浙教版九上 圆（3.1-3.4）较难题专练【解析版】
文档属性
| 名称 | 浙教版九上 圆（3.1-3.4）较难题专练【解析版】 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 194.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-10-21 19:01:56 | ||
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文档简介
浙教版九上 圆（3.1-3.4）较难题专练
1.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
（3）若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
【答案】（1）解：如图： （2）解：如图：作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB， ∵△ABC为等腰三角形，BC=10 cm， ∴BD=CD=5cm， ∵AB=6 cm， 在Rt△ABD中， ∴AD=， 在Rt△OBD中， ∴R2=52+（R-）2 ， ∴R=. 即圆片的半径为. （3）解：由（2）知R=. ∵3＜＜4， ∴4.5＜＜6， 又∵n＜R＜m， ∴n=5，m=6
【考点】垂径定理的应用，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O. （2）作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，根据等腰三角形的性质和垂径定理可知BD=CD=5cm，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD；在Rt△OBD中，由勾股定理求得半径R. （3）由3＜＜4，从而估算的范围，从而得出m、n的值.
2.????????????????????????????????????????????????????????????
（1）问题提出 如图1，点A为线段BC外一动点，且 ，填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________ 用含 的式子表示 ．
（2）问题探究 点A为线段BC外一动点，且 ，如图2所示，分别以 为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接 ，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
（3）问题解决： ①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点P为线段AB外一动点，且 ，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 如图4，在四边形ABCD中， ，若对角线 于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
【答案】（1）CB的延长线上； （2）解： ， 理由：∵ 与 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 即 ， 在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ； ②∵线段BE长的最大值 线段CD的最大值， ∴由 知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上， ∴最大值为 （3）解：①如图5，连接BM，将 绕着点P顺时针旋转 得到 ，连接AN，则 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ 的坐标为 ，点B的坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∴线段AM长的最大值 线段BN长的最大值， ∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值， 最大值 ， ∵ ， ∴最大值为 ； 如图6，过P作 轴于E， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ? ②如下图7，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可， ∵ 定值， ， ∴点D在以BC为直径的 上运动， 由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高， ∵BC= ， ∴DM最大= ， ∴AC最大=
【考点】三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且 ， ∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 ， 故答案为：CB的延长线上， ； 【分析】（1）由三角形三边关系定理可知，三角形任意两边之和大于第三边，当点A在CB的延长线上时，两边之和等于第三边，所以当点A在CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b; （2）根据等边三角形的性质用边角边易证得△CAD≌△EAB，则BE=CD；由（1）中的结论可得BE的最大值=AB+AE； （3）①根据已知条件PM=PB可将△APM绕着点P顺时针旋转90度 得到△PBN，连接AN，BM，由旋转的性质可求解； ②由题意可作辅助线，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM，并作出三角形BCD的外接圆，用边角边易证得△ABC≌△DBM，则AC=DM，要求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由圆的性质可知，当DM过圆心时，DM最大，即由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，且最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高。
3.如图①，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α.
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图②，G为BC中点，且0°<α<90°，求证：GD′＝E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CE=CH=1，∴△CEH为等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴∠α=30° （2）证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∵CD′=CD，∠GCD=∠DCE′，CG=CE′，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D （3）解：能． 理由如下： ∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=（360°-90°）÷2=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′= ∠BCD=45°，则α=360°﹣90°÷2=315°，即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等
【考点】三角形全等的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质对应边不变，得出等腰直角三角形，再求出∠α。（2）根据旋转前后的两个图形全等，边角相等，再利用三角形全等得出边对应相等。（3）根据三角形全等，旋转的性质进行判断.
4.如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），C（0，4），点O′为x轴上一点，⊙O′过A，C两点交x轴于另一点B．
（1）求点O′的坐标；
（2）已知抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点，且与⊙O′交于另一点E，求抛物线的解析式，并直接写出点E 坐标；
（3）设点P（t，0）是线段OB上一个动点，过点P作直线l⊥x轴，交线段BC于F，交抛物线y=ax2+bx+c于点G，请用t表示四边形BPCG的面积S；
（4）在（3）的条件下，四边形BPCG能否为平行四边形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1中，连接CO′，设⊙O′的半径为R． 在Rt△OCO′中，∵OC2+OO2=CO′2 ， ∴42+（R﹣2）2=R2 ， ∴R=5， ∴OO′=5﹣2=3， ∴O′（3，0）． （2）解：∵A（﹣2，0），C（0，4），B（8，0）， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4． 易知E、C关于对称轴对称， ∴点E的纵坐标为4， ∴E（6，4） （3）解：由题意G（t，﹣ t2+ t+4）， ∴S四边形BPCG= ?PG?（Bx﹣Cx）= ?（﹣ t2+ t+4）?8=﹣t2+6t+16（0＜t＜8） （4）解：不可能是平行四边形． 理由：假设CG∥BP，此时G与E重合，CE=OP=6，BP=OB﹣OP=2， ∴CE≠BP， ∴四边形BPCG不可能是平行四边形．
【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）如图1中，连接CO′，设⊙O′的半径为R．在Rt△OCO′中，根据OC2+OO2=CO′2 ， 可得42+（R-2）2=R2 ， 解方程求出求点O′的坐标； （2）把A（-2，0），C（0，4），B（8，0）代入抛物线抛物线y=ax2+bx+c，求抛物线的解析式即点E 坐标； （3）根据S四边形BPCG=?PG?（Bx-Cx），即可用t表示四边形BPCG的面积S （4）不可能是平行四边形．假设CG∥BP，此时G与E重合，CE=OP=6，BP=OB-OP=2，推出CE≠BP，即可得到所求结论..
5.问题提出
（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________（用含a，b的式子表示）．
（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
（4）如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC= ，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
【答案】（1）CB延长线上；a+b 问题探究 （2）解：①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD与△EAB中， ，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE； ②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=3+6=9； 问题解决： （3）解：如图1，连接BM． ∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM．∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN．∵AN= AP=2 ，∴最大值为2 +3； 如图2，过P作PE⊥x轴于E． ∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE= ，∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣ =2﹣ ，∴P（2﹣ ）． （4）解：如图4中， 以BC为边作等边三角形△BCM．∵∠ABD=∠CBM=60°，∴∠ABC=∠DBM．∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可．∵BC=4 =定值，∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2 +2 ，∴AC的最大值为2 +2 ．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b． 【分析】（1）由线段的构成可知，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b； （2）①CD=BE，理由：由等边三角形的性质可得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，所以∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD与△EAB中，用边角边可证得△CAD≌△EAB（SAS），所以CD=BE； ②由①得，CD=BE，所以线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，所以线段BE长的最大值为BD+BC=AB+BC=3+6=9； （3）如图1，连接BM．因为PM=PB，所以将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，由旋转的性质可得△APN是等腰直角三角形，所以PN=PA=2，BN=AM．而已知A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），所以OA=2，OB=5，则AB=OB-OA=3，所以线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，由（1）知，当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN．因为AN=2AP=2，∴最大值为2+3； 如图2，过P作PE⊥x轴于E．根据等腰直角三角形的性质可得PE=AE=，OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3-=2-，所以P（2-，）； （4）以BC为边作等边三角形△BCM．由等边三角形的性质可得∠ABD=∠CBM=60°，所以∠ABD+∠DBC=∠CBM+∠DBC，即∠ABC=∠DBM，用边角边可证得△ABC≌△DBM，所以AC=MD，而当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2+2，所以AC的最大值为2+2.
1.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
（3）若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
【答案】（1）解：如图： （2）解：如图：作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB， ∵△ABC为等腰三角形，BC=10 cm， ∴BD=CD=5cm， ∵AB=6 cm， 在Rt△ABD中， ∴AD=， 在Rt△OBD中， ∴R2=52+（R-）2 ， ∴R=. 即圆片的半径为. （3）解：由（2）知R=. ∵3＜＜4， ∴4.5＜＜6， 又∵n＜R＜m， ∴n=5，m=6
【考点】垂径定理的应用，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O. （2）作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，根据等腰三角形的性质和垂径定理可知BD=CD=5cm，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD；在Rt△OBD中，由勾股定理求得半径R. （3）由3＜＜4，从而估算的范围，从而得出m、n的值.
2.????????????????????????????????????????????????????????????
（1）问题提出 如图1，点A为线段BC外一动点，且 ，填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________ 用含 的式子表示 ．
（2）问题探究 点A为线段BC外一动点，且 ，如图2所示，分别以 为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接 ，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
（3）问题解决： ①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点P为线段AB外一动点，且 ，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 如图4，在四边形ABCD中， ，若对角线 于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
【答案】（1）CB的延长线上； （2）解： ， 理由：∵ 与 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 即 ， 在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ； ②∵线段BE长的最大值 线段CD的最大值， ∴由 知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上， ∴最大值为 （3）解：①如图5，连接BM，将 绕着点P顺时针旋转 得到 ，连接AN，则 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ 的坐标为 ，点B的坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∴线段AM长的最大值 线段BN长的最大值， ∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值， 最大值 ， ∵ ， ∴最大值为 ； 如图6，过P作 轴于E， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ? ②如下图7，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可， ∵ 定值， ， ∴点D在以BC为直径的 上运动， 由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高， ∵BC= ， ∴DM最大= ， ∴AC最大=
【考点】三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且 ， ∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 ， 故答案为：CB的延长线上， ； 【分析】（1）由三角形三边关系定理可知，三角形任意两边之和大于第三边，当点A在CB的延长线上时，两边之和等于第三边，所以当点A在CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b; （2）根据等边三角形的性质用边角边易证得△CAD≌△EAB，则BE=CD；由（1）中的结论可得BE的最大值=AB+AE； （3）①根据已知条件PM=PB可将△APM绕着点P顺时针旋转90度 得到△PBN，连接AN，BM，由旋转的性质可求解； ②由题意可作辅助线，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM，并作出三角形BCD的外接圆，用边角边易证得△ABC≌△DBM，则AC=DM，要求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由圆的性质可知，当DM过圆心时，DM最大，即由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，且最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高。
3.如图①，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α.
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图②，G为BC中点，且0°<α<90°，求证：GD′＝E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CE=CH=1，∴△CEH为等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴∠α=30° （2）证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∵CD′=CD，∠GCD=∠DCE′，CG=CE′，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D （3）解：能． 理由如下： ∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=（360°-90°）÷2=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′= ∠BCD=45°，则α=360°﹣90°÷2=315°，即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等
【考点】三角形全等的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质对应边不变，得出等腰直角三角形，再求出∠α。（2）根据旋转前后的两个图形全等，边角相等，再利用三角形全等得出边对应相等。（3）根据三角形全等，旋转的性质进行判断.
4.如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），C（0，4），点O′为x轴上一点，⊙O′过A，C两点交x轴于另一点B．
（1）求点O′的坐标；
（2）已知抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点，且与⊙O′交于另一点E，求抛物线的解析式，并直接写出点E 坐标；
（3）设点P（t，0）是线段OB上一个动点，过点P作直线l⊥x轴，交线段BC于F，交抛物线y=ax2+bx+c于点G，请用t表示四边形BPCG的面积S；
（4）在（3）的条件下，四边形BPCG能否为平行四边形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1中，连接CO′，设⊙O′的半径为R． 在Rt△OCO′中，∵OC2+OO2=CO′2 ， ∴42+（R﹣2）2=R2 ， ∴R=5， ∴OO′=5﹣2=3， ∴O′（3，0）． （2）解：∵A（﹣2，0），C（0，4），B（8，0）， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4． 易知E、C关于对称轴对称， ∴点E的纵坐标为4， ∴E（6，4） （3）解：由题意G（t，﹣ t2+ t+4）， ∴S四边形BPCG= ?PG?（Bx﹣Cx）= ?（﹣ t2+ t+4）?8=﹣t2+6t+16（0＜t＜8） （4）解：不可能是平行四边形． 理由：假设CG∥BP，此时G与E重合，CE=OP=6，BP=OB﹣OP=2， ∴CE≠BP， ∴四边形BPCG不可能是平行四边形．
【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）如图1中，连接CO′，设⊙O′的半径为R．在Rt△OCO′中，根据OC2+OO2=CO′2 ， 可得42+（R-2）2=R2 ， 解方程求出求点O′的坐标； （2）把A（-2，0），C（0，4），B（8，0）代入抛物线抛物线y=ax2+bx+c，求抛物线的解析式即点E 坐标； （3）根据S四边形BPCG=?PG?（Bx-Cx），即可用t表示四边形BPCG的面积S （4）不可能是平行四边形．假设CG∥BP，此时G与E重合，CE=OP=6，BP=OB-OP=2，推出CE≠BP，即可得到所求结论..
5.问题提出
（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________（用含a，b的式子表示）．
（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
（4）如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC= ，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
【答案】（1）CB延长线上；a+b 问题探究 （2）解：①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD与△EAB中， ，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE； ②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=3+6=9； 问题解决： （3）解：如图1，连接BM． ∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM．∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN．∵AN= AP=2 ，∴最大值为2 +3； 如图2，过P作PE⊥x轴于E． ∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE= ，∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣ =2﹣ ，∴P（2﹣ ）． （4）解：如图4中， 以BC为边作等边三角形△BCM．∵∠ABD=∠CBM=60°，∴∠ABC=∠DBM．∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可．∵BC=4 =定值，∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2 +2 ，∴AC的最大值为2 +2 ．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b． 【分析】（1）由线段的构成可知，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b； （2）①CD=BE，理由：由等边三角形的性质可得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，所以∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD与△EAB中，用边角边可证得△CAD≌△EAB（SAS），所以CD=BE； ②由①得，CD=BE，所以线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，所以线段BE长的最大值为BD+BC=AB+BC=3+6=9； （3）如图1，连接BM．因为PM=PB，所以将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，由旋转的性质可得△APN是等腰直角三角形，所以PN=PA=2，BN=AM．而已知A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），所以OA=2，OB=5，则AB=OB-OA=3，所以线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，由（1）知，当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN．因为AN=2AP=2，∴最大值为2+3； 如图2，过P作PE⊥x轴于E．根据等腰直角三角形的性质可得PE=AE=，OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3-=2-，所以P（2-，）； （4）以BC为边作等边三角形△BCM．由等边三角形的性质可得∠ABD=∠CBM=60°，所以∠ABD+∠DBC=∠CBM+∠DBC，即∠ABC=∠DBM，用边角边可证得△ABC≌△DBM，所以AC=MD，而当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2+2，所以AC的最大值为2+2.
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