第三章：圆的基本性质综合测试
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠AOD等于( )
A．160° B．150° C．140° D．120°
2．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则阴影部分的面积( )
A．大于S△AOB B．等于S△AOB词 C．小于S△AOB D．不能确定与S△AOB的大小关系
3．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A = 72°，则∠BCO的度数为( )
A.15° B.18° C.20° D.28°
4.如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，CB，已知⊙O的半径为2，AB=,
则∠BCD的大小为( )
A. B. C. D.
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为，则弦CD的长为（ ）
A. B.3 C. D.9
6.如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，
设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ） A. 26° B. 64° C. 52° D. 128°
8.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
9.如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD＝______________
12.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为___________
13．在半径为5 cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则弦AB与CD之间的距离为__________
14.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为________
15.如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=
16.如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B走了 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：，π取3.142）
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.
（1）求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，求出劣弧的长.
18（本题8分）．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
19（本题8分）．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
20（本题10分）．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
21．(本题10分) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
22（本题12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
23（本题12分）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
第三章：圆的基本性质综合测试答案
一．选择题：
1.答案：C
解析：∵直径AB，∴，
∴，
∵，
故选择C
2.答案：B
解析：∵
故选择B
3.答案：B
解析：连接OB，∵，
∴，∴，
∵，
∴，故选择B
4.答案：A
解析：由垂径定理得，
又∵，
又，故选择A
5.答案：B
解析: 在Rt△COE中，∠COE=2∠CDB=60°，OC=，
∴OE=，．
由垂径定理知，故选B．
6.答案：A
解析:∵OA=OC,AC=6,∴OA=OC=3.
又CP=PD,连接OP,可知OP是△ADC的中位线,
∴所以OP=,
∴OP＜OC,即点P在⊙O内.
7.答案：C
解析：∵∠C=90°，∠A=26°， ∴∠B=64°， ∵CB=CD， ∴∠CDB=∠B=64°， ∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°， ∴的度数为52°． 故选：C．
8.答案：C
解析：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故选：C．
9.答案：B
解析：连接DC，
∵C（，0），D（0，1），
∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选：B．
10.答案：B
解析：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB=，
故选：B．
二．填空题：
11.答案：
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴
12.答案：
解析：
13.答案：1或7
解析：如图：（1），
∴，
如图（2），
故答案：1或7
14.答案：2
解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
而OB=OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=AC=×4=2．
故答案为2．
15.答案：
解析：∵点C是半径OA的中点，
∴OC=OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠DFA=30°，
故答案为：30°
16.答案：15
解析：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，
∴AB=2AC=20≈69（步）；
而的长=（步）
的长与AB的长多15步．
所以这些市民其实仅仅少B走了 15步．
故答案为15．
三．解答题：
17.解析：（1）如图所示；
（2）∵AC＝1，AB＝2，∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，∠A＝60°，连结OC，则∠BOC＝120°
OC＝OB＝1，所以劣弧的长l＝.
18.解析：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，
设OB=x，又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，∴∠D=30°．
19.解析：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，∴CB∥PD；
（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为：．
20.解析：（1）在△AEB和△DEC中
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB=60°；
（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，
∵EG=2，∴EF=1，
又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，∴BC=5，
作BM⊥AC于点M，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，
∴CM=，BM=，
∴AM=AC﹣CM=，
∴AB=．
21.解析：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°．
∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE．
∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB．
（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形．
∵EO ⊥CD，∴CF＝DF，
∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC．
∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，
∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°．
∴△ABE是等边三角形．
22.解析：（1）∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，
∵AB=AC，∴BE=CE，
∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD=x．连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）
∴AC=8，BD=，
∴S菱形ABFC=．
∴S半圆=?π?42=8π．
23.解析：（1）如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴
∴，∴，
∴，∠BAC=30°，∠ACB=60°
∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=AC，∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
