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3.5 圆周角(2)
学习目标 1．经历探索圆周角定理的另一个推论的过程． 2．掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等． 3．会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题．
学习过程
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 几何语言： 100°的弧所对的圆心角等于______ ，所对的圆周角等于______．
问题1 如左图，在⊙O中，∠B，∠D，∠E的大小有什么关系？为什么？ 结论：
做一做 找出图中相等的角．
例2 已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝2∠ABC，点D平分弧AB．求证：AC＝BD．
例3 船在航行过程中经常会遇到暗礁区域，船长常常通过某种方法来确定船的位置，来判定是否会进入暗礁．如图A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点， ∠ACB就是“危险角”，若∠ACB ＝50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m．测得圆周角∠C＝45°，求这个人工湖的直径．
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
已知：四边形ABCD内接于圆，BD平分∠ABC，且AB∥CD．求证：BC＝CD．
如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，延长AG，与DC的延长线相交于点F，连接AD，GD，CG，找出图中所有和∠ADC相等的角，并说明理由．
如图，ABC内接于圆，AB＝AC，的度数为60°．求∠B，∠C的度数．
已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．求证：＝．
已知：如图，CD，AB是⊙O的两条弦，＝． 求证：CD∥AB．
已知：如图，在⊙O中，AB＝CD．求证：∠ABD＝∠CDB．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，GD．找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
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数学浙教版 九年级上
3.5 圆周角(2)
3.5 圆周角(2)
教学目标
1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过程．
2.掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．
3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题．
重点和难点
本节教学的重点是圆周角定理的另一个推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．”
例3涉及圆内角，圆外角与圆周角的关系，思路较难形成，表述也有一定的困难，是本节教学的难点．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
即 ∠B= ∠AOC AC
圆周角等于它所对的弧度数的一半.
100°的弧所对的圆心角等于______ ，
所对的圆周角等于______．
100°
50°
A
B
C
O
∠B=∠D=∠E
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
A
B
C
D
E
F
若AB=CD，那么∠E=∠F吗？
O
B
A
C
D
E
问题1 如左图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?
做一做 找出图中相等的角．
A
B
C
D
O
例2 已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分弧AB．求证：AC=BD.
证明 如图，连结CD.
∵AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB(在同圆
或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等).
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BCD.
∴AC=BD(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等)，
∴AC=BD.
A
B
C
D
O
C
A
B
S
E
A
B
C
S
D
例3: 船在航行过程中经常会遇到暗礁区域，船长常常通过某种方法来确定船的位置，来判定是否会进入暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，若∠ACB =50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?
A
B
C
O
D
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°,求这个人工湖的直径.
A
B
C
O
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
如图：在圆中，AB∥CD，
求证：AC=BD．
证明：∵ AB∥CD，
∴ ∠1=∠2，
∴ AC=BD．
已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD．
证明：∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD．
又∵ AB∥CD，
∴ ∠ABD=∠BDC，
∴ ∠CBD=∠BDC，
∴ BC=CD．
A
B
C
D
O
如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是AC上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
A
B
D
G
F
C
E
O
⌒
小 结
如图，ABC内接于圆，AB=AC，BC的度数为60°.求∠B，∠C的度数.
解：∵ ∠A=BC=×60°=30°，
∴ ∠B+∠C=180°-∠A=150°.
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
∴ ∠B=∠C=75°．
C
B
A
已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行.
求证：CD=BD.
证明：连结OC．
∵ AC∥OD，
∴ ∠CAO=∠DOB，∠ACO=∠COD.
又∵ OA=OC，
∴ ∠CAO=∠ACO，
∴ ∠COD=∠DOB，
∴ CD=BD.
B
A
O
D
C
已知：如图，CD，AB是⊙O的两条弦，AD=BC．
求证：CD∥AB．
证明：连接AC，
∵ AD=BC，
∴ ∠ACD=∠CAB，
∴ CD∥AB．
A
B
C
D
O
已知：如图，在⊙O中，AB=CD．
求证：∠ABD=∠CDB．
证明：∵ AB=CD，
∴ AB=CD，
∴ AB-AC=CD-AC，
即BC=AD．
∴ ∠ABD=∠CDB．
O
E
D
C
B
A
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上任意一点，连结AD,GD．找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
解：∠AGD=∠ADC．证明如下：
∵ 直径AB⊥CD，
∴ AD=AC，
∴ ∠AGD=∠ADC．
A
O
G
E
C
B
D
谢谢
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