第2章 直线与圆的位置关系
2.1 直线与圆的位置关
A 练就好基础 基础达标
1．如果一个圆的半径是8 cm，圆心到一条直线的距离也是8 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是( B )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点(O除外)，若以P为圆心的⊙P与OC相交，那么⊙P与OB的位置关系是( C )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
3．2017·莱芜中考如图所示，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连结BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为( C )
第3题图
A．46° B．47° C．48° D．49°
4．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( B )
A．d＝3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3
5．如图所示，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( B )
第5题图
A．1 B．1或5 C．3 D．5
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是__相切__．
7．若一条直线与圆有公共点，则该直线与圆的位置关系是__相切或相交__．
8．永州中考如图所示，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d，我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
第8题图
(1)当d＝3时，m＝__1__；
(2)当m＝2时，d的取值范围是__19．如图所示，在△ABC中，CA＝CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O.
求证：⊙O与CB相切于点E.
第9题图
证明：∵CA＝CB，点O在高CH上，
∴∠ACH＝∠BCH.
∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE＝OD，
∴⊙O与CB相切于点E.
10．如图所示，已知⊙O的半径为5 cm，点O到直线l的距离OP为7 cm.
(1)怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？
(2)要使直线l与⊙O相交，应把直线l向上平移多少cm?
第10题图
解：(1)∵⊙O的半径为5 cm，点O到直线l的距离OP为7 cm，
∴需要向上平移7－5＝2(cm)或7＋5＝12(cm)，才能使l与⊙O相切．
(2)由(1)可知要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2 cm且小于12 cm.
B 更上一层楼 能力提升
11．下列判断正确的是( D )
①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交．
A．①②③ B．①② C．②③ D．③
12．嘉兴中考如图所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( B )
第12题图
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
13．已知⊙O的半径r＝5，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距离为7，则l1与l2的距离为__2或12__．
C 开拓新思路 拓展创新
14．2017·百色中考以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( D )
A．0≤b＜2 B．－2≤b≤2
C．－215．已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝x2－4x＋3上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 (2，－1)或(2±，1) ．
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若以C为圆心、r为半径作圆．
(1)当斜边AB与⊙C相切时，求r的值；
(2)当线段AB与⊙C只有一个公共点时，求r的取值范围．
第16题图
第16题答图
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝4，
∵AC·BC＝AB·CD，
∴×3×4＝×5·CD，解得CD＝2.4，
(1)当直线AB与⊙C相切时，即d＝r＝2.4.
(2)①当r＝2.4时，AB与⊙C相切，斜边AB与⊙C只有一个公共点．
②当2.4③当3④当r>4时，⊙C与AB没有公共点．
综上所述，当AB与⊙C只有一个公共点时，r的取值范围是3直线与圆的位置关系(2)
A 练就好基础 基础达标
1．下列直线是圆的切线的是( B )
A．与圆有公共点的直线
B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．过圆直径外端点的直线
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，以B为圆心、5为半径的圆与直线AC的位置关系是( A )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
第3题图
3．如图所示，OA，OB是⊙O的两条半径，BC是⊙O的切线，且∠AOB＝80°，则∠ABC的度数为( B )
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，以点A为圆心、5为半径的圆与直线y＝－x的位置关系是( C )
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
5．如图所示，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( D )
第5题图
A．AB＝4，AT＝3，BT＝5
B．∠B＝45°，AB＝AT
C．∠B＝55°，∠TAC＝55°
D．∠ATC＝∠B
6．如图所示， ⊙O的半径为4 cm ，BC是直径，若AB＝10 cm，当AC＝__6__ cm时，AC是⊙O的切线．
第6题图
第7题图
7．如图所示，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为__相切__．
8．2017·北京模拟阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：在△ABC中，∠A＝90°.
求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．
小轩的主要作法如下：
如图，
(1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；
(2)以点P为圆心，AP长为半径作⊙P.所以⊙P为所求．
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P与BC相切的依据是 角平分线上的点到角两边的距离相等，若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线 ．
9．衡阳中考如图所示，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：CE为⊙O的切线．
(2)判断四边形AOCD是否为菱形，并说明理由．
第9题图
解：(1)证明：连结OD，∵点C，D为半圆O的三等分点，
∴∠BOC＝∠BOD，又∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOC＝∠BAD，
∴AE∥OC，∵AD⊥EC，∴OC⊥EC，∴CE为⊙O的切线．
(2)四边形AOCD是菱形，理由如下：
∵点C，D为半圆O的三等分点，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∵OA＝OD＝OC，
∴△AOD和△COD都是等边三角形，
∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD，
∴四边形AOCD是菱形．
B 更上一层楼 能力提升
10．如图所示，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，有下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③OC＝BC；④AB＝BD.其中，能使命题成立的有( D )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
第10题图
第11题图
11．2017·玉田期末如图所示，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转( B )
A．40°或80° B．50°或110°
C．50°或100° D．60°或120°
12．如图所示，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD，CD及BC的延长线于E，F，G，⊙O是△CGF的外接圆．求证：CE是⊙O的切线．
第12题图
证明：连结OC.
∵⊙O是△CGF的外接圆，∠FCG＝90°，点O是FG的中点，
∴OC＝OG，∠OCG＝∠G；
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DAE＝∠DCE，
又∵∠G＝∠DAE，∴∠OCG＝∠DCE.
∵∠FCO＋∠OCG＝90°，∴∠FCO＋∠DCE＝90°，即∠ECO＝90°，∴CE是⊙O的切线．
C 开拓新思路 拓展创新
13．2017·庆阳中考如图所示，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.
(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；
(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
第13题图
解：(1)∵A的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4，
∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，
∴AB＝2AN＝8，
∴由勾股定理可知：NB＝＝4，
∴B(4，2)．
(2)证明：连结MC，NC.
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN＝90°，∴∠NCB＝90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD＝NB＝ND，
∴∠CND＝∠NCD，
∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC，
∵∠MNC＋∠CND＝90°，
∴∠MCN＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD.
∴直线CD是⊙M的切线．
第13题答图
直线与圆的位置关系(3)
A 练就好基础 基础达标
1．下列说法中正确的是( A )
A．圆的切线垂直于经过切点的半径
B．垂直于切线的直线必经过切点
C．垂直于切线的直线必经过圆心
D．垂直于半径的直线是圆的切线
第2题图
2．如图所示，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( B )
A．45° B．50° C．60° D．70°
3．在平面直角坐标系中，以点(－1，－2)为圆心、与x轴相切的圆的半径长是( B )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
4．如图所示是两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB＝6 cm，则图中圆环的面积为( B )
A．6π cm2 B．9π cm2 C．18π cm2 D．36π cm2
第4题图
第5题图
5．2017·日照中考如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( A )
A．5 B．5 C．5 D.
6．如图所示，已知∠CAB＝30°，⊙O与AC边相切于点P，且OA＝3，则⊙O的半径为__1.5__．
第6题图
第7题图
7．如图所示，⊙M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是 (5，4) ．
第8题图
8．如图所示，已知⊙O的半径等于4，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，PA＝2，直线PO与⊙O相交于C，D，求：
(1)PC的长；
(2)sin P的值．
解：(1)连结OA，
∵PA是⊙O切线，
∴∠PAO＝90°，
∴PO＝＝6，
∴PC＝PO－OC＝6－4＝2.
(2)在Rt△PAO中，sin P＝＝＝.
第9题图
9．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC.求证：AD·BC＝OB·BD.
证明：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠CBO＝∠D＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A.
∴△ABD∽△OCB.
∴AD∶OB＝BD∶BC.
∴AD·BC＝OB·BD.
第10题图
10．聊城中考如图所示，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连结AD并延长，交BE于点E.
(1)求证：AB＝BE.
(2)若PA＝2，cos B＝，求⊙O半径的长．
解：(1)证明：连结OD，
第10题答图
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO＝∠E，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠E，
∴AB＝BE.
(2)由(1)知，OD∥BE，
∴∠POD＝∠B，
∴cos∠POD＝cos B＝，
在Rt△POD中，cos∠POD＝＝，
∵OD＝OA，PO＝PA＋OA＝2＋OA，
∴＝，
∴OA＝3，
∴⊙O半径为3.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC的大小等于__50__度．
第11题图
第12题图
12．2017·衢州中考如图所示，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，点P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__2__．
第13题图
13．2017·北京中考 如图所示，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.
(1)求证：DB＝DE.
(2)若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．
第13题答图
解：(1)证明：∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BD是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，∴∠OBE＋∠EBD＝90°，
∵EC⊥OA，∴∠CAE＋∠CEA＝90°，
∵∠CEA＝∠DEB，∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE.
(2)作DF⊥AB于F，连结OE，∵DB＝DE,
AE＝EB＝6，
∴EF＝BE＝3，OE⊥AB，在Rt△DEF中，
DE＝BD＝5，EF＝3, ∴DF＝＝4，
∴sin∠DEF＝＝， ∵∠AOE＝∠DEF,
∴在Rt△AOE中，sin∠AOE＝＝，
∵AE＝6, ∴AO＝.
C 开拓新思路 拓展创新
第14题图
14. 宁波中考如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为____．
15．如图所示，⊙O的直径AB＝4，AC是弦，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为.
(1)如图(a)，当经过圆心O时，求AC的长．
(2)如图(b)，当与AB相切于A时，①画出所在圆的圆心P；②求AC的长．
(3)如图(c)，设与直径AB交于点D，DB＝x，试用x的代数式表示AC.
图(a) 图(b) 图(c)
第15题图
解：(1)作半径OE⊥AC于点F，如图(a)，
沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为.
∴OF＝OE＝×2＝1，∵OE⊥AC，∴AF＝CF.
在Rt△OAF中，OA＝2，OF＝1，∴AF＝＝，
∴AC＝2AF＝2.
第15题答图
(2)①过A点作AP⊥AB，再截取AP＝2，则P点为所求，如图(b)；
②连结PC，OC，
∵AP＝OA＝OC＝PC＝2，
∴四边形PAOC为菱形，
而∠PAO＝90°，
∴四边形PAOC为正方形，
∴AC＝OA＝2.
(3)设所在圆的圆心为P，
作PH⊥AB于点H，连结OP，PD，BC，如图(c)，
∵AB＝4，BD＝x，∴AD＝4－x，∵PH⊥AD，
∴AH＝DH＝AD＝2－x，
∴OH＝OA－AH＝x.
在Rt△PAH中，PH＝＝，
在Rt△OPH中，OP＝＝，
∵沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，
∴OP⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OP∥BC，
∴∠POH＝∠CBA，
∴Rt△ACB∽Rt△PHO，∴＝，
∴AC＝＝.
切线长定理
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为( C )
A．130° B．120° C．110° D．100°
第1题图
第2题图
2．如图所示，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( C )
A．1 B．4 C．2 D．3
3．如图所示，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( D )
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
第3题图
第4题图
4．如图所示，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为( D )
A．35° B．45° C．60° D．70°
5．如图所示，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝120°.连结AC，则∠A的度数是__30°__．
第5题图
第6题图
6．如图所示，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为__2__．
第7题图
7．如图所示，已知PA，PB分别切圆O于点A，B，连结PO与圆O相交于点C，连结AC，BC，求证：AC＝BC.
证明：连结OA，OB，∵PA，PB分别切圆O于A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∵AO＝BO，PO＝PO，
∴△APO≌△BPO (HL)，
∴∠APO＝∠BPO，PA＝PB.
∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC (SAS)，
∴AC＝BC.
第8题图
8．如图所示，直尺、三角尺都和⊙O相切，点B，C是切点，且AB＝8 cm.求⊙O的直径．
解：连结AO，BO，
∵AB是⊙O的切线，AC是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，∠BAO＝∠BAC＝60°，
在Rt△AOB中，OB＝AB·tan∠BAO＝8×tan 60°＝8(cm)，
∴⊙O的直径为16 cm.
B 更上一层楼 能力提升
9．如图所示，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线(切点为F)交CD边于点E，则sin∠DAE等于( D )
A. B. C. D.
第9题图
第10题图
10．如图所示，一圆外切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为__52__．
11．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为点A，B，直线EF也是⊙O的切线，点Q是切点，交PA，PB于点E，F.若PA＝10，则△PEF的周长为__20__；若∠APB＝50°，则∠EOF的度数为__65°__．
第11题图
第12题图
12．如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，BE切⊙O于点B，交CD于点E，⊙O 的半径为a，BC＝na，则DE∶EC＝__1∶(n＋1)__．当n＝__1__时，∠C＝30°.
第13题图
13．如图所示，AB，AC的延长线与BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O半径是__2__.
第14题图
14．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.
(1)求证：BC＝FC.
(2)若AD∶AE＝2∶1，求tan F的值．
解： (1)证明：连结BD.∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝90°－∠BED.∵∠EBF＝90°，
∴∠F＝90°－∠BEF.∴∠F＝∠EBD.
∵AC切⊙O于点D，∴∠EBD＝∠ADE＝∠CDF.
∴∠F＝∠CDF，∴DC＝FC.
∵OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线，
∴DC＝BC，∴BC＝FC.
(2)在△ADE和△ABD中，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD，
∴△ADE∽△ABD，＝＝.
又∵∠F＝∠EBD，
∴tan F＝tan∠EBD＝＝.
C 开拓新思路 拓展创新
第15题图
15．如图所示，在(ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15 cm.已知⊙O的半径等于3 cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F.⊙O在(ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．
第15题答图
解：连结OE，OA.
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E，F.
∴OE⊥AB，OE＝3 cm.
∵∠DAB＝60°，∴∠OAE＝30°.
在Rt△AOE中，AE＝＝＝3(cm)．
∵AD∥BC，∠DAB＝60°，∴∠ABC＝120°.
设当运动停止时，⊙O′与BC，AB分别相切于点M，N，连结O′N，O′B.同理可得BN＝ cm.
∴EN＝AB－AE－BN＝15－3－＝(15－4) cm.
∴ ⊙O滚过的路程为(15－4) cm.
第16题图
16．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连结OD，OC，BE.
(1)求证：OD∥BE.
(2)若四边形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x＋y＝14，求CD的长．
第16题答图
解：(1)证明：如图，连结OE，
∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，
在Rt△OAD和Rt△OED中，
∴Rt△OAD≌Rt△OED(HL)．
∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，
在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，
∴∠AOD＝∠ABE，
∴OD∥BE.
(2)与(1)同理可证Rt△COE≌Rt△COB，
∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，
∵∠DOE＋∠COE＝90°，
∴△COD是直角三角形，
∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，
∴S梯形ABCD＝2(S△DOE＋S△COE)＝2S△COD＝OC·OD＝48，
即xy＝48，又∵x＋y＝14，
∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝142－2×48＝100，
在Rt△COD中，
CD＝＝＝＝10，∴CD＝10.
三角形的内切圆
A 练就好基础 基础达标
第1题图
1．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE等于( B )
A．70° B．110° C．120° D．130°
2．下列命题中正确的是( C )
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心、外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
3．如图所示，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( A )
A．△ABC的三条内角平分线的交点处
B．△ABC的三条高线的交点处
C．△ABC三边的中垂线的交点处
D．△ABC的三条中线的交点处
第3题图
第5题图
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为( C )
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
5．如图所示，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为__76°__．
6．如图所示，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是____．
第6题图
第7题图
7．如图所示，在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC＝__140°__；若O为△ABC的内心，则∠BOC＝__125°__．
第8题图
8．如图所示，△ABC的面积为4 cm2，周长为10 cm，求△ABC的内切圆半径．
解：∵S△ABC＝(AB＋BC＋AC)r＝×10×r＝5r＝4，
∴r＝ cm.
第9题图
9．如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D.若AC＝6，CD＝2.
(1)求证：四边形OECF为正方形．
(2)求⊙O的半径．
(3)求AB的长．
解：(1)证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，∴四边形CFOE是矩形，
∵OF＝OE，∴四边形OECF为正方形．
(2)由题意可得，EO∥AC，∴△DEO∽△DCA，∴＝.
设⊙O的半径为x，则＝，解得x＝1.5，
故⊙O的半径为1.5.
(3)∵⊙O的半径为1.5，AC＝6，
∴CF＝1.5，AF＝4.5，∴AG＝4.5，
设BG＝BE＝y，
∴在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，
∴62＋(y＋1.5)2＝(4.5＋y)2，解得y＝3，
∴AB＝AG＋BG＝4.5＋3＝7.5.
B 更上一层楼 能力提升
10．已知AC⊥BC于点C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为的是( C )
A B C D
11．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，则AF的长为( B )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．9 cm
第11题图
第12题图
12．如图所示，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于点E，作OF⊥CD于点F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__1∶2__．
第13题图
13．如图所示，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.
(1)求证：IE＝BE.
(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．
第13题答图
解：(1)证明：连结IB.∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.
又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI，
∴∠BIE＝∠CAD＋∠IBD＝∠DBE＋∠IBD＝∠IBE，
∴BE＝IE.
(2)在△BED和△AEB中，
∵∠EBD＝∠CAD＝∠EAB，∠BED＝∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴＝.
∵IE＝4，∴BE＝4.
∵AE＝8，
∴DE＝＝2.
C 开拓新思路 拓展创新
14．如图所示，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC.则k的值为__4__．
第14题图
15．2017·百色中考已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若＝，如图1.
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．
第15题图
解：(1)连结OA，DF.结论：△ABC为等腰三角形，
理由：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD，∠OAF＝∠OAD，∴OA⊥DF，
∵＝，∴A，O，E共线，
∵AE⊥BC，
∴∠ACB＋∠CAE＝90°，∠ABC＋∠BAE＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
第15题答图
(2)连结OB，OC，OD，OF，如图，
∵在等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE＝CE，
在Rt△AOF和Rt△AOD中，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF＝AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，
∴AD＝AF，BD＝CF，
∴DF∥BC，∴＝＝，
∵AE＝＝4，
∴AM＝4×＝.
专题分类突破六 切线的判定与性质应用的基本图形
, 类型 1 一切线与过圆心的直线相交型 )
例1图
【例1】 如图所示，已知直线PA交⊙O于A，B两点，CD是⊙O的切线，切点为C，过点C作CD⊥PA于点D.若AD∶DC＝1∶3，AB＝8，则⊙O的半径为__5__．
变式 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F.
(1)求证：FE⊥AB.
(2)当EF＝6，＝时，求DE的长．
变式图
变式答图
解：(1)证明：如图，连结AD，OD，
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
又∵AB＝AC，∴CD＝DB，又CO＝AO，
∴OD∥AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB.
(2)∵＝，∴＝，∵OD∥AB，
∴＝＝，又EF＝6，∴DE＝9.
, 类型 2 两切线相交型)
例2图
【例2】 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC，BC边分别交于点E，F，G，连结OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝.
(1)求⊙O的半径OD.
(2)求证：AE是⊙O的切线．
(3)求图中两部分阴影面积的和．
解：(1)∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝＝，∴OD＝3.
例2答图
(2)证明：连结OE，
∵AE＝OD＝3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE为圆的半径，∴AE为⊙O的切线．
(3)∵OD∥AC，
∴＝，即＝，
∴AC＝7.5，∴EC＝AC－AE＝7.5－3＝4.5，
∴S阴影＝S△BDO＋S△OEC－S扇形FOD－S扇形EOG
＝×2×3＋×3×4.5－
＝3＋－＝.
, 类型 3 由图形的变换生成的相切问题)
例3图
【例3】 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P的个数是( A )
A．6 B．8 C．10 D．12
变式图
变式 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，⊙D的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为____．
1．如图所示，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( B )
第1题图
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
2．如图所示，直线l与以线段AB为直径的圆相切于点C，AB＝6，AC＝3，点P是直线l上一个动点．当∠APB的度数最大时，线段BP的长度为( D )
A．6 B．6 C．9 D．3
第2题图
第3题图
3．如图所示，在△ABC中，BC＝8 cm，以A为圆心、2 cm为半径的圆与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P在圆上，∠EPF＝50°，则图中阴影部分的面积为__8－π__cm2.
第4题图
4．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F.
(1)求证：AF⊥EF.
(2)小强同学通过探究发现：AF＋CF＝AB.请你帮助小强同学证明这一结论．
证明：(1)如图所示，连结OD，交BC于点M，则OD⊥EF.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ODA，
∴OD∥AF，∴AF⊥EF.
第4题答图
(2)如图所示，连结BD，CD，延长BD，CF交于点G，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
又∵AD平分∠BAC，
∴AB＝AG，GD＝DB，CD＝DB.
∴CD＝GD.
∵AF⊥EF，∴CF＝GF，
∴AF＋CF＝AF＋FG＝AG，∴AF＋CF＝AB.
第5题图
5．如图所示，已知直线y＝－x＋3分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长．
解：作PC⊥AB于点C，连结AP，
∵直线y＝－x＋3分别与x轴、y轴交于A，B，
第5题答图
当y＝0时，x＝，当x＝0时，y＝3，
∴A(，0)，B(0，3)，
∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，
∴PH＝PC，∴AP平分∠OAB，
∴∠PAH＝∠OAB＝30°，
设OH＝x，则AH＝x＋，
∵PH⊥x轴，∴∠PHA＝90°，
∴tan∠PAH＝，∴PH＝AH·tan 30°＝(x＋)，
∵点P是y＝－(x＜0)的图象上一点，
∴PH·OH＝，即(x＋)x＝，
解得x＝(负值舍去)，
∴OH＝.
6．已知I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，连结BD.
(1)在图1中，求证：DB＝DI.
(2)如图2，若AB为直径，且OI⊥AD于I点，DE切圆于D点，求sin∠ADE的值．
第6题图
解：(1)证明：如图1，连结BI，
∵I是△ABC的内心，
∴AD平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠CAD＝∠BAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠DBC，∴∠DAB＝∠CBD，
∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，
∠DIB＝∠DAB＋∠IBA，
∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI；
(2)如图2，连结BD，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∵OI⊥AD，∴AD＝2DI，
∵BD＝DI，∴AD＝2BD，
∴AB＝＝BD，
∵DE切圆于D点，∴∠ABD＝∠ADE，
∴sin∠ADE＝sin∠ABD＝＝.
第6题答图
直线与圆的位置关系
章末总结提升
, 探究点 1 直线与圆的位置关系)
【例1】已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P，满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( D )
A．相切 B．相离
C．相离或相切 D．相切或相交
变式 已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组
(1)求函数y的表达式；
(2)若点P的坐标为(m，0)，求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围．
解：(1)①×3，得3x＋9y＝12－3a③，
②＋③，得4x＋8y＝12，即x＋2y＝3，得y＝x＋.
(2)当y＝0时，x＝3，即函数y的图象与x轴交于点A(3，0)，
当x＝0时，y＝，即函数y的图象与y轴交于点B ，
当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，
此时∠PCA＝90°
∴∠PCA＝∠BOA，且∠BAO＝∠PAC，∴△ABO∽△APC，
∴＝，即＝，∴AC＝2，∴PA＝
此时，P的横坐标为3－或3＋，
∴当圆P与直线y有交点时，3－≤m≤3＋.
, 探究点 2 切线的判定与性质)
例2图
【例2】 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．
(1)求证：AB为⊙O的切线．
(2)如果tan∠CAO＝，求cos B的值．
解：(1)证明：如图，作OM⊥AB于点M，
例2答图
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC＝OM，∴AB是⊙O的切线，
(2)设BM＝x，OB＝y，则y2－x2＝1①，
∵cos B＝＝，∴＝，
∴x2＋3x＝y2＋y②，
由①②可以得到y＝3x－1，
∴(3x－1)2－x2＝1，
∴x＝，y＝，∴cos B＝＝.
变式图
变式 2017·衡阳中考如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D.
(1)E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线．
(2)若AC＝3CD，求∠A的大小．
解：(1)证明：连结OC，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，
变式答图
∵AO＝OB，E为BD的中点，
∴OE∥AD，∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，
∴∠2＝∠3，
在△COE与△BOE中，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴CE是⊙O的切线．
(2)∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，∴△ABC∽△BDC，
∴＝，∴BC2＝AC·CD，
∵AC＝3CD，∴BC2＝AC2，
∴tan∠A＝＝，∴∠A＝30°.
, 探究点 3 切线长定理与三角形的内切圆)
例3图
【例3】 2017·宁波中考如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为( B )
A. B. C．π D．2π
变式 2017·武汉中考已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( C )
A. B. C. D．2
1．如果直线l与⊙O有公共点，那么直线l与⊙O的位置关系是( D )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
第2题图
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( A )
A. B. C. D．2
第3题图
3．遵义中考如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连结AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是____．
第4题图
4．如图所示，已知在等边△ABC中，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD.
(1)求证：DF是⊙O的切线．
(2)求FG的长．
(3)求tan∠FGD的值．
第4题答图
解：(1)证明：连结OD，如图(1)，
∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．
(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.
在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，
∴AF＝AC－CF＝12－3＝9，
在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，
∴FG＝AF×sin A＝9×＝.
(3)如图，过D作DH⊥AB于点H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.
在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3 .在Rt△AFG中，∵∠AFG＝30°，
∴AG＝AF＝，∵GH＝AB－AG－BH＝12－－3＝，
∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝.
第5题图
5．如图所示，A(－8，0)，B(－6，0)．点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(7，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．
(1)点C的坐标是 (0，6) ；
(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；
(3)以点P为圆心、PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的一边(或边所在的直线)相切时，求t的值．
解：(2)当点P在点B右侧时，如图(a)．
由∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°.OP＝t－7，则PC＝2(t－7)，
在Rt△POC中，CP2－OP2＝62，故4(t－7)2－(t－7)2＝36，
此时t＝7±2(舍去7－2)，
当点P在点B左侧时，如图(b)，
由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°，PC＝2CO＝12，
故PO＝＝6.此时t＝7＋6.
∴t的值为7＋2或7＋6.
第5题答图
(3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，
从而∠OCP＝45°，得到OP＝6.此时t＝1.
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，
即点P与点O重合，此时t＝7.
③当⊙P与AD相切时，由题意知，∠DAO＝90°，
∴点A为切点，如图(c)．
PC2＝PA2＝(15－t)2，PO2＝(t－7)2.
所以(15－t)2＝(t－7)2＋62，解得t＝.
∴t的值为1或7或.
6．如图所示，在直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴、y轴相交于A，B 两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心、3为半径作⊙P.
(1)连结PA，若PA＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)当⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形时，求点P的坐标．
第6题图
解：(1)如图1，⊙P与x轴相切，
∵直线y＝－2x－8与x轴交于A(－4，0)，与y轴交于B(0，－8)，
∴OA＝4，OB＝8.
由题意，OP＝－k，∴PB＝PA＝8＋k.
∵在Rt△AOP中，k2＋42＝(8＋k)2
∴k＝－3，∴OP等于⊙P的半径．
∴⊙P与x轴相切．
第6题答图
(2)如图2，设⊙P1与直线l交于C，D两点，连结P1C，P1D，
当圆心P1在线段OB上时，作P1E⊥CD于点E，
∵△P1CD为正三角形，∴DE＝CD＝，P1D＝3.
∴P1E＝.
∵∠AOB＝∠P1EB＝90°，∠ABO＝∠P1BE，
∴△AOB∽△P1EB.∴＝，即＝，
∴P1B＝.∴P1O＝BO－BP1＝8－.
∴P1.
当圆心P2在线段OB延长线上时，同理可得P2.
直线与圆的位置关系
阶 段 性 测 试
[考查范围：直线与圆的位置关系(2.1－2.3)]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列说法中不正确的是( C )
A．弦的垂直平分线必过圆心
B．经过切点的直径必垂直于这条切线
C．平分弦的直径必垂直于这条弦
D．等边三角形的外心与内心必重合
2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm，若以顶点A为圆心、3 cm长为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是( B )
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
3．如图所示，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD切⊙O于点C，连结OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为( C )
A．40° B．50° C．80° D．100°
第3题图
第4题图
4．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连结CF，BF.下列所给出的结论中，不正确的是( B )
A．∠F＝∠AOC B．AB⊥BF
C．CE是⊙O的切线 D.＝
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆的半径是( B )
A. B．1 C．2 D.
第5题图
第6题图
6．如图所示，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，D是⊙O上一点，连结PD.若PC＝PD＝BC，给出下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的结论是( A )
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
二、填空题(每小题5分，共25分)
7．如图所示，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径AB＝2，∠CAD＝30°，则弦BC＝____．
第7题图
第8题图
8．如图所示，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝__50°__．
9．如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A，B两点的切线交于P，Q.已知AP＝2，BQ＝4，则PQ＝__6__，AB＝___4__．
第9题图
第10题图
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点．设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是__3≤x≤4__．
第11题图
11．如图所示，直线l：y＝－x＋1与坐标轴交于A，B两点，点M(m，0)是x轴上一动点，以点M为圆心、2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为__2－2或2＋2__．
三、解答题(4个小题，共45分)
第12题图
12．(10分)如图所示，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D.连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.
(1)求证：△COD∽△CBE.
(2)求半圆O的半径的长．
解：(1)证明：∵CD切半圆O于点D，
∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°，
∵BE⊥CD，∴∠E＝90°＝∠CDO，
又∵∠C＝∠C，
∴△COD∽△CBE.
(2)在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，
∴BC＝＝15，
∵△COD∽△CBE.
∴＝，即＝，解得r＝.
第13题图
13．(11分)如图1，在△ABC中，CA＝CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O.
(1)求证：⊙O与CB相切于点E.
(2)如图2，若⊙O 过点H，且AC＝5，AB＝6，连结EH，求此时⊙O的半径和△BHE的面积．
解：(1)证明：∵CA＝CB，点O在高CH上，
∴CH平分∠ACB，即∠ACH＝∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE＝OD，
∵OE⊥BC，∴⊙O与CB相切于点E.
第13题答图
(2)∵CA＝CB，CH是高，
∴AH＝BH＝AB＝×6＝3，∴CH＝＝4，
∵点O在高CH上，⊙O过点H，
∴⊙O与AB相切于点H.
∵⊙O与CB相切于点E，
∴BE＝BH＝3，∴CE＝2，
连结OE，过H作HF⊥BC于点F，如图2，设半径为R，
在Rt△OCE中，(4－R)2＝R2＋22，解得R＝，
∵HF·BC＝CH·BH，∴HF＝＝，
∴S△BHE＝×3×＝.
第14题图
14．(12分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.
(1)求证：DE⊥AC.
(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．
第14题答图
解：(1)证明：连结OD、AD，
∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，
∴AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∴D是BC的中点，
又∵O是AB的中点，∴OD∥AC，
∴DE⊥AC.
(2)∵AB＝10，∴OB＝OD＝5，由(1)得OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴＝＝，
设BF＝x，AE＝8，∴＝，解得x＝，经检验x＝是原分式方程的根，且符合题意，∴BF＝.
15．(12分)如图所示，△ABC是一块直角三角板，且∠C＝90°，∠A＝30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
第15题图
(1)如图1，当圆形纸片与两直角边AC，BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO.(不写作法与证明，保留作图痕迹)
(2)如图2，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止．若BC＝9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
第15题答图
解：(1)如图1所示，射线OC即为所求．
(2)如图2，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，
过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D，F，G，
过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连结O1B，
过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H，I，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝＝＝9，AB＝2BC＝18，∠ABC＝60°，
∴C△ABC＝9＋9＋18＝27＋9，
第15题答图
∵O1D⊥BC，O1G⊥AB，
∴D，G为切点，∴BD＝BG，
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，
∵∴△O1BD≌△O1BG(HL)，
∴∠O1BG＝∠O1BD＝30°，
在Rt△O1BD中，∠O1DB＝90°，∠O1BD＝30°，
∴BD＝＝＝2，
∴OO1＝9－2－2＝7－2，
∵O1D＝OE＝2，O1D⊥BC，OE⊥BC，
∴O1D∥OE，
∴四边形OEDO1为平行四边形，
∵∠OED＝90°，∴四边形OEDO1为矩形，
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，
又OE＝OF，∴四边形OECF为正方形，
∵∠O1GH＝∠CDO1＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠GO1D＝120°，
又∵∠FO1D＝∠O2O1G＝90°，
∴∠OO1O2＝360°－90°－90°－120°＝60°＝∠ABC，
同理，∠O1OO2＝90°，
∴△OO1O2∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴C△OO1O2＝15＋，即圆心O运动的路径长为15＋.
