
（第17题）图1图2 图3
（第17题答图）
【答案】设OP=x（x＞0）.
(1)如答图1所示，若点P在AB的左边，有两种可能：
①若△ABP∽△PDC，则PB∶CD=AB∶PD，∴（x-2）∶3=4∶（x+2），解得x=4.∴点P的坐标为（-4，0）.
②若△ABP∽△CDP，则AB∶CD=PB∶PD，∴4∶3=（x-2）∶（x+2）,解得x=-14.不存在.
(2)如答图2所示，若点P在AB与CD之间，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB∶CD=BP∶PD，∴4∶3=（x+2）∶（2-x）, 解得x=.∴点P的坐标为（，0）.
②若△ABP∽△PDC，则AB∶PD=BP∶CD，∴4∶（2-x）=（x+2）∶3，方程无解.
(3)如答图3所示，若点P在CD的右边，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB∶CD=BP∶PD，∴4∶3=（2+x）∶（x-2）.∴x=14.∴点P的坐标为（14，0）.
②若△ABP∽△PDC，则AB∶PD=BP∶CD，∴4∶（x-2）=（x+2）∶3，∴x=4或x=-4(舍去).∴点P的坐标为（4，0）.
综上所述，点P的坐标为（，0），（14，0），（4，0），（-4，0）.
18.【曲靖】如图所示，若△ADE∽△ACB，且=23，DE=10，则BC= 15 .
（第18题） （第19题）
19.【齐齐哈尔】经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图所示，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 113°或92° .
20.如图所示，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1．
（1）若c=a1，求证：a=kc．
（2）若c=a1，试给出两组正整数a，b，c和a1，b1，c1使得△ABC和△
A1B1C1相似，并加以说明．
（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．
（第20题）
【答案】(1)∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，即a=ka1.∵c=a1，∴a=kc.
(2)取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2.此时===2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1.
(3)不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1.∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c.∴b=2c.∴b+c=2c+c＜4c.∵4c=a，∴b+c＜a，与b+c＞a矛盾.故不存在这样的△ABC和△A1B1C1.