中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 三角形的初步认识培优卷（参考答案）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D B D A C D B
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 两个角相等 这两个角的余角相等
12．11
13．①②④
14．8
15．3
16．＋
17．201
18．15；95
三、解答题（本题有7题，共46分）
19．解：(1)反例：如a＝3，b＝－2．
∵a＋b＝3＋(－2)＝1＞0，
ab＝3×(－2)＝－6＜0，
∴原命题是假命题．
(2)反例：如a＝，b＝－，
∵a＋b＝＋(－)＝0，0是有理数．
∴原命题是假命题．
20．(1)正确．
∵对于0到9的数的平方的末位数字只能为0，1，4，5，6，9，
∴对于所有的自然数n，n2的末位数字都不是2．
(2)正确．
∵n2＋n＝n(n＋1)，即n2＋n的值为任意两个连续自然数的积，
∴n2＋n的值都是偶数．
21．解：(1)
图形编号 (1) (2) (3) (4) (5) …
三角形个数 1 5 9 13 17 …
(2)4n－3
22．解：∵∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB．
又∵∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)
＝180°－(180°－∠A)＝60°＋∠A．
∵∠BDC＝α＋∠A，∴α＝60°．
23．解：(1)∵ ∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°．
∵ △DEC是等边三角形，
∴ ∠DCE＝60°，
∴ ∠BCE＝15°，
∴ ∠BEC＝75°，
∵ △DEC是等边三角形，
∴ ∠DEC＝60°，
∴ ∠AED＝180°－75°－60°＝45°．
(2)过D作DH⊥BC于点H，则DH＝AB，
可以证明△EBC≌△CHD(AAS)，
∴ DH＝BC，
∴ AB＝BC．
24．解：(1)SSS
(2)小聪的作法正确．理由如下：
∵PM⊥OM ， PN⊥ON，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°．
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∵OP＝OP，OM＝ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)．
∴∠MOP＝∠NOP．
∴OP平分∠AOB．
(3)如图所示．
步骤：①利用刻度尺在OA，OB上分别截取OG＝OH；
②连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q；
③作射线OQ．则OQ为∠AOB的平分线．
25．解：(1)∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．理由：
如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．
故答案为：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；
(2)仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF；
(3)∠EAF＝180°﹣∠DAB．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AB＝AD，
∴△ADG≌△ABE(SAS)，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，
∴2∠FAE＋(∠GAB＋∠BAE)＝360°，
∴2∠FAE＋(∠GAB＋∠DAG)＝360°，
即2∠FAE＋∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 三角形的初步认识培优卷（答题卷）
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．__________________________________
12．__________________________________
13．__________________________________
14．__________________________________
15．__________________________________
16．__________________________________
17．__________________________________
18．__________________________________
三、解答题（本题有7题，共46分）
19．
20．
21．
22．
23．
24．
25．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 三角形的初步认识培优卷
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 三角形内到三条边的距离相等的点是（ ）
A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三条高的交点
C．三角形的三条中线的交点 D．以上答案都不正确
2．用9根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． 要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上(如图)，可以证明△ABC≌△EDC，得ED＝AB，因此，测得DE的长就是AB的长．在这里判定△ABC≌△EDC的条件是（ ）
A．ASA B．SAS
C．SSS D．以上答案均不正确
4． 如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
5． 如图所示，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
6． 在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7． 如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于（ ）
A．585° B．540° C．270° D．315°
8． 已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2－2ab＋b2－c2的值（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
9． 1883年，康托尔构造的一个图形，称其为康托尔集，从数轴的单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶线，然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶线，无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称为康托尔集．下图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A，D，C三点，且a∥b∥c．若直线a与直线b之间的距离是4，直线b与直线c之间的距离是8，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．70 B．74 C．80 D．144
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．把“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是______________________________，它的条件是______________________________，结论是______________________________．
12．现有若干个三角形，在所有的内角中，有6个钝角，3个直角，51个锐角，则有__________个锐角三角形．
13．在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC．能得出△ADB≌△ADC的序号是___________________．
14．已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝__________．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如图．若EF＝5 cm，则AE＝__________cm．
16．如图，AM是△ABC的中线，设向量＝，＝，则＝＋，那么向量＝____________(结果用、表示)．
17．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________．
18．如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，E、F分别在边AC和AB上，∠BFE与∠BCD的平分线相交于点P，若∠B＝80°，∠FEC＝70°，则∠1－∠2＝__________°；∠P＝__________°．
三、解答题（本题有7题，共46分）
19．(4分)试举反例说明下列命题是假命题．
(1)如果a＋b＞0，那么ab＞0；
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么a＋b是无理数．
20．(4分)下列判断是否正确，为什么？
(1)对于所有的自然数n，n2的末位数字都不是2．
(2)对于所有的自然数n，n2＋n的值都是偶数．
21．(6分)如图，(1)是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图(2)，再分别连结图(2)中的小三角形三边的中点，得到图(3)，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形的个数的规律，完成下列问题．
(1)将下表填写完整：
图形编号 (1) (2) (3) (4) (5) …
三角形个数 …
(2)根据上表中的规律，试猜测在第(n )个图形中有多少个三角形(用含n的代数式表示)．
22．(6分)如图所示，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，若∠BDC＝α＋∠A，求α．
23．(8分)如图，四边形ABCD中，∠BCD＝75°，∠ABC＝90°，AD∥BC，点E为AB上一点，△DEC为等边三角形．
(1)求∠AED的度数；
(2)求证：AB＝BC．
24．(8分)在探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON；
②分别过M，N作OM，ON的垂线，交于点P；
③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__________；
(2)小聪的作法正确吗？请说明理由；
(3)小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．(要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明)
25．(10分)【初步探索】
(1)如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE＋FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__________；
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE＋FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE＋FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
