数形结合
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课件23张PPT。数形本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数流一体，永远联系莫分离。
—— 华罗庚数形结合思想
思想解读高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：
（1）集合问题中Venn图的运用；
（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；
（3）函数图象的应用；
（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；
（5）解析几何、立体几何中的应用。总纲目录应用一????解决方程的根或函数的零点问题
例 已知点（3，1）恰好落在函数
f(x)= ?的图象上,
若函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,
则实数m的取值范围是?( )
A.? ????B.? CD. (1,+∞)解析 点(3,1)在图像上,∴loga3=1,∴a=3.
令f(x)-mx+2=0,得f(x)=mx-2,在同一坐标 系中作出y=f(x)与y=mx-2的图象,易得?? 答案????B【技法点评】 (1)本题利用了数形结合思想,把函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点转化为函数y=f(x)与y=mx-2的图象有三个不同的交点.
(2)利用数形结合探究方程解的问题应注意两点
①讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解.
②正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键.跟踪集训
1.(2017江西南昌第一次模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时, f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数是?(????)
A.0 ????B.1 ????C.2 ????D.3? 2.已知函数f(x)=? 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范 围是 ????.答案 (3,+∞)应用二????求解不等式或参数问题
例 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,
f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是 ???????.答案 (-∞,-3)∪(0,3)
解析 设F(x)=f(x)g(x),因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函 数,所以F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.
又当x<0时,F'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,
所以x<0时,F(x)为增函数.
因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x>0时,F(x)也是增函数.
因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).
所以,由图可知F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).【技法点评】 (1)本题利用了数形结合思想,由条件判断函数的单调性,再结合g(-3)=0以及函数的奇偶性,利用图象求x的取值范围.
(2)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算.跟踪集训
若不等式|x-2a|≥?x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范围是 ???? ???.解析 在同一坐标系中,作出y=|x-2a|和y=?x+a-1的简图.依题意可知2a
≤2-2a,解得a≤?.
? 答案????? 应用三????解决最值问题
例 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为?( )
A.7 ????B.6 ????C.5 ????D.4
答案????B 根据题意,画出示意图,如图所示,连接OP,易知|OP|= ?|AB|=
m.
要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|= ?=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.
? 【技法点评】解答此类题目要注意：
1.清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既要分析其几何意义又要分析其代数意义；
2.要恰当设立参数，合理建议关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；要正确确定参数的取值范围。跟踪集训
对a,b∈R,记max｛a,b｝= , 函数 f(x)=max｛|x+1|,|x-2|｝(x∈R)的最小值是 ???.a, a≥b
b, a1.数形结合思想是解题的一种常用的方法和技巧，特别是在解有些选择、填空题时，显得更为简洁、方便。
2.画图力求做到规范快速，这里指的规范主要是：特殊点（定点、顶点、极值点、对称点、焦点、端点、中点等）特殊线（准线、对称轴、切线、渐近线、连心线、交线等），单调性等涉及图像重要性质的点和线必须标注清晰、完整，图形可草不可乱。
作业布置1.思考并完成学案上的作业题目
2.温习高中阶段所学的图像性质特点（下节课提问）
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数流一体，永远联系莫分离。
—— 华罗庚数形结合思想
思想解读高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：
（1）集合问题中Venn图的运用；
（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；
（3）函数图象的应用；
（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；
（5）解析几何、立体几何中的应用。总纲目录应用一????解决方程的根或函数的零点问题
例 已知点（3，1）恰好落在函数
f(x)= ?的图象上,
若函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,
则实数m的取值范围是?( )
A.? ????B.? CD. (1,+∞)解析 点(3,1)在图像上,∴loga3=1,∴a=3.
令f(x)-mx+2=0,得f(x)=mx-2,在同一坐标 系中作出y=f(x)与y=mx-2的图象,易得?
(2)利用数形结合探究方程解的问题应注意两点
①讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解.
②正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键.跟踪集训
1.(2017江西南昌第一次模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时, f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数是?(????)
A.0 ????B.1 ????C.2 ????D.3? 2.已知函数f(x)=? 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范 围是 ????.答案 (3,+∞)应用二????求解不等式或参数问题
例 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,
f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是 ???????.答案 (-∞,-3)∪(0,3)
解析 设F(x)=f(x)g(x),因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函 数,所以F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.
又当x<0时,F'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,
所以x<0时,F(x)为增函数.
因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x>0时,F(x)也是增函数.
因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).
所以,由图可知F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).【技法点评】 (1)本题利用了数形结合思想,由条件判断函数的单调性,再结合g(-3)=0以及函数的奇偶性,利用图象求x的取值范围.
(2)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算.跟踪集训
若不等式|x-2a|≥?x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范围是 ???? ???.解析 在同一坐标系中,作出y=|x-2a|和y=?x+a-1的简图.依题意可知2a
≤2-2a,解得a≤?.
? 答案????? 应用三????解决最值问题
例 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为?( )
A.7 ????B.6 ????C.5 ????D.4
答案????B 根据题意,画出示意图,如图所示,连接OP,易知|OP|= ?|AB|=
m.
要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|= ?=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.
? 【技法点评】解答此类题目要注意：
1.清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既要分析其几何意义又要分析其代数意义；
2.要恰当设立参数，合理建议关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；要正确确定参数的取值范围。跟踪集训
对a,b∈R,记max｛a,b｝= , 函数 f(x)=max｛|x+1|,|x-2|｝(x∈R)的最小值是 ???.a, a≥b
b, a
2.画图力求做到规范快速，这里指的规范主要是：特殊点（定点、顶点、极值点、对称点、焦点、端点、中点等）特殊线（准线、对称轴、切线、渐近线、连心线、交线等），单调性等涉及图像重要性质的点和线必须标注清晰、完整，图形可草不可乱。
作业布置1.思考并完成学案上的作业题目
2.温习高中阶段所学的图像性质特点（下节课提问）