2018-2019学年1.4二次函数的应用(3)同步练习（含答案）

1.4 二次函数的应用(3)
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0(或其他数值m)时，就成了一元二次方程ax2+bx+c=0(或m)，方程的解就是抛物线与x轴(或直线y=m)交点的横坐标.因此可利用二次函数的图象解一元二次方程或一元二次不等式.
1.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2-m+2018的值为(D).
A.2016 B.2017 C.2018 D.2019
2.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(A).
A.b＜1且b≠0 B.b＞1 C.0＜b＜1 D.b＜1
3.如图所示为二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是(D).
A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥3 D.x≤-1或x≥3
(第3题) (第5题)(第7题)
4.若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2，0)，则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为(A).
A.x1=0，x2=4 B.x1=-2，x2=6 C.x1=，x2= D.x1=-4，x2=0
5.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(3，0)，对称轴是直线x=1.当y＞0时，自变量x的取值范围是 x＜-1或x＞3 ．
6.已知抛物线y=x2-k的顶点为点P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是 3 ．
7.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a-2b+c的值为 0 ．
8.如图所示，已知二次函数y=x2-4x+3．
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况．
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．
(第8题)
【答案】(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=（x-2）2-1.∴顶点C的坐标是（2，-1）.当x≤2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大.
(2)令x2-4x+3=0，解得x1=3，x2=1.∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）.
∴S△ABC=AB×h=×2×1=1.
9.如图所示，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
(第9题)
(1)请直接写出点D的坐标．
(2)求二次函数的表达式．
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【答案】(1)D（-2，3）.
(2)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得,解得,∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.
(3)x<-2或x>1.
10.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1，0)，则方程ax2-2ax+c=0的解为(C).
A.x1=-3，x2=-1 B.x1=1，x2=3 C.x1=-1，x2=3 D.x1=-3，x2=1
11.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标为点C(1，k)，与y轴的交点B在(0，2)，(0，3)之间(不包含端点)，则k的取值范围是(C).
A.2＜k＜3 B. ＜k＜4 C. ＜k＜4 D.3＜k＜4
(第11题) (第12题) （第14题）
12.如图所示为二次函数y=x2+bx的图象，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是(C).
A.t≥-1 B.-1≤t＜3 C.-1≤t＜8 D.3＜t＜8
13.我们可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x-3=0的解，也可以画出抛物线y=x2-3和直线y=-x，用它们交点的横坐标来求该方程的解.所以求方程-x2+3=0的近似解可以利用熟悉的函数 y=和y=x2-3
的图象交点的横坐标来求得．
14.已知函数y=|x2-4|的大致图象如图所示，若方程|x2-4|=m(m为实数)有4个不相等的实数根，则m的取值范围是 0＜m<4 .
15.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【答案】(1)令y=x2-2mx+m2+3=0.∵Δ=（-2m）2-4×1×（m2+3）=4m2-4m2-12=-12＜0，
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3.把函数y=（x-m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）2的图象与x轴只有一个公共点(m,0).∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
16.已知y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点．
(1)求k的取值范围．
(2)若该函数图象与x轴有两个交点，且有k2-k=2．
①求k的值.
②作出该函数的草图，并结合函数图象写出当k≤x≤k+2时y的取值范围．
（第16题答图）
【答案】(1)当k=1时，y=-2x+3与x轴有交点，满足题意；当k≠1时，由题意得4k2-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2.综上可得，k的取值范围是k≤2.
(2)①∵函数图象与x轴有两个交点，∴k＜2且k≠1.∵k2-k=2，解得k=2或k=-1，∴k的值为-1.②将k=-1代入，得y=-2x2+2x+1=-2（x-）2+.图象如答图所示.当-1≤x≤1，根据图象得-3≤y≤.
17.【包头】已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系中，正确的是(D).
A.y1＞y2 B.y1≥y2 C.y1＜y2 D.y1≤y2
18.【仙桃】已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+ (m2+1)=0有实数根.
(1)求m的值.
(2)先作y=x2-(m+1)x+12(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后图象的表达式.
(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2-4n的最大值和最小值.
【答案】(1)对于一元二次方程x2-(m+1)x+ (m2+1)=0，Δ=(m+1)2-4× (m2+1)=-m2+2m-1=-(m-1)2，∵方程有实数根，∴-(m-1)2≥0.∴m=1.
(2)由(1)知y=x2-2x+1=(x-1)2，它的图象关于x轴的对称图形的函数表达式为y=-(x-1)2,∴平移后的表达式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
(3)由,消去y得到x2+6x+n+2=0，由题意知Δ≥0，∴36-4(n+2)≥0.∴n≤7.∵n≥m，m=1，∴1≤n≤7.令y′=n2-4n=(n-2)2-4，∴当n=2时，y′的值最小，最小值为-4，n=7时，y′的值最大，最大值为21.∴n2-4n的最大值为21，最小值为-4.
19.已知抛物线y=3ax2+2bx+c．
(1)若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴的交点坐标．
(2)若a=，c=b-2，证明抛物线与x轴有两个交点．
(3)若a=，c=b+2，且抛物线在-1≤x≤2区间上的最小值是-3，求b的值．
【答案】(1)当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x2+2x-1.∵方程3x2+2x-1=0的两个根为x1=-1，x2=，∴该抛物线与x轴交点的坐标是（-1，0）和（，0）.
(2)当a=，c=b-2时，抛物线为y=x2+2bx+b-2.令y=0，则x2+2bx+b-2=0，∴Δ=4b2-4b+8=（2b-1）2+7＞0，∴抛物线与x轴有两个交点.
(3)当a=，c=b+2时，抛物线为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为直线x=-b.当x=-b＜-1时，即b＞1，则有抛物线在x=-1时取最小值-3，此时-3=（-1）2+2×（-1）b+b+2，解得b=6，符合题意.当x=-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值-3，此时-3=22+2×2b+b+2，
解得b=-，不合题意，舍去.当-1≤-b≤2时，即-2≤b≤1，则有抛物线在x=-b时取最小值-3，此时-3=（-b）2+2×（-b）×b+b+2，解得b=（舍去），b=.综上可得，b=6或b=.