3.4 一元一次不等式组(2)（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第3章一元一次不等式3.4一元一次不等式组
第2课时 一元一次不等式组(2)
【知识清单】
一、列一元一次不等式组的基本步骤：审 设 找 列 解 检 答
1、审：审题，分清题目中的已知量、未知量；
2、设：设未知数，用字母表示未知量；
3、找：找出题目中的不等关系；
4、列：根据题目中的不等关系列不等式组；
5、解：求出解不等式组的解集；
6、检：检验所求的解是否符合实际问题和不等式组；
7、答：写出符合实际意义的答案.
二、列一元一次不等式组注意以下2点：
1、设未知数时，要去掉“不少于”“不超过”之类的词语，换成确定性的语句.
2、对答案的取舍要满足两个条件：一要符合题目要求；二要符合实际情况.
【经典例题】
例题1，求方程3x+4y=19的正整数解.
【考点】一元一次不等式（组）的应用．
【分析】将x看作已知数表示出y，根据x与y为正整数求出解即可．
【解答】∵3x+4y=19，∴.
∵所求的解都是正整数解，
∴x>0，y>0.
∴.∴.
∴.
又∵y为正整数，∴正整数.
∴必为偶数，∴奇数.
∴=1，3，5.
当=1时，；
当=3时，不是整数；
当=5时，.
因此原方程的正整数解为或
【点评】此题考查了利用一元一次不等式（组）求解二元一次方程的正整数解，解题的关键是将x看作已知数表示出y和不等式的基本性质的充分运用．
例题2，某工厂有Ⅰ型原料214kg，Ⅱ型原料230kg．现用这两种原料生产出甲，乙两种产品共40件．已知生产每件甲产品需Ⅰ型原料6kg，Ⅱ型原料5kg，且每件甲产品可获利900元；生产每件乙产品需Ⅰ型原料4kg，Ⅱ型原料7kg，且每件乙产品可获利1100元．设生产甲产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产甲，乙两种产品的方案有哪几种；
（2）请你求出生产这40件产品可利润最大的方案，并求出最大利润．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）根据生产甲、乙两种产品所需要的Ⅰ型、Ⅱ型两种原料列出不等式组，然后求解即可；（2）根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，用含x代数式表示总利润，然后根据实际意义求出最大利润即可．
【解答】（1）根据题意得 ，
解得25≤x≤27，
∵x是正整数，
∴x=25、26、27.
共有三种方案：
方案一：甲产品25件，乙产品15件，方案二：甲产品26件，乙产品14件，方案三：甲产品27件，乙产品13件；
（2）根据题意得：总利润=900x+1100（40x）=44000﹣200x，
因为总利润随x的增大而减小，
所以x=25时，总利润有最大值，
所以总利润=44000－200x=44000200×25=28000元．
答：利润最大的方案是方案一：甲产品25件，乙产品15件，最大利润为39000元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．

【夯实基础】
1、为丰富学生的课外活动，学校决定再增加一些体育器材．经了解，每副网球拍80元，每副乒乓球拍50元．若学校要购买的乒乓球拍比网球拍多10副，乒乓球拍和网球拍总数不低于50副，总费用不超过3360元，则所有符合条件的购买方案为（ ）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2、某旅游团一共17人，准备用不多于293元钱为每人买旅行包一个，今有15元旅行包和13元旅行包两种，已知至少有12个人要15元旅行包，请问购买的方案有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
3、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只．则鸡的只数为（ ）．
A．41只 B．40只 C．39只 D．37只
4、已知一个两位数的个位数比十位数大3，个位数字与十位数字之和小于16，将个位数字与十位数字对调后，新得到的两位数与原来的两位数之和大于164，则原来的两位数是（ ）
A．36 B．47 C．58 D．69
5、若干学生分住宿舍，每间5人余32人；每间住9人有一间不空也不满，则宿舍有 间，学生 人.
6、某单位购买B商品的件数比购买A商品的件数的4倍少6件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于44件，且该单位购买的A、B两种商品的总费用不超过552元，已知A种商品的单价为18元、B种商品的单价为8元，若购买A商品a件，那么a的取值范围是 .
7、已知，，若，则实数a的值为　 　．
8、某班为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共15件．其中甲种奖品每件6元，乙种奖品每件5元.
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了83元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，总花费不超过82元，求该班有哪几种不同的购买方案？
【提优特训】
9、要制作一个长方形框架，这个框架的宽为36cm，面积不大于1500cm2，设长的长度xcm应满足的不等式组为（　　）
A． B． C． D．
10、现有住宿学生若干名，分住宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则下列所列的不等式组不正确的是(???????? )
A． B．
C． D．
11、一条铁路上有A，B，C，D，E五个站点，各站之间的距离如图所示（单位：km)，一列火车7:30从A站开出，向E站行驶，速度为80km/h，每站停车约4min.这列火车何时（ ）行驶在D站与E站之间（不包括D站，E站）的铁路线上.
A．9时～10时 B．9时27分～10时
C．9时27分～10时12分 D．9时～10时12分
12、已知a，b是实数，关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组是（　）
A． B．
C． D．
13、运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>116”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，
那么x的取值
范围是 .
14、已知关于x、y的二元一次方程组的解都是正整数，则整数a= __．
15、为减少城市污染，某市污水处理厂决定购买甲、乙两型污水处理设备共35台，对污水进行处理，每台甲型污水处理设备14万元，每台乙型污水处理设备12万元．已知2台甲型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1180吨，3台甲型污水处理设备和4台乙型污水处理设备每周可以处理污水1660吨．
（1）求甲、乙两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？
（2）经预算，污水处理厂购买设备的资金不超过450万元，每周处理污水的量不低于8220吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？
　
16、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：?
例题：（1）求分式不等式的解集
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
∵
∴得或
解不等式组①，得x>5，解不等式组②，得x<3，
∴的解集为x>5或x<3，?
（2）求一元二次不等式x225<0的解集；?
解：（1）∵x225=（x+5）（x5）
∴x225<0可化为 （x+5）（x5）<0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，
得或
解不等式组①，无解，
解不等式组②，得5∴（x+5）（x5）<0的解集为5即一元二次不等式x2﹣25＞0的解集为517、某旅游团35名游客自发筹集到1320元资金，用于旅途的各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于458元但不超过470元的资金用于拍照，其余资金用于给游客购买一顶防晒帽或一本制作精美的旅游纪念册．已知每顶防晒帽26元，每本纪念册20元．
（1）设用于购买顶防晒帽和纪念册总费用为W元，购买防晒帽件数x（件），请你用含有x的代数式表示W．
（2）购买顶防晒帽和纪念册有哪几种方案？为使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．
【中考链接】
18、2018湖北咸宁22．（10.00分）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　　辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
19、2018湖北恩施22．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
20、2018四川绵阳21.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨。
（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费话费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？

21、2018年四川省内江21．（10分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．
（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
参考答案
1、C 2、B 3、D 4、D 5、9、77 6、10≤a≤12 7、a=5 9、B 10、A 11、C 1
2、D 13、 14、
8、分析?（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了y件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了83元列方程组，然后解方程组求出x，y即可；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（15-x）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，总花费不超过82元列不等式组，然后解不等式组后确定x的整数值即可得到该班的购买方案．
解答（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了y件，
根据题意得，
解得
答：甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了7件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（15x）件，
根据题意得，解得，
∵x为整数，
∴x=6或x=7，
当x=6时，15x=9；当x=7时，15x=8；
答：该班有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了6件，乙种奖品购买了9件或甲种奖品购买了7件，乙种奖品购买了8件．
点评?本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题.
15、【解答】（1）设甲型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，乙型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，
根据题意，得
解得，
即甲型污水处理设备每周每台可以处理污水260吨，乙型污水处理设备每周每台可以处理污水220吨；
（2）设购买甲型污水处理设备x台，则购买乙型污水处理设备（35﹣x）台，
则
解得13≤x≤15，
第一种方案：当x=13时，35﹣x=22，花费的费用为：13×14+22×12=446万元；
第二种方案：当x=14时，35﹣x=21，花费的费用为：14×14+21×12=448万元；
第三种方案；当x=15时，35﹣x=20，花费的费用为：15×14+20×12=450万元；
即购买甲型污水处理设备13台，则购买乙型污水处理设备22台时，所需购买资金最少，最少是446万元．
16、仿照上述方法解下列不等式：（1）； （2）.
解答：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
∵（1）
∴或
解得：解不等式组①，无解；解不等式组②，得5∴的解集为5（2）∵

∴可化为 <0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”， 得
或
解不等式组①，得4解不等式组②，无解，
∴不等式的解集为417、分析?（1）设购买的防晒帽x件，则购买纪念册（35-x）件，根据总价=单价×数量，即可用含有x的代数式表示W；
（2）由购买防晒帽和纪念册总费用范围，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x值，从而得出各购买方案，再得出W的最小值，选取该方案即可．
解答?解：（1）设购买防晒帽x件，则购买纪念册（35-x）件，
根据题意得：W=26x+20×（35-x）=6x+700．
（2）根据题意得：，解得：25≤x≤27，
∴有三种购买方案：
方案一：购买25件防晒帽、10纪念册，总费用W=6×25+700=850（元）；
方案二：购买26件防晒帽、9纪念册，总费用W=6×26+700=856（元）；
方案三：购买27件防晒帽、8纪念册，总费用W=6×27+700=862（元）.
∴当x=25时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，
∴为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买25件防晒帽、10纪念册．
点评?本题考查了一元一次不等式组的应用和根据实际意义确定最省方案；解题的关键是：（1）根据总价=单价×数量，找出用含x的代数式表示W；（2）根据W的范围，列出关于x的一元一次不等式组．
18、2018湖北咸宁
【分析】（1）设出老师有x名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；
（2）根据汽车总数不能小于（取整为8）辆，即可求出；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，得出x取值范围，分析得出即可．
【解答】解：（1）设老师有x名，学生有y名．
依题意，列方程组为，
解之得：，
答：老师有16名，学生有284名；
（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能大于8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为8）辆，
综合起来可知汽车总数为8辆；
故答案为：8；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，
∵车总费用不超过3100元，
∴400x+300（8﹣x）≤3100，
解得：x≤7，
为使300名师生都有座，
∴42x+30（8﹣x）≥300，
解得：x≥5，
∴5≤x≤7（x为整数），
∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆
19、2018湖北恩施
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
【解答】解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，
，
解得，，
∴a=10、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
（3）设总费用为W元，
W=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，
所以当a=10时，W取得最小值，此时W=210000，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
20、2018四川绵阳
【考点】二元一次方程组的其他应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨可列出二元一次方程组，解之即可得出答案.（2）设大货车有m辆，则小货车10-m辆，根据题意可列出一元一次不等式组，解之即可得出m范围，从而得出派车方案，再由题意可得W=130m+100(10-m）=30m+1000，根据实际意义从而得当m=8时，运费最少.
【答案】（1）解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
依题可得：，
解得：.
答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货吨。
（2）解：设大货车有m辆，则小货车10-m辆，依题可得：
4m+ （10-m）≥33
m≥0
10-m≥0
解得：≤m≤10，
∴m=8，9，10；
∴当大货车8辆时，则小货车2辆；
当大货车9辆时，则小货车1辆；
当大货车10辆时，则小货车0辆；
设运费为W=130m+100(10-m）=30m+1000，
所以当m=8时，运费最少，
则W=30×8+1000=1240（元），
答：货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用.
21、2018年四川省内江
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，根据花费的钱数不超过7.5万元以及A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为W元．再根据实际意义即可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，
根据题意得：，
解得：≤a≤30，
∵a为解集内的正整数，
∴a=27，28，29，30.
∴有4种购机方案：
方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；
方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；
方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；
方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为W元．
根据题意，得W=500a+600（40﹣a）=24000﹣100a，
所以当a=27时，能获得最大利润．此时W=﹣100×27+24000=21700（元）．
因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．
答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键．