第3章 三视图与表面展开图
3.1 投影(1)(见A本67页)
A 练就好基础 基础达标
1．下列现象中不属于投影的是( D )
A．皮影 B．树影 C．手影 D．画素描
2．墨墨在操场上练习双杠的过程中发现双杠的两横杠在地上的影子( C )
A．相交 B．互相垂直 C．互相平行 D．无法确定
3．如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间做了猜测．根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是( C )
第3题图
A．小明：早上8点
B．小亮：中午12点
C．小刚：下午5点
D．小红：什么时间都行
4．某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为0.8 m，旗杆的影子长为7 m．已知他的身高为1.6 m，则旗杆的高度为__14__m.
5．如图所示，当太阳光与地面成55°角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.16 m，则玲玲的身高约为__1.66__m．(结果精确到0.01 m，tan 55°≈1.43)
第5题图
6．阳光将一块与地面平行的矩形木块投射到地面，形成一块投影．当阳光照射角度不断变化时，这块投影的面积__变化__．(填“不变”或“变化”)
7．如图所示，小鼠明明在迷宫中寻找奶酪，当它分别在A，B位置时未发现奶酪，等它走到C处，终于发现了，请指出奶酪可能所在的位置．(用阴影表示)
第7题图
解：
第7题答图
8．如图所示，BE是小木棒AB在太阳光下的影子，CD是离墙MN不远的电线杆，请画出电线杆在太阳光下的影子．如果小木棒高AB＝1.2 m，它的影子BE＝1.5 m，电线杆高CD＝4 m，电线杆离墙DN＝2 m，那么电线杆在墙上的影子有多高？
第8题图
第8题答图
解：电线杆CD在太阳光下的影子交墙MN于点G.GN为电线杆在墙上的影子，DN为电线杆在地上的影子．
由题意易证知△ABE∽△CFG，
∴＝，∴＝，
∴CF＝1.6 m.
∴GN＝CD－CF＝4－1.6＝2.4 (m)．
即电线杆在墙上的影子高为2.4 m.
B 更上一层楼 能力提升
9．下列命题中，真命题有( A )
①正方形的平行投影一定是菱形．
②平行四边形的平行投影一定是平行四边形．
③三角形的平行投影一定是三角形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图所示，学校进行撑竿跳高比赛，要看横杆AB的两端和地面的高度AC，BD是否相同，小明发现这时AC，DB在地面上的影子的长度CE，FD相等，于是他就断定木杆两端和地面的高度相同．他说的对吗？为什么？
第10题图
解：对．∵AC，BD均与地面垂直，AC，DB在地面上的影子的长度CE＝FD，且AE∥BF，∴易证△AEC≌△BFD，∴AC＝BD，即木杆两端和地面的高度相同．
11．如图所示，某学校旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为2 m，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为11 m．一天小明观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得1 m长的标杆的影长为1.2 m，求旗杆AB的高度．
第11题图
第11题答图
解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，∴四边形AEDF是矩形，AF＝DE，DF＝AE，
设半圆圆心为O，连结OD，
∵点D在11点的刻度上，
∴∠COD＝60°，
∴DE＝OD·sin 60°＝2×＝，OE＝OD(cos 60°＝1，
∴CE＝2－1＝1(m)，∴DF＝AE＝11＋1＝12(m)，
∵同时测得一米长的标杆的影长为1.2 m，
∴＝，∴BF＝10，∴AB＝AF＋BF＝DE＋BF＝ m.
即旗杆AB的高度为(10＋) m.
C 开拓新思路 拓展创新
12．2017·碑林一模在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°(∠MON＝30°)，站立在水平地面上身高1.7米的小明AB在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米．求大树的高度．
第12题图
解：过点Q作QE⊥DC于点E，
第12题答图
由题意可得△ABP∽△CEQ，
则＝，故＝，
可得EQ∥NO，
则∠1＝∠2＝30°，
∵QD＝5米，
∴DE＝米，EQ＝米，
故＝＝，
解得EC＝，
故CE＋DE＝＋＝米，
即大树的高度为米．
投影(2)
(见B本67页)
A 练就好基础 基础达标
1．教室内电子白板的投影是( B )
A．平行投影 B．中心投影
C．平行投影或中心投影 D．以上均不是
2．如图所示，灯光与物体的影子的位置最合理的是( B )
A． B． C． D.
3．如图所示，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( C )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
第3题图
第4题图
4．如图所示，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形A′B′C′D′.若AB∶A′B′＝1∶2，则四边形ABCD的面积∶四边形A′B′C′D′的面积为( D )
A. 4∶1 B. ∶1 C. 1∶ D. 1∶4
5．同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( D )
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
6．太阳光在地面上的投影是__平行__投影，白炽灯在地面上的投影是__中心__投影．
7．如图所示，一块直角三角板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12 cm，AC＝8 cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24 cm，则A1B1长为__8__ cm.
第7题图
8．如图(a)(b)分别是两棵树及其在太阳光或路灯下影子的情形．
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？你是用什么方法进行判断的？
(2)请画出图中表示小丽影长的线段．
图(a) 图(b)
第8题图
解：(1)图(a)是太阳光形成的，图(b)是路灯灯光形成的．
太阳光是平行光线，物高与影长成正比．
(2)所画图形如图所示：
第8题答图
9．如图所示，小华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m．已知小华的身高是1.5 m，求路灯A的高度AB.
第9题图
解：设AB＝h(m)，BC＝x(m)．由题意可得△GCD∽△ABD，△HEF∽△ABF，∴＝，＝.
∵HE＝GC＝1.5 m，CD＝1 m．BD＝(x＋1)m，BF＝(x＋5)m，
EF＝2 m.
∴解得
∴路灯A的高度AB为6 m.
B 更上一层楼 能力提升
10．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是( D )
A．线段
B．与原三角形全等的三角形
C．变形的三角形
D．点
第11题图
11．永州中考如图所示，圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是( D )
A．0.324 π m2 B．0.288 π m2
C．1.08 π m2 D．0.72 π m2
12．要在宽为28 m的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为3 m，且与灯柱成120°角(如图)，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中点时，照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果(精确到0.01 m，≈1.732)?
第12题图
解：灯柱高为×－3×≈18.25(m)．
C 开拓新思路 拓展创新
13．如图所示，灯在距地面3 m的A处，现有一木棒长2 m，当B处木棒绕其与地面的固定端点
顺时针旋转到地面，其影子的变化规律是( A )
第13题图
A．先变长，后变短
B．先变短，后变长
C．不变
D．先变长，再不变，后变短
14．如图所示，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4 m，BC＝(4－2) m，则电线杆AB的长为多少米？
第14题图
解：延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F.
第14题答图
∵∠DCF＝45°.CD＝4.∴CF＝DF＝2.
由题意知AB⊥BC.
∴∠EDF＝∠A＝60°.∴∠DEF＝30°
∴EF＝2.
∴BE＝BC＋CF＋FE＝6.
在Rt△ABE中，∠E＝30°.
∴AB＝BEtan 30°＝6×＝6(m)．
答：电线杆AB的长为6米．
简单几何体的三视图(1)
(见A本69页)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示中几何体的俯视图是( B )
第1题图 A． B． C． D.
2．小明的父亲生日，小明送给父亲一个礼盒(如图所示)，该礼盒的主视图是( A )
第2题图 A． B． C． D.
第3题图
3．2017·丽水中考如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是( B )
A．俯视图与主视图相同
B．左视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．三个视图都相同
第4题图
4．由6个大小相同的立方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说法正确的是( C )
A．主视图的面积最大
B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大
D．三个视图的面积一样大
5．潍坊中考如图所示的几何体的左视图是( C )
第5题图
A． B． C． D.
6．一个几何体的三视图如图所示，则几何体是__圆柱体__．
第6题图
第7题图
7．如图所示是由六个棱长为1的立方体组成的几何体，其俯视图的面积是__5__．
8．画出图中由几个立方体组成的几何体的三视图．
第8题图
解：三视图如图：
第8题答图
第9题图
9．如图所示是由相同的5个小立方体组成的几何体，请画出它的三种视图(比例为1∶1)；若每个小立方体的棱长为a，试求出该几何体的表面积．
解：主视图如图所示．表面积：4a2×2＋3a2×4＝20a2.
第9题答图
B 更上一层楼 能力提升
10．如图所示，该几何体的左视图是( C )
第10题图 A． B． C． D.
第11题图
11．菏泽中考如图所示是由6个同样大小的立方体摆成的几何体．将立方体①移走后，所得几何体( D )
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
12．一个几何体是由一些大小相同的小立方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小立方体最少有__5__个．
第12题图
13．有一个几何体的形状为直三棱柱，如图是它的主视图和左视图．
(1)请补画出它的俯视图，并标出相关数据；
(2)根据图中所标的尺寸(单位： cm)，计算这个几何体的表面积．
第13题图
解：(1)如图：
第13题答图
(2)由勾股定理，得斜边长为10 cm，
S底＝×8×6＝24(cm2)，
S侧＝(8＋6＋10)×3＝72(cm2)，
S表＝72＋24×2＝120(cm2)．
14．如图所示是由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图，求组成几何体的小立方体个
数的最大值与最小值．
第14题图
解：12个，7个
C 开拓新思路 拓展创新
15．一个长方体主视图是边长为1 cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形，那么这个长方体的俯视图是( D )
A． B． C． D.
16．有一个立方体，在它的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察此立方体，观察结果如图所示．问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字？
第16题图
解：从前两个小立方体上的数字可知，与写有数字1的面相邻的面上的数字是2，3，4，6，所以数字1的对面是数字5，从后两个小立方体上的数字可知：数字3的对面数字是6，数字2的对面数字是4.
简单几何体的三视图(2)
(见B本69页)
A 练就好基础 基础达标)
1．如图所示，物体的主视图是( D )
第1题图 A． B． C． D.
2．如图所示的几何体的主视图是( D )
第2题图
A． B． C． D.
3．如图所示，1，2，3，4，T是五个完全相同的立方体，将两部分构成一个新的几何体得到其主视图，则应将几何体T放在( D )
第3题图
A．立方体1的上方
B．立方体2的左方
C．立方体3的上方
D．立方体4的上方
第4题图
4．如图所示，由四个相同的小立方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是( A )
A B C D
5．如图所示是由五个相同的立方体堆成的几何体，则它的俯视图是__①____．(填序号)
第5题图
6．指出下列立体图形的对应的俯视图，在图下面的括号里填上对应的字母．
A B C D
第6题图
7．如图所示，下列四个几何体中，它们各自的三视图(主视图、左视图、俯视图)有两个相同，而另一个不同的几何体是__①③__．(把所有符合条件的几何体的序号都写上)
第7题图
8．如图所示，正方形ABCD的边长为3 cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的周长是__18__cm.
第8题图
9．画出图所示中几何体的三视图．(比例为1∶1)
第9题图
解：主视图、左视图、俯视图依次为：
第9题答图
B 更上一层楼 能力提升
10．如图所示是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小立方体最多块数是( C )
第10题图
A．8 B．10 C．12 D．14
11．如图所示是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据，这个长方体的体积是__24__cm3.
第11题图
12．若立方体的棱长为1 m，在地面上摆成如图所示的几何体．
(1)写出它的俯视图的名称；
(2)求第四层时几何图形的表面积．
第12题图
解：(1)它的俯视图是边长为4 m的正方形．
(2)S＝(1＋2＋3＋4)×12×4＋4×4＝40＋16＝56(m2)．
13．如图所示的几何体为圆台，按比例1∶1作出该几何体的三视图．
第13题图
解：主视图、左视图、俯视图依次为：
第13题答图
C 开拓新思路 拓展创新
14．房地产开发商在宣传介绍它的房屋室内结构时，会发给客户有关的宣传单．下面的房间结构图是我们所说的( C )
第14题图
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．以上三种都不是
15．如图1是一块带有圆形空洞和正方形空洞的小木板，从图2的四个物体中选出既可以堵住圆形空洞，又可以堵住正方形空洞的物体，并计算其体积(结果保留π)( B )
第15题图
A．① 1000π B．② 2000π
C．③ 3000π D．④ 4000π
【解析】 圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的主视图以及左视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故选圆柱，π×102×20＝2000π.故选B.
简单几何体的三视图(3)
(见A本71页)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示是一个螺母的示意图，它的俯视图是( B )
第1题图
A． B． C． D.
2．2017·贵阳中考如图所示，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图是( D )
第2题图
A． B． C． D.
3．如图所示物体的左视图为( A )
第3题图 A． B． C． D.
第4题图
4．如图是由相同小立方体搭的几何体的俯视图(小正方形中所标的数字表示在该位置上立方体的个数)，则这个几何体的左视图是( C )
A． B． C． D.
5．2017·鞍山中考如图所示几何体的左视图是( C )
第5题图
A． B． C. D.
第6题图
6．潍坊中考如图所示，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是( C )
A． B． C． D.
7．按合适的位置放置，得到的主视图与左视图相同，而俯视图不同的两个几何体可能是 答案不唯一，如圆锥和圆柱 ．
第8题图
8．在画如图所示的几何体的三视图时，我们可以把它看成__圆锥__和__圆柱__的组合体．
9．如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图(等腰梯形)．
(1)根据图中所给数据，可得俯视图(等腰梯形)的高为__4__．
(2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长．
第9题图
解：(1)如图(1)，作AE⊥BC于点E，则BE＝(8－2)÷2＝3，
∴高AE＝＝4.故答案为4.
(2)如图(2)所示．
图(1) 图(2)
第9题答图
10．按比例1∶1作出如图所示几何体的三种视图．
第10题图
解：主视图、左视图、俯视图依次为：
第10题答图
B 更上一层楼 能力提升
11．将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示)，它的主视图是( A )
第11题图 A． B． C． D.
12．如图所示是某几何体的左视图和俯视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为( B )
第12题图
A．236 π B．136 π C．132 π D．120 π
13．如图所示是一个组合几何体和它的两种视图．
(1)在横线上填写出两种视图名称；
第13题图
(2)根据两种视图中的尺寸(单位： cm)，计算这个组合几何体的表面积．(π取3.14，精确到0.1 cm2)
解：(1)主 俯
(2)表面积＝2×(8×5＋8×2＋5×2)＋4×3.14×6＝207.36≈207.4(cm2)．
14．一张桌子上摆放若干个碟子，从三个方向上看，三种视图如图所示，则这张桌子上共有碟子__12__个．
第14题图
C 开拓新思路 拓展创新
15．课桌上按照图的位置放着一个暖水瓶、一只水杯和一个乒乓球．小明从课桌前走过(图中虚线箭头的方向)，下图描绘的是他在不同时刻看到的情况，请对这些图片按照看到的先后顺序进行排序，正确的顺序是：__B_A_C_D__．
第15题图 A B C D
16．如图所示的上、下底面全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形．如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带的长度至少为多少厘米？(不计接缝，结果保留准确值)
第16题图
第16题答图
解：如图所示，六边形ABCDEF为礼盒的俯视图，连结AD，BE交于点O，则点O为六边形ABCDEF的中心．
∴∠AOB＝60°，又AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°.
即△AOB为等边三角形，
过点A作AG⊥BO并延长AG交BE于点G，
∴BG＝BO，
∵BE＝60 cm，则BO＝30 cm，
BG＝15 cm，AB＝BO＝30 cm.
又∵AG平分∠BAO，
∴∠BAG＝∠OAG＝30°，
∴AG＝AB·cos 30°＝15 cm，
∴AC＝2AG＝30 cm，
胶带的长至少为：30×6＋15×6＝(180＋90)cm.
由三视图描述几何体
(见B本71页)
A 练就好基础 基础达标
1．某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是( C )
A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
第1题图 第2题图
2．如图所示是由一些棱长为1 cm的立方体堆积在桌面形成的几何体的三视图，则该立方体的体积是( C )
A．3 cm3 B．4 cm3 C．5 cm3 D．6 cm3
3．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体是( B )
A．三棱锥 B．三棱柱 C．正方体 D．长方体
第3题图
第4题图
4．2017·绵阳中考如图所示的几何体的主视图正确的是( D )
A． B． C． D.
5．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据(单位： cm)可求得这个几何体的体积为( A )
A．4π cm3 B．8π cm3 C．16π cm3 D．32π cm3
第5题图
第6题图
6．如图所示是一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，那么这个立体图形是( D )
A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱锥
7．下面说法中错误的是( D )
A．一个平面截一个球，得到的截面一定是圆
B．一个平面截一个立方体，得到的截面可以是五边形
C．棱柱的截面不可能是圆
D．圆锥的左视图是等腰三角形
8．由若干个同样大小的立方体堆积成一个实物，不同方向观察到如图所示的投影图，则构成该实物的小立方体个数为__7__．
第8题图
9．如图所示是某立体图形的三种视图，请填出它的名称：__正六棱柱__．
第9题图
10．已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为圆、等腰三角形、等腰三角形，则该几何体是__圆锥__．
B 更上一层楼 能力提升
11．2017·黔南州中考我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的
第11题图
计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个立方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( B )
A． B． C． D.
12．如图所示是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝____．
第12题图
13．一个底面为正六边形的直六棱柱的主视图和俯视图如图所示，求其左视图的面积．
第13题图
第13题答图
解：直六棱柱的左视图和主视图的高相同，则高是4，如图，根据俯视图和正六边形的性质，可得AC＝2，作CE⊥AB于点E，则∠CAE＝60°，CE＝AC×sin 60°＝，左视图的宽应该为2，则左视图的面积为4×2＝8.
14．由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，求x，y的值．
第14题图
解：x为1或2，y为3
C 开拓新思路 拓展创新
15．2017·益阳中考如图所示，空心卷筒纸的高度为12 cm，外径(直径)为10 cm，内径为4 cm，在比例尺为1∶4的三视图中，其主视图的面积是( D )
第15题图
A. cm2 B. cm2 C．30 cm2 D．7.5 cm2
【解析】 12×＝3(cm)，
10×＝2.5(cm)，
3×2.5＝7.5(cm2)．
故选D.
16．如图所示(1)是一个水平摆放的小立方体木块，图(2)(3)是由这样的小立方体木块按一定的规律叠放而成的．其中图(1)的主视图有1个正方形，图(2)的主视图有4个正方形，图(3)的主视图有9个正方形，按照这样的规律继续叠放下去，则图(10)的主视图有__100__个正方形．
第16题图
17．如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是( A )
第17题图
A． B． C． D.
简单几何体的表面展开图(1)
(见A本73页)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示是某个几何体的展开图，这个几何体是__三棱柱__．
第1题图
第2题图
2．如图所示是立方体的一种平面展开图，已知c在右面，a在上面，b在前面，则e在__下__面，d在后面，f在左面．
第3题图
3．如图所示，将7个正方形中的1个去掉，就能成为一个正方体的展开图，则去掉的是__6或7__.
4．2017·齐齐哈尔中考一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多由a个小立方体组成，最少由b个小立方体组成，则a＋b等于( C )
第4题图
A．10 B．11 C．12 D．13
5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其展开图正确的为( B )
第5题图 A． B． C． D.
第6题图
6．如图所示是一个立方体的表面展开图，把展开图折叠成立方体后，“你”字一面相对面上的字是( D )
A．我 B．中 C．国 D．梦
7．2017·常德中考如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( B )
第7题图
A． B． C． D.
8．如图所示是一个立方体纸巾盒，它的平面展开图是( B )
第8题图
A． B． C． D.
9．一个几何体的展开图如图所示，则该几何体的顶点有( C )
第9题图
A．10个 B．8个 C．6个 D．4个
10．下列图形中可以折成立方体的是( B )
A． B． C． D.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示是一立方体的平面展开图，若AB＝4，则该立方体A，B两点间的距离为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
第11题图
第12题图
12．如图所示，是三棱柱的表面展开示意图，则AB＝__4__，BC＝__5__，CD＝__6____，BD＝__4__，AE＝__8__．
13．在如图所示的立方体的平面展开图中，确定立方体上的点M，N的位置．
第13题图
解：如图所示．
第13题答图
14．如图是一个食品包装盒的侧面展开图．
(1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称；
(2)请根据图中所标的尺寸，计算此包装盒的表面积和体积．
第14题图
解：(1)此包装盒是一个长方体．
(2)此包装盒的表面积为2×b2＋4×ab＝2b2＋4ab；体积为ab2.
15．如图所示是一个三级台阶，它的每一级台阶的长、宽和高分别等于5 cm、3 cm和1 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点．A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．求这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短线路长．
第15题图
解：将台阶展开，如图，
第15题答图
∵AC＝3×3＋1×3＝12 cm，BC＝5 cm，
∴AB2＝AC2＋BC2＝169，
∴AB＝13 cm，
即蚂蚁爬行的最短线路为13 cm.
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，有一个长、宽、高分别为50 cm、40 cm、30 cm的木箱，将一根木棒放入木箱中，木棒最长为__50__cm.
第16题图
17．棱长为a的立方体摆放成如图所示的形状．
依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．
第17题图
解：6×(1＋2＋3＋…＋20)·a2＝1260a2.
故该物体的表面积为1260a2.
简单几何体的表面展开图(2)
(见B本73页)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示是某几何体的三视图，其侧面积为__6π__．
2．用一个边长为4 cm的正方形折叠围成一个四棱柱的侧面，若该四棱柱的底面是一个正方形，则此正方形边长为__1__ cm.
第1题图
第4题图
3．用一个宽4 cm、长7cm的矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为__28_cm2__．
4．如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度的取值范围为__12≤a≤13__．(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)
5．如图所示的展开图不可能拼成的立方体是( B )
第5题图
A． B． C． D.
6．如图所示，从棱长为10的立方体的一顶点处挖去一个棱长为1的小立方体，则剩下图形的表面积为( A )
第6题图
A．600 B．599 C．598 D．597
7．一个物体的三视图如图所示，则根据图中标注的尺寸，此物体的全面积为( B )
第7题图
A．(12＋12) cm2 B．(12＋72) cm2
C．(6＋12) cm2 D．(6＋72) cm2
8．如图所示是一个正六棱柱的主视图和左视图，则正六棱柱的侧面积为( C )
第8题图
A．24 B. C．36 D．1
9．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为__24_π__．
第9题图
第10题图
10．如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ cm，高BC＝12 cm，P为BC的中点，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．
第10题答图
解：圆柱的侧面展开图如图，
∵圆柱底面直径AB＝ cm，高BC＝12 cm，P为BC的中点，
∴圆柱底面圆的半径是 cm，BP＝6 cm，
∴AB＝π×＝8 (cm)，
在Rt△ABP中，AP＝＝10 (cm)．
即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10 cm.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( A )
A．13 cm B．2 cm
C. cm D．2 cm
第11题图
第12题图
12．如图所示，在一个棱长为10 cm的立方体中挖去一个底面半径为3 cm的圆柱形小孔，这个物体的表面积约为__732__cm2.(保留整数)
13．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝2 cm，AD＝6 cm，求分别以AB，AD所在的直线为轴旋转后所得圆柱的侧面积．
第13题图
解：依题意可知，分两种情况：
(1)以AB所在的直线为轴旋转后所得圆柱的底面半径为BC，圆柱的底面周长为6×2π＝12π(cm)，侧面积为 12π×2＝24π(cm2)．
(2)以AD所在的直线为轴旋转后所得圆柱的底面半径为AB，圆柱的底面周长为2×2π＝4π(cm)，侧面积为 4π×6＝24π(cm2)．
所以以AB，AD所在直线为轴旋转后所得圆柱的侧面积都是24π cm2.
第14题图
14．如图所示是一个立方体的展开图，标注了字母A的面是立方体的正面，如果立方体的左面与右面所标注代数式的值相等，且标注的数字相同的不超过2个，求A的取值范围．
解：由题意，得x2＝4x－4，即x2－4x＋4＝0，
(x－2)2＝0，∴x＝2，那么x2＝4，4x－4＝4；则4有两个了，
∵标注的数字相同的不超过2个，∴A≠4.
C 开拓新思路 拓展创新
15．如图所示，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NO剪开，所得的侧面展开图可以是：__②__(填序号)．
第15题图
16．如图所示，图(a)是过圆柱体木块底面的一条弦AD，沿母线AB剖开后得到的柱体，剖面是矩形ABCD，O为原圆柱体木块底面的圆心．图(b)是该柱体的主视图和俯视图．请你根据图中标注的数据解决以下问题．
(1)求弦AD的长度；
(2)求这个柱体的侧面积．(结果可保留π和根号)
第16题图
第16题答图
解：(1)过点O作OM⊥AD于点M，连结OD，则△OMD是直角三角形，
易得OD＝36÷2＝18(cm)，
OM＝27－18＝9(cm)，
∴MD＝9 cm，∴AD＝2MD＝18 (cm)．
(2)由(1)易得∠MOD＝60°，
那么∠AOD＝120°，
侧面积之和为18 ×40＋×40
＝720 ＋960π(cm2)，
∴这个柱体的侧面积为(720 ＋960π)cm2.
简单几何体的表面展开图(3)
(见A本75页)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示，圆锥的侧面展开图可能是下列图中的( D )
第1题图 A． B． C． D.
2．已知圆锥的母线长为5 cm，底面半径为3 cm，则圆锥的表面积为( B )
A．15π cm2 B．24π cm2 C．30π cm2 D．39π cm2
3．圆锥轴截面的等腰三角形的顶角为60°，这个圆锥的母线长为8 cm，则这个圆锥的高为( A )
A. 4 cm B．8 cm C．4 cm D．8 cm
第4题图
4．如图所示，圆锥底面半径为8，母线长为15，则这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角α为( C )
A．120° B．150° C．192° D．210°
第5题图
5．2017·南充中考如图所示，在Rt△ABC中，AC＝5 cm，BC＝12 cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( B )
A．60π cm2 B．65π cm2 C．120π cm2 D．130π cm2
6．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( C )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．18 cm
7．已知圆锥的底面半径为5 cm，侧面积为60π cm2，则这个圆锥的母线长为__12__ cm，它的侧面展开图的圆心角是__150°__．
8．圆锥的侧面积为18π cm2，其侧面展开图是半圆，则圆锥的底面半径是__3__ cm.
第9题图
9．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB＝120°，的长为12π cm，则该圆锥的侧面积为__108_π__cm2.
10．如图所示，现有一圆心角为90°.半径为80 cm的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒，用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封(接缝都忽略不计)．
求：(1)该圆锥盖子的半径为多少cm?
(2)制作这个密封量筒，共用铁片多少cm2？(结果保留π)
第10题图
解：(1)圆锥的底面周长＝＝40π(cm)，
设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝40π，
解得r＝20，
即该圆锥盖子的半径为20 cm.
(2)由题意得：S＝S侧＋S底＝π×802＋400π＝2000π (cm2)，
即共用铁片2000π cm2.
B 更上一层楼 能力提升
11．2017·绵阳中考“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱体部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是( C )
第11题图
A．68π cm2 B．74π cm2
C．84π cm2 D．100π cm2
第12题图
12．如图所示，从直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC(A，B，C三点在⊙O上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是____ m.
第13题图
13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为__8π__(结果保留π).
第14题图
14．如图所示，扇形OBC是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线OB＝l，底面圆的半径HB＝r.
(1)当l＝2r时，求∠BOC的度数；
(2)当l＝3r，l＝4r时，分别求∠BOC的度数；(直接写出结果)
(3)当l＝nr(n为大于1的整数)时，猜想∠BOC的度数．(直接写出结果)
解：(1)设∠BOC＝n，则得n＝180°，
∴∠BOC的度数为180°.
(2)当l＝3r时，∠BOC＝120°；当l＝4r时，∠BOC＝90°.
(3)∠BOC＝°
C 开拓新思路 拓展创新
15．2017·岱岳二模如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是( B )
第15题图
A．15π B．24π C．20π D．10π
16．在一次科学探究实验中，小明将半径为5 cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1) 取一漏斗(如图2所示)，上部的圆锥形内壁(忽略漏斗管口处)的母线OB长为6 cm，开口圆的直径为6 cm.当滤纸片重叠部分为三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁(忽略漏斗管口处)？请你用所学的数学知识说明．
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6 cm，开口圆的直径为7.2 cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
图1
图2
第16题图
解：(1)∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等，由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆，则围成的圆锥形的侧面积＝S滤纸圆＝S滤纸圆，∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为180°，如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为πd＝π×6＝6π(cm)，该侧面展开图的圆心角为6π÷6×＝180°.
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等，∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
(2)如果抽象地将母线长为6 cm，开口圆直径为7.2 cm的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为7.2π cm，圆心角为7.2π÷6×＝216°，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为216°.
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，∴滤纸重叠部分每层面积＝÷2＝5π(cm2)．
三视图与表面展开图
章末总结提升(见B本75页)
, 探究点 1 中心投影与平行投影)
【例1】 如图所示，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m、1.5 m．已知小军、小珠的身高分别为1.8 m、1.5 m，则路灯的高为__3__ m.
例1图
变式 如图所示，太阳光线与地面成60°的角，照在地面的一只排球上，排球在地面的投影长是14 cm，则排球的直径是( C )
变式图
A．7 cm B．14 cm C．21 cm D．21 cm
, 探究点 2 三视图)
【例2】 下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是( A )
例2图
A B C D
变式 画出下面几何体的三视图．
变式图
解：三视图如图所示：
变式答图
, 探究点 3 几何体的表面展开图)
【例3】 如图所示，将一张边长为6 cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为__36－12__cm2.
例3图
【解析】 ∵将一张边长为6 cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，
∴这个正六边形的底面边长为1 cm，高为 cm，
∴侧面积为长为6 cm，宽为(6－2) cm的长方形，
∴侧面积为：6×(6－2)＝36－12(cm2)．
变式 如图所示，已知圆锥底面半径r＝10 cm，母线长为40 cm.
(1)求它的侧面展开图的圆心角和面积；
(2)若一甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，求它所走的最短路线．
变式图
变式答图
解：(1)＝2π×10，解得n＝90.
∴圆锥侧面展开图的圆心角为90°，
圆锥侧面展开图的面积为π×10×40＝400π(cm2)．
(2)如图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．
在Rt△ASB中，SA＝40 cm，SB＝20 cm，
∴AB＝20 cm.
∴甲虫走的最短路线的长度是20 cm.
1．正方形的正投影不可能是( D )
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
2．如图所示的几何体的俯视图是( C )
第2题图
A． B． C． D.
3．如图所示，几何体的上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是( C )
第3题图
A B C D
4．如图是由若干个大小相同的小立方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是__左视图__．
第4题图
第5题图
5．由一些完全相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小立方体的个数可能是__4或5或6或7__．
6．如图所示，有一直径是m的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形BAC.
(1)求AB的长；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为多少米？
第6题图
第6题答图
解：(1)如图，连结BC.
∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝m，
∴AB＝BC＝1(m)．
(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r(m)，
由题意，得2πr＝，解得r＝.
即圆锥的底面圆的半径为m.
7．如图是一粮仓，其顶部是一圆锥，底部是一圆柱．
第7题图
(1)画出粮仓的三视图；
(2)若圆柱的底面圆的半径为1 m，高为2 m，求圆柱的侧面积；
(3)假设粮食最多只能装到与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米的粮食？
解：(1)粮仓的三视图如图所示：
第7题答图
(2)S圆柱侧＝2π·1×2＝4π(m2)
(3)V＝π×12×2＝2π(m3)，
即最多可存放2π m3的粮食．
8．顾琪在学习了三视图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了________条棱．
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒．你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全．
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是6 cm、6 cm、2 cm，求这个长方体纸盒的体积．
第8题图
解：(1)顾琪共剪开了8条棱，故答案为8.
(2)如图，四种情况，答出一种即可．
第8题答图
(3)6×6×2＝72 cm3，
答：这个长方体纸盒的体积是72 cm3.
三视图与表面展开图
阶 段 性 测 试(十四)(见学生单册)
[考查范围：三视图与表面展开图(3.1～3.4)]
一、选择题(每小题5分，共30分)
第1题图
1．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是( B )
A．球
B．圆柱
C．圆锥
D．立方体
2．将一个无盖立方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是( C )
A． B． C． D.
第3题图
3．如图是由几个大小相同的小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，则该几何体的左视图是( D )
A． B． C． D.
4．如图是按1∶10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( D )
A．200 cm2 B．600 cm2
C．100π cm2 D．200π cm2
第4题图
第5题图
5．如图所示，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是( D )
A．5或6 B．5或7
C．4或5或6 D．5或6或7
6．如图所示，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为( B )
第6题图 A． B． C． D.
二、填空题(每小题5分，共25分)
7．如图是由若干个棱长为1的小立方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是__22__．
第7题图
8．如图所示，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为__12＋15π__．
第8题图
第9题图
9．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为__48＋12__．
10．如图所示，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为__3__ m.
第10题图
第11题图
11．如图所示，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小立方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小立方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状)，那么王亮至少还需要__19__个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为__48__．
三、解答题(5个小题，共45分)
12．(7分)画出如图所示立体图形的三视图．
第12题图
解：如图所示．
第12题答图
13．(9分)如图是一个包装纸盒的三视图(单位： cm)．
(1)该包装纸盒的几何形状是________；
(2)画出该纸盒的平面展开图；
(3)计算制作一个纸盒所需纸板的面积(精确到个位)．
第13题图
解：(1)正六棱柱 (2)图略
(3)×5××6×2＋5×5×6≈280(cm2)
答：制作一个纸盒所需纸板的面积约为280 cm2.
14．(9分)如图1是我们常用的一次性纸杯，下面我们来研究一次性纸杯的制作方法之一．如图2，取一个半径为18 cm的圆形纸板，再裁下一个半径为6 cm的同心圆纸板，沿半径OA，OB及CD，AB剪下，由AB，CD及线段AC和BD的部分即可围成纸杯侧面，然后在扇形OCD中再截去一个面积最大的圆形纸板．
(1)若∠AOB＝60°，利用图3求裁去的面积最大的圆形纸板半径．
(2)(1)中的圆形纸板足够做纸杯的底面，但要进行简单的剪裁，至此，纸杯也就制成了，通过以上数据，请你计算一次性纸杯的高，并回答它最接近于哪一个整数值．
第14题图
解：(1)∵原型纸板与OC、OD、弧CD相切时面积最大，
第14题答图
如图设纸板的圆心为M，作MF⊥OC，
设MF＝x，则OM＝6－x，
在Rt△MFO中，∠MOF＝30°，
则OM＝2MF，即6－x＝2x，解得x＝2.
∴裁去的面积最大的圆形纸板半径为2 cm.
(2)∵∠AOB＝60°，
∴弧AB的长为＝12π，
设杯子顶的半径为r，
则2πr＝12π，故r＝6，
杯子顶部的半径为6 cm，
同理可得杯子底边的半径为2 cm.
∴杯子的高为≈11.31(cm)．
∴杯子的高最接近整数11.
15．(10分)(1)如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长．
(2)如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米(a＞b＞c)将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，并画出周长最大的平面图形．
第15题图
解：(1)∵正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，
∴要剪12－5＝7条棱，
4×(7×2)＝4×14＝56(cm)．
答：这个平面图形的周长是56 cm；
(2)如图，
第15题答图
这个平面图形的最大周长是8a＋4b＋2c.
第16题图
16．(10分)如图所示，公路旁有两个高度相等的路灯AB，CD.小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处．
(1)在图中画出小明的位置(用线段FG表示)，并画出光线，标明太阳光、灯光；
(2)若上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E恰好5米，求路灯高．
第16题答图
解：(1)如图所示．
(2)∵上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，∴小明的影长CF为3米，∵GF⊥AC，DC⊥AC，∴GF∥CD，∴△EGF∽△EDC，∴＝，∴＝，解得CD＝2.4.
∴路灯高为2.4米．
