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3.5 圆周角(1)
学习目标 1．理解圆周角的概念． 2．经历探索圆周角定理的过程． 3．掌握圆周角定理和它的推论． 4．会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题．
学习过程
圆周角：
找一找：请找出图中所有的圆周角
想一想：一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种关系？请大家在练习本上画一画．
想一想：一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样的关系？请告诉大家你的数学猜想．
已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是多少度？
已知一条弧的度数为40°． 求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数．
1．如图所示，若AB是⊙O的直径，则半圆ADB所对的圆心角是哪一个角？角度是多少？ 2． 半圆ADB所对圆周角是哪一个角？ 3． ∠C是多少度？为什么？ 4． 若已知∠C是直角，能否说明AB是⊙O的直径？为什么？
推论
例1 等腰三角形ABC的顶角∠BAC为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，求，和的度数．
3．只给你一把三角尺，你能找出一个圆(如图)的圆心吗？试一试．
作业题
1．一条弧所对的圆心角的度数为95°．求这条弧的度数和这条弧所对的圆周角的度数．
2．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°．求∠OBC的度数．
3．如图，在⊙O中，∠AOC＝140°，∠ACB＝50°．求∠BAC的度数．
4．如图，C是上一点，∠AOB＝n°．求∠ACB的度数．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙的直径，∠ABC＝50°．求∠CAD的度数．
6．已知：如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D． 求证：AD＝DB．
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数学浙教版 九年级上
3.5 圆周角（1）
O
A
B
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
1、请说出圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角．
2、如图，已知∠AOB=80°，
①求AB弧的度数；
②延长AO交⊙O于点C，连结CB，
C
80°
圆周角：
则∠C与圆心角∠AOB有什么不同呢?
3.5 圆周角（1）
教学目标
1.理解圆周角的概念.
2.经历探索圆周角定理的过程.
3.掌握圆周角定理和它的推论.
4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.
重点与难点
本节教学的重点是圆周角定理.
圆周角定理的证明要分三种情况讨论，有一定的难度，是本节教学的难点.
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由．
找一找
请找出图中所有的圆周角
图中的圆周角有:
∠BAC ∠BAD ∠BDA
∠DBA ∠DAC
想一想
一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种关系？请大家在练习本上画一画．
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
D
D
圆周角∠BAC和圆心角∠BOC所对的弧分别是哪一条?
A
B
C
O
A
B
C
O
B
O
C
A
想一想：一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
探索研究：
如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样的关系？请告诉大家你的数学猜想．
命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：∠BOC,∠BAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角.
分析 由于圆心有在圆周角内、圆周角外和圆周角的一条边上三类情况，因此需分别对三类不同情况给出证明.
求证：∠BAC=∠BOC.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
证明(1)当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C.
∵∠BOC是△OAC的外角，
∴∠BOC=∠C+∠A=2∠A，
∴ ∠A=∠BOC．
A
B
C
O
证明(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时，
连结AO并延长，交⊙O于点D.
利用(1)的结果，
有∠BAD=∠BOD，
∠DAC=∠DOC,
∴ ∠BAD+∠DAC=(∠BOD+∠DOC),
∴ ∠BAC=∠BOC．
D
A
B
C
O
证明(3)当圆心O在圆周角∠BAC的外部时，
连结AO并延长，交⊙O于点D.
利用(1)的结果，
有∠DAC=∠DOC，
∠DAC=∠DOB，
∴ ∠DAC-∠DAB=(∠DOC-∠DOB)．
∴ ∠BAC=∠BOC．
D
B
O
C
A
已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是多少度？
答案:100°.
已知一条弧的度数为40°. 求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
答案:圆心角为40°,圆周角为20°.
?
1.如图所示，若AB是⊙O的直径，则半圆ADB所对的圆心角是哪一个角？角度是多少？
答：∠AOB，180°.
2. 半圆ADB所对圆周角是哪一个角？
答：∠C.
3. ∠C是多少度？为什么？
答：∠C=90°，一条弧所对的圆周角
等于它所对圆心角的一半.
由此我们得到圆周角定理的一个推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角.
90°的圆周角所对的弦是直径.
4. 若已知∠C是直角，能否说明AB是⊙O的直径？为什么？
答：若已知∠C是直角，则∠AOB=180°，所以点A,O,B在一条直线上，AB是⊙O的直径.
例1 等腰三角形ABC的顶角∠BAC为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数．
A
B
C
D
E
证明 如图，连结BE,AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°
(直径所对的圆周角是直角).
∵∠BAC=50°，
∴∠ABE=90-∠BAC=90-50=40°.
又∵△ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC=∠C===65°，
∠BAD=∠CAD=∠BAC=×50°=25°．
由圆周角定理，得BD=2∠BAD=2×25°=50°，
DE=2∠CAD=2×25°=50°，AE=2∠ABE=2×40°=80°．
A
B
C
D
E
3.只给你一把三角尺,你能找出一个圆（如图）的圆心吗？试一试.
答案:能.利用“90°的圆周角所对的弦是直径”画出两条不同的直径,交点即为圆心.
小结
说一说你今天学习了哪些知识
谢谢
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1．一条弧所对的圆心角的度数为95°．求这条弧的度数和这条弧所对的圆周角的度数．
解：这条弧的度数为95°，弧所对的圆周角的度数为47.5°．
2．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°．求∠OBC的度数．
解：∠BOC＝80°．
在△OBC中，OB＝OC，
∴∠OBC＝50°．
3．如图，在⊙O中，∠AOC＝140°，∠ACB＝50°．求∠BAC的度数．
解：由∠ACB＝50°．得∠AOB＝100°．
∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝140°－100°＝40°，
∴ BAC＝20°．
4．如图，C是上一点，∠AOB＝n°．求∠ACB的度数．
解：＝n°，则＝360°－n°，∴ ∠ACB＝180°－．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙的直径，∠ABC＝50°．求∠CAD的度数．
解：∵ ∠ABC＝50°，∴ ＝100°．
又AD是⊙O的直径，
∴ ＝180°，＝－＝180°－100°＝80°．
∴ ∠CAD＝40°．
6．已知：如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D．
求证：AD＝DB．
证明：如图，连结OD．
∵ OA是⊙C的直径，
∴ ∠ODA＝Rt∠，
即OD⊥AB，
∴ AD＝DB．
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