第三章：圆的基本性质能力提升测试
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）
A.43° ??? B.35°???? C.34°???? D.44°
2.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝，一条直角边BC＝.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于( )
A．4 B．6 C．2 D．8
4.如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5.则CD的长为( )
A． B． C． D．
5.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的半径为6,则阴影部分的面积为( ) A.? B.? C. D.?
6．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于( )
A. B. C．4 D．3
7.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形EDF，点C恰在上，则图中阴影部分的面积为( )
A. B． C. D.
8.如图，扇形AOB中，∠AOB＝150°，AC＝AO＝6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为( )
A． B. C. D．
9．如图A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
10.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BH，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④.其中一定成立的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为的中点，若∠A＝40°，则∠B＝________
12.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠D＝20°，则∠A＝____________
13.半径为2cm的⊙O中有长为cm的弦AB，则弦AB所对的圆周角度数为_______________
14.如图,等腰△ABC内接于⊙O,已知BC平分∠ABD,∠ABC=30°,BD是⊙O的直径,如果CD=1，
则AD=____________
15.已知在圆内接△ABC中，AB＝AC，圆心O到BC的距离为3，圆的半径为7，则腰
16．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2CE；④劣弧AE是劣弧BD度数的2倍；⑤AE＝BC.其中正确结论的序号是___________________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17(本题6分）如图.AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点D，∠A＝30°，求∠DBC的度数．
18.（本题8分）如图18，在锐角三角形ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心，AC为直径作⊙O，交BC于点E，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，连结AE，AD，DC.
求证：(1)D是的中点；(2)∠DAO＝∠B＋∠BAD.
19.（本题8分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：________；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
20(本题10分）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F.
(1)请写出三条与BC有关的正确结论；(2)当∠D＝30°，BC＝1时，求图中阴影部分的面积．
21（本题10）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．
(1)如图1，求证：OP∥BC；(2)如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．
22．(本题12分)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD.
(1)求证：∠ACH＝∠CBD；(2)求证：P是线段AQ的中点；(3)若⊙O的半径为5，BH＝8，求CE的长．
23（本题12分）.如图，AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC,垂足为E，若BC=6，DE=3．
求：(1) ⊙O的半径；(2)弦AC的长； (3)阴影部分的面积．
第三章：圆的基本性质能力提升测试答案
一．选择题：
1.答案：B
解析：∵∠A=42°，∠APD=77°，∴，
∴，故选择B
2.答案：B
解析：小明的画法是，画线段AB=，画AB的垂直平分线，找到AB的中点O，以O为圆心，以为半径画圆，过B画弦BC=，连接AC，即完成所作，故，依据为直径所对的圆周角是直角，故选择B
3.答案：A
解析：过O作，连接OA，
∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴，故选择A
4.答案：B
解析：连接OC，∵，
∴，∴AB是直径，∴，
∵，∴，
在中，，
∴，故选择B
5.答案：B
解析：连接OB，OC，
∴，
故选择B
6.答案：D
解析：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，∴
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，∴CH=BH，
∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3．
∴点A到弦BC的距离为：3．
故选择D
7.答案：D
解析：连接DC，分别过D作，
在中，∵D是AB的中点，且AB=2，
∴DC=1，∴，
∵，
∴△DHQ≌△DKP，∴，
∴，故选择D
8.答案：C
解析：∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，
∴OD⊥AC，∴AD＝AO，
∴∠AOD＝30°，OD＝3，同理可得：∠BOE＝30°，
∴∠DOE＝150°－60°＝90°，
∴点D所经过路径长为. 故选C；
9.答案：D
解析：连接OC，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，故选择D
10.答案：C
解析：∵DC平分∠PCH，∴，
∵，∴，
∵DC=DC，∴△DPC≌△DHC（AAS）
∴，故①正确；
∵∠BDC是弧BC所对的圆周角，∠DBC是弧DC所对的圆周角，
∴，
∵，，
，
∵，
∴，∴，故②正确；
∵，，，
∴△APD≌△AHD（AAS）∴，故③正确；
∵条件没有给出，故④错误，
故正确答案：①②③共3个，故选择C
二．填空题：
11.答案：
解析：连接AC，∵C为的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，∴，
∴
12.答案：
解析：连接OC，∵直径，
∴，
∵，∴，
∴，∴
13.答案：或
解析：如图：∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴
14.答案：
解析：∵，
∵BC平分∠ABD，∴，
∵BD是直径，∴△BCD为直角三角形，
∵，
在中，
15.答案：或
解析：如图1，作，∵AB=AC，连接AO，∴A，O，E在同一直线上，
∵OB=7，OE=3，∴，
∴，
如图2，在中，
16.答案：①②④
解析：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴，
∵，∴，故②正确，
∴，
∴，故①正确；
∵AB是直径，∴，
∵，∴，
∴，∴，故③错误；
∵，∴弧AE的度数为，
∵，∴弧BD的度数为，
∴弧AE的度数为弧BD的度数的2倍，故④正确；
∵在直角三角形中，，
∴，故⑤错误，
故正确的答案为：①②④
三．解答题：
17.解析：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
又∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠DBC＝15°.
18.解析：(1)∵AC是⊙O的直径，∴AE⊥BC.
又∵OD∥BC，∴OD⊥AE，
∴D是的中点．
(2)∵D是的中点，∴，
∴∠ACD＝∠DAE.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠DAO＋∠ACD＝90°.
∵AE⊥BC，∴∠B＋∠BAD＋∠DAE＝90°，
∴∠DAO＝∠B＋∠BAD.
19.解析：解析：(1)∵，，∴△ABC为等边三角形；
(2)PA＋PB＝PC.
如图①，在PC上截取PD＝PA, 连结AD.
∵∠APC＝60°，
∴△PAD是等边三角形，
∴PA＝AD, ∠PAD＝60°，
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAB＝∠DAC.
又∵AB＝AC，∴△PAB≌△DAC，
∴PB＝DC.
∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
(3)如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵S△PAB＝AB·PE，
S△ABC＝AB·CF，
∴S四边形APBC＝AB(PE＋CF).
当点P为的中点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝.
∴S四边形APBC＝×2×＝.
故当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，最大面积为.
20解析：(1)BC＝BD，BC⊥AC，BC＝2OF等；
连结OC.∵∠A＝∠D＝30°，
∴AB＝2BC＝2.∵AC2＝AB2－BC2，∴AC＝.
∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
∵AO＝BO＝AB＝1，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF＝BC＝.
∵∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠AOC＝120°，
∴S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝
21.解析：（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，
∵P是弧AC的中点，∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，∴OP∥BC; (2)如图2，
∵P是弧AC的中点，
∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠PAO＝∠PCO，当DO＝DC，
设∠DCO＝x，则∠DOC＝x，∠PAO＝x，
∴∠OPC＝∠OCP＝x，∠PDO＝2x，
∵∠OPA＝∠PAO＝x，∴∠POD＝2x，
在△POD中，x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，即∠PAO＝36°；
当CO＝CD，设∠DCO＝x，
则∠OPC＝x，∠PAO＝x，
∴∠POD＝2x，∴∠ODC＝∠POD＋∠OPC＝3x，
∵CD＝CO，∴∠DOC＝∠ODC＝3x，
在△POC中，x＋x＋5x＝180°，
解得x＝，即∠PAO＝.
综上所述，∠A的度数为36°或
22.解析：（1）∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴AB垂直平分CE，即H为CE中点，弧AC＝弧AE，
又∵C是的中点，∴弧AC＝弧CD，
∴弧AC＝弧CD＝弧AE，∴∠ACH＝∠CBD；
（2）由(1)知，∠ACH＝∠CBD，
又∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠ACH＝∠CAD，∴AP＝CP.
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠PCQ＝90°－∠ACH，
∠PQC＝∠BQD＝90°－∠CBD，
∴∠PCQ＝∠PQC，∴PC＝PQ，
又∵AP＝CP，∴AP＝PQ，∴P是线段AQ的中点；
（3）连结OC，∵BH＝8，OB＝OC＝5，
∴OH＝3，∴由勾股定理得：CH＝，
由(1)知：CH＝EH＝4，∴CE＝8.
23.解析：（1）∵，∴，
设圆的半径为，在中，，
∴，解得：；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴，
在中，∵，；
（3）∵，∴为等边三角形，
∴，
∴，，
∴
