第3章 圆的基本性质
3．1 圆(第1课时)
1．圆的定义：在同一平面内，线段OP绕着固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的________叫做圆．描述圆二要素：①圆心，②半径．
2．圆的有关概念：连结圆上任意两点间的线段叫做________，直径是圆中最长的弦；圆上任意两点的部分叫________，小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧，半圆既不是劣弧，也不是优弧，能够互相重合的弧叫等弧．
3．点与圆的位置关系：如果用r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，则有：d＞r?点在圆________；d＝r?点在圆________；d＜r?点在圆________．
A组 基础训练
1．在⊙O中，半径为6，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为(3，5)，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法确定
2．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为( )
A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤
3．如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为( )
第3题图
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
4．一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为9，则此圆的半径为( )
A．2.5 B．5 C 6.5 D．2.5或6.5
5．如图，BC为⊙O的直径，点A在⊙O上．
第5题图
(1)写出所有的弦：____________________；
(2)写出弦AB所对的弧：________________．
6．已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心的距离为dcm.
(1)当d＝8cm时，点P在⊙O________；
(2)当d＝10cm时，点P在⊙O________；
(3)当d＝12cm时，点P在⊙O________．
7．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，则a的取值范围是____________．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝6，以C为圆心，r为半径画圆，要使点D在⊙C内且A、B在⊙C外，则r的取值范围是____________．
第8题图
9．如图，点P的坐标为(4，0)，⊙P的半径为5，且⊙P与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，试求出点A，B，C，D的坐标．
第9题图
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点B为圆心，3为半径作⊙B.
(1)AB与AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？
(2)若要让点A和点C有且只有一个点在⊙B内，则⊙B的半径应满足什么条件？
第10题图
B组 自主提高
11.如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是( )
第11题图
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法确定
12．如图，AB，CD为⊙O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点，求证：四边形CEDF为平行四边形．
第12题图
13．⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP＝m(m＞0)，且m使关于x的方程2x2－2x＋m－1＝0有实数根，试确定点P的位置．
【答案】∵b2－4ac＝8－8(m－1)≥0，∴m≤2，又∵r＝2，∴m≤r，∴点P在⊙O上或⊙O内．
C组 综合运用
14．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是AC为直径的圆上一点，连结BP.求线段BP的最大值和最小值．
第14题图
第3章 圆的基本性质
3．1 圆(第1课时)
【课堂笔记】
1．封闭曲线 2.弦 弧 3.外 上 内
【课时训练】
1－4.ABAD
(1)弦AB，弦AC，弦BC (2)弧AB，弧ACB
(1)内 (2)上 (3)外
1
4.8＜r＜6
A(－1，0)，C(0，3)，D(0，－3)，B(9，0)．
(1)点D在⊙B内，点E在⊙B外；(2)3A
证明：∵AB，CD为⊙O的两条直径，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵E，F分别为OA，OB的中点，∴OE＝OA，OF＝OB，∴OE＝OF，∴四边形CEDF为平行四边形．
∵b2－4ac＝8－8(m－1)≥0，∴m≤2，又∵r＝2，∴m≤r，∴点P在⊙O上或⊙O内．
如图，设AC为直径的圆的圆心为O，连结BO.BP的最大值＝BP1＝3＋；BP的最小值＝BP2＝－3.
第14题图
第3章 圆的基本性质
3．1 圆(第2课时)
1．____________________的三点确定一个圆．
2．经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的________圆，外接圆的________叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的________三角形．
3．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的________，直角三角形的外心是________________________，钝角三角形的外心在三角形的________．
A组 基础训练
1．下列条件可以确定一个圆的是( )
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．已知直径
2．下列命题正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
D．矩形的四边中点在同一圆上
3．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
第3题图
A．点P B．点Q C．点R D．点M
4．平面内有五个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于E，在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是(C)
A. B. C. D.
5．________三角形的外心在它的内部；________三角形的外心在它的外部；________三角形的外心在它的边上．
6．已知线段AB＝6cm.
(1)画半径为4cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画________个；
(2)画半径为3cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画________个；
(3)画半径为2cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画________个．
7．直角三角形两直角边边长分别为，1，那么它的外接圆的直径是________．
8．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是________．
第8题图
9．如图，已知在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°.
(1)作⊙O，使得⊙O经过A，C两点，且圆心O落在AB边上；(要求尺规作图，保留痕迹，不必写作法)
(2)求证：BC⊥OC.
第9题图
10．如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
第10题图
B组 自主提高
11．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，这个三角形的外接圆直径是( )
A．5 B．10 C．5或4 D．10或8
12．抛物线y＝x2－2x－3与两坐标轴有三个交点，则经过这三个点的外接圆的圆心坐标为________．
13．如图，一个长度为8m的梯子AB的顶点A向点C滑动过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出其长度．
第13题图
C组 综合运用
14．已知直线l的解析式为y＝x－2和点A(0，－2)，B(－1，－3)，试判断直线l上是否存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上？为什么？
参考答案
3．1 圆(第2课时)
【课堂笔记】
不在同一条直线上
外接 圆心 内接
内部 直角三角形斜边的中点 外部
【课时训练】
1－4. DCBC
5.锐角 钝角 直角
6.(1)2 (2)1 (3)0
7. 2
8. ②
9．(1)作图如图：第9题图
(2)连结OC，则OA＝OC，∴∠BOC＝2∠A＝50°，又∠B＝40°，∴BC⊥OC.
第10题图
如图，∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1＝∠2.又∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE.又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，∴点E是A，B，D三点所在的圆的圆心．
D
(1，－1)
∵△ABC为直角三角形，∴外心为AB的中点O，∴CO＝AB＝4，∴外心与点C的距离不会发生变化，其长度为4m.
不存在，∵点A，B均在直线l上，又∵同一直线的三点不能确定一个圆，∴不存在．
3.2 图形的旋转
1．图形旋转的性质：图形经过旋转所得的图形与原图形________；对应点到旋转中心的距离________；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于____________．
2．圆既是一个轴对称图形，又是一个________对称图形．
A组 基础训练
1．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是( )
2．在图形旋转中，下列说法错误的是( )
A．图形上各点的旋转角度相同
B．对应点到旋转中心的距离相等
C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到
D．旋转不改变图形的大小、形状
3．如图所示的图形由四个相同的正方形组成，通过旋转不可能得到的图形是( )
第3题图
4．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数为( )
第4题图
A．45° B．55° C．65° D．75°
5．下图中的各种变换分别属于平移、轴对称、旋转中的哪种图形变换(填空)?
第5题图
①________ ②________ ③________
6.如图，△ABC经过旋转得到△A′B′C′，且∠AOB＝25°，∠AOB′＝20°，则线段OB的对应线段是________；∠OAB的对应角是________；旋转中心是________；旋转的角度是________．
第6题图
7．如图，下面的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为________cm2.
第7题图
8.如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标为________．
第8题图
9．如图，在△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠BAE＝25°，∠F＝60°.
(1)求证：∠BAE＝∠CAF；
(2)△ABC可以经过图形变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
第9题图
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°.
(1)求证：EF＝DF＋BE；
(2)若DF＝3，BE＝2，求正方ABCD的边长．
第10题图
B组 自主提高
如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )
第11题图
A．(1，1)
B．(1，2)
C．(1，3)
D．(1，4)
12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为________．
第12题图
13．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
第13题图
C组 综合运用
14．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
第14题图
(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连结DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
3．2 图形的旋转
【课堂笔记】
1．全等 相等 旋转的角度 2.中心
【课时训练】
1－4.BCCB
①旋转 ②平移 ③轴对称
OB′ ∠OA′B′ 点O 45°
4
(7，3)
(1)∵∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∴△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC－∠PAF＝∠EAF－∠PAF，即∠BAE＝∠CAF； (2)通过观察可知，△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△AEF； (3)由(1)知，∠C＝∠F＝60°，∠CAF＝∠BAE＝25°，∴∠AMB＝∠C＋∠CAF＝60°＋25°＝85°.
第10题图
(1)将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∴∠EAF′＝45°，在△FAE和△F′AE中，，∴△FAE≌△F′AE(SAS)，∴EF＝EF′＝DF＋BE. (2)∵DF＝3，BE＝2，∴EF＝5，设边长为x，在△CFE中，(x－3)2＋(x－2)2＝52，∴x＝6，(x＝－1舍去)．∴正方形的边长为6.
B
85°
第13题图
13．(1)AD与CF还相等，理由：∵四边形ODEF，四边形ABCO为正方形，∴∠DOF＝∠COA＝90°，DO＝OF，CO＝OA，∴∠COF＝∠AOD，∴△COF≌△AOD(SAS)，∴AD＝CF； (2)如图，连结DF，交EO于G，则DF⊥EO，DG＝OG＝EO＝1，∴GA＝4，∴CF＝AD＝＝＝.
14．(1)30°－α； (2)△ABE为等边三角形．证明：连结AD，CD，∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，又∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－α；且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°－(30°－α)－150°＝α.在△ABD与△EBC中，∴△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB＝BE.又∠ABE＝60°.∴△ABE为等边三角形； (3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝＝15°，而∠EBC＝30°－α＝15°，∴α＝30°.
3.3 垂径定理(第1课时)
1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是圆的对称轴．
2．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分____________．
用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造直角三角形求解．
A组 基础训练
1．如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论错误的是( )
A．CE＝ED B.＝ C．∠BAC＝∠BAD D．AC>AD
第1题图
如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有( )
第2题图
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )
A．2cm B.cm C．2cm D．2cm
第3题图
4.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为( )
第4题图
A．4m B．5m C．6m D．8m
5.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则弦AB的弦心距是________．
第5题图
6．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为________．
7．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝10，AB＝16，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为________．
第7题图
如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是________．
第8题图
9．如图，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如图MN＝3，求BC的长．
第9题图
10．如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，OA＝6，OB＝8，以点O为圆心，OA为半径作圆交AB于点C，求BC的长．
第10题图
B组 自主提高
11.如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )
第11题图
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．非菱形的平行四边形
12．已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB2＋CD2＝________．
第12题图
13．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：
第13题图
(1)CD的弦心距OF的长；
(2)弦CD的长．
C组 综合运用
14．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE.
(1)求证：AP＝AO；
(2)若弦AB＝12，求OP的长．
第14题图
参考答案
3．3 垂径定理(第1课时)
【课堂笔记】
2．弦所对的弧
【课时训练】
1－4.DDCD
5
14cm或2cm
26
6
∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴M，N分别为AB，AC的中点，∴MN綊BC，∴BC＝6.
作OE⊥AB于点E，由勾股定理得AB＝＝10，又∵S△AOB＝AO·BO＝AB·OE，得OE＝4.8，∵OE⊥AB，∴AE＝EC＝AC，由勾股定理得AE＝＝3.6，∴AC＝2AE＝7.2，∴BC＝AB－AC＝10－7.2＝2.8.
C
28
第13题图
13．(1)∵BO＝(AE＋BE)＝(1＋5)＝3，∴OE＝3－1＝2，在Rt△EFO中，∵∠OEF＝30°，∴OF＝1，即点O到CD的距离为1cm； (2)连结OD，如图，在Rt△DFO中，OD＝3，∴DF＝＝＝2，∵OF⊥CD，∴CD＝2DF＝4，∴CD的长为4cm.
第14题图
14．(1)证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO. (2)如图，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB.∵AB＝12，∴AH＝6.由(1)可知PA＝OA＝10，∴PH＝PA＋AH＝16.在Rt△OAH中，OH＝＝＝8，∴OP＝＝8.
3.3 垂径定理(第2课时)
1．平分弦(____________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．
A组 基础训练
1．下列命题正确的有( )
①垂直于弦的直径平分弦
②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦的直线必过圆心
④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )
A．8 B．2 C．10 D．5
第2题图
如图，已知⊙O的半径为2cm，弦AB长2cm，则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D的距离为( )
第3题图
A．1cm B．2cm C.cm D.cm
如图，一条公路弯道处是一段圆弧，点O是这条弧所在圆的圆心，C是的中点，OC与AB相交于点D.已知AB＝120m，CD＝20m，那么这段弯道的半径为( )
第4题图
A．200m B．200m C．100m D．100m
5．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E.若要得到结论AB⊥CD，还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线)
第5题图
6.如图，AB，CD是⊙O的直径，D是的中点，AE与CD交于点F，若OF＝3，则BE的长为________．
第6题图
7．如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8cm，DE＝2cm，则OD的长为________．
第7题图
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标为(8，0)，点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为________．
第8题图
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，求⊙O的半径．
第9题图
10．(绍兴中考)如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，求该脸盆的半径．
第10题图
B组 自主提高
11．如图所示，某游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23m，最低处B到地面l的距离是3m，从B处乘摩天轮绕一周需3分钟，小明从B处乘摩天轮一周的过程中，当他到地面l的距离恰好是18m的时候应为第________分钟．
第11题图
如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．
第12题图
13．已知：如图，A、B、C为⊙O上三点，点D、E分别为、的中点，连结DE，分别交AB、AC于点F、G，求证：AF＝AG.
第13题图
C组 综合运用
14．如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，隧道的顶端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7m.
(1)求圆弧AED所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5m，宽2.3m，问这辆货运卡车能否通过该隧道．
第14题图
3．3 垂径定理(第2课时)
【课堂笔记】
1．不是直径
【课时训练】
1－4.BDAC
CE＝DE或＝或＝
6
3cm
(1，3)
连结OA交BC于点D，连结OC，OB，∵AB＝AC＝13，∴＝，∴∠AOB＝∠AOC，∵OB＝OC，∴AO⊥BC，CD＝BC＝12.在Rt△ACD中，AC＝13，CD＝12，所以AD＝＝5，设⊙O的半径为r，则在Rt△OCD中，OD＝r－5，CD＝12，OC＝r，所以(r－5)2＋122＝r2，计算得出r＝16.9.答：⊙O的半径为16.9.
第10题图
如图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝20，∠ADO＝90°，在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2＋AD2，∴R2＝202＋(R－10)2，∴R＝25，即该脸盆的半径为25cm.
1或2
7
第13题图
连OD、OE，交AB、AC于M、N，∵OD＝OE＝r，∴∠ODE＝∠OED，而D，E分别为弧AB，弧AC的中点，∴OD、OE分别垂直于AB、AC，则有∠DFB＝∠EGC，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG.
(1)设圆心为点O，半径为R，连结OE交AD于F点，连结OA，OD，由垂径定理，得OF垂直平分AD，AF＝6，OF＝R－(7－3)＝R－4，由勾股定理，得AF2＋OF2＝OA2，即：62＋(R－4)2＝R2，解得R＝6.5米；
(2)能通过，但要小心．车宽GH＝2.3，圆的半径OH＝6.5，由勾股定理，得OG＝≈6.08，G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．
第14题图
3.4 圆心角(第1课时)
1．圆心角的定义：顶点是圆心的角；
2．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________相等．
3．弧与圆心角的度数关系：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．
A组 基础训练
1．下列命题，正确的是( )
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
2．⊙O中的一段劣弧的度数为100°，则∠AOB＝( )
A．360° B．180° C．50° D．100°
3．如图，在半径为2cm的⊙O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为( )
第3题图
A．60° B．90° C．120° D．150°
4．(舟山中考)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是( )
第4题图
A．120° B．135° C．150° D．165°
5．已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．
6．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数是________．
第6题图
7．(菏泽中考)如图，在△ABC中∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为________．
第7题图
如图，在⊙O中，已知AB＝BC，且∶＝7∶6，则∠AOC＝________．
第8题图
9．如图，AC，BD是⊙O的两条直径．
(1)图中有哪些弧(劣弧)相等？
(2)当点A在圆周上运动时，是否存在一点A，使AB＝BC＝CD＝DA.
第9题图
10．如图所示，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AP是⊙O的弦，且AP∥CD，∠A＝68°，那么等于吗？说明你的理由．如果∠A＝α，该结论仍成立吗？
第10题
B组 自主提高
11.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，则弦AB所对弧的度数为( )
第11题图
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．120°或240°
12.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，且AB＝2DE，∠E＝18°，则∠AOC＝________．
第12题图
13．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且AF＝BE.
第13题图
(1)求证：OE＝OF；
(2)求证：＝.
C组 综合运用
14．如图，AB为⊙O的直径，∠DOC＝90°，∠DOC绕点O旋转，D，C两点不与A，B重合．
(1)求证：＋＝；
(2)AD＋BC＝CD成立吗？为什么？
第14题图
参考答案
3．4 圆心角(第1课时)
【课堂笔记】
2．弧 弦
【课时训练】
1－4.ADCC
5.60°
6.80°
7.50°
8.108°
(1)＝，＝； (2)存在，当AC⊥BD时即可，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.∴AB＝BC＝CD＝DA.
第10题图
连结OP，则∠POB＝2∠A＝136°，∵AP∥CD，∴∠BOD＝∠A＝68°，∴∠POD＝136°－68°＝68°＝∠BOD，∴＝，如果∠A＝α，则同理可得：∠POB＝2∠A＝2α，∠POD＝2α－α＝α＝∠BOD，∴＝仍然成立．另证：连结BP，则BP⊥CD，可由垂径定理得证．
D
54°
第13题图
13．(1)连结OA，OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.又∵AF＝BE，∴△AOF≌△BOE，∴OE＝OF； (2)∵△AOF≌△BOE，∴∠AOF＝∠BOE，∴∠AOF－∠EOF＝∠BOE－∠EOF，即∠AOE＝∠BOF，∴＝.
第14题图
14．(1)∵AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∴∠AOD＋∠BOC＝∠DOC＝90°，∴＋＝； (2)不成立，理由：在上截取＝，故＝，则DE＝AD，BC＝EC，在△DEC中，DE＋EC＞DC，故AD＋BC＞CD.
3.4 圆心角(第2课时)
1．圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个________中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．
2．应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法．
A组 基础训练
1．下列说法中正确的是( )
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
2．观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是( )
第2题图
A．如图1，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴＝
B．如图2，∵＝，∴AB＝CD
C．如图3，∵＝40°，∴∠AOB＝80°
D．如图4，∵MN垂直平分AD，∴＝
3．如图，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝( )
A．150° B．75° C．60° D．15°
第3题图
如图，AB是所对的弦，AB的垂直平分线CD交于点C，交AB于点D，EF垂直平分AD，GH垂直平分BD.下列结论中，不正确的是(C)
第4题图
A.＝ B.＝ C.＝ D．EF＝GH
5．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，OM，ON是弦AB，CD的弦心距，根据圆心角定理填空：
(1)如果AB＝CD，那么____________，____________，____________；
(2)如果＝，那么____________，____________，____________；
(3)如果OM＝ON，那么____________，____________，____________．
第5题图
如图，＝，若AB＝3cm，则CD＝________．
第6题图
7．如图，已知＝m120°(指所对圆心角的度数为120°)，则∠OAB＝________．
第7题图
如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，以顶点B为圆心，AB长为半径画圆，延长DC交⊙B于点E，则的度数为________．
第8题图
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3cm.
(1)求证：＝；
(2)求BD的长．
第9题图
10．如图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于点A，B，PC交⊙O于点C，D，且∠1＝∠2，求证：AB＝CD.
第10题图
B组 自主提高
如图，在△ABC中，∠A＝48°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC等于( )
第11题图
A．96°
B．114°
C．132°
D．138°
12．如图，半圆的直径AB为2，C，D是半圆上的两点．若的度数为96°，的度数为36°，动点P在直径AB上，求CP＋PD的最小值
第12题图
13．如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，D为OA的中点，过点D作BC∥MN.求证：
(1)四边形ABOC为菱形；
(2)∠MNB＝∠BAC.
第13题图
C组 综合运用
14．如图所示，在⊙O中，AD，BC相交于点E，OE平分∠AEC.
(1)求证：AB＝CD；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长.
第14题图
3．4 圆心角(第2课时)
【课堂笔记】
1．弦心距
【课时训练】
1－4.BBBC
5.(1)∠AOB＝∠COD ＝ OM＝ON (2)AB＝CD ∠AOB＝∠COD OM＝ON (3)∠AOB＝∠COD AB＝CD ＝
6.3cm
7．30°
8.60°
(1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴＝； (2)∵＝，∴AC＝BD＝3cm.
作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，∵∠1＝∠2，∴OG＝OH，∴AB＝CD.
11.B
第12题图
12．如图，将半圆补成整圆，作点D关于直径AB的对称点D′，连结OC，OD，OD′，CD′，CD′交AB于点P，此时CP＋PD最小，即为CD′的长．作ON⊥CD′于点N.∵的度数为96°，的度数为36°，∴∠DOB＝36°，∠AOC＝96°，∴∠COD＝48°，∠BOD′＝36°，∴∠COD′＝36°＋36°＋48°＝120°，∴∠OCN＝∠OD′N＝30°.∵半圆的直径AB为2，∴ON＝OC＝AB＝.∴CN＝＝，∴CD′＝.∴CP＋PD的最小值为.
13.(1)∵BC∥MN，OA⊥MN，∴OA⊥BC，∴BD＝CD，∵D为AO中点，∴四边形ABOC为平行四边形，∵AO⊥BC，∴?ABOC为菱形； (2)∵OB＝ON，∴∠MNB＝∠OBN，∴∠MOB＝∠MNB＋∠OBN＝2∠MNB，∵OD＝AO＝BO，∴∠OBD＝30°.∴∠BOD＝60°，∴∠MOB＝30°，∠BOC＝120°，∴∠MNB＝15°，∠BAC＝120°，∴∠MNB＝∠BAC.
第14题图
14．(1)证明：作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连结OA、OC，如图，则AM＝DM，BN＝CN，在Rt△OAM中，AM＝，在Rt△OCN中，CN＝，∵OE平分∠AEC，∴OM＝ON，而OA＝OC，∴AM＝CN，∴AD＝BC，∴＝，即＋＝＋，∴＝，∴AB＝CD； (2)∵AD⊥CB，∴∠MEN＝90°，∵OE平分∠MEN，∴∠MEO＝45°，∴△MEO为等腰直角三角形，∴OM＝EM，设ME＝x，则OM＝x，DM＝ME＋DE＝x＋1，∴AM＝DM＝x＋1，在Rt△AOM中，∵OM2＋AM2＝OA2，∴x2＋(x＋1)2＝52，解得x1＝3，x2＝－4(舍去)，故AD＝2AM＝8.
3.4 简单几何体的表面展开图(第2课时)
若圆柱的底面半径为r，母线为l，则S柱侧＝________，S柱全＝____________．
A组 基础训练
1．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为( )
A．2 B．4 C．2π D．4π
2．(湖州中考)如图是按1∶10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( )
第2题图
A．200cm2 B．600cm2 C．100πcm2 D．200πcm2
如图是某几何体的三视图，其侧面积是( )
第3题图
A．6
B．4π
C．6π
D．12π
4．把长和宽分别为6cm和4cm的矩形纸片卷成一个圆柱状，则这个圆柱的底面半径为( )
A.cm B.cm C.cm D.cm或cm
5．圆柱的底面直径为2，侧面积为8π，则圆柱的高为( )
A．2 B．4 C．6 D．1
6．已知一个几何体的三视图如图，根据主视图中的有关数据(单位：cm)，这个几何体的表面积为(A)
第6题图
A．340πcm2 B．276πcm2 C．349πcm2 D．320πcm2
如图，茶杯中部是一条装饰带，这条装饰带的面积是________cm2.
第7题图
8．已知矩形ABCD的一边AB＝2cm，另一边AD＝4cm，则以直线AD为轴旋转一周所得到的图形是________，其侧面积是________cm2.
9．如图是一个几何体的三视图(含有数据)，则这个几何体的全面积等于________．
第9题图
农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需塑料布y(m2)与半径R(m)的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)________________．
第10题图
11．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？
第11题图
B组 自主提高
12．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，它的底面半径为10cm，则这个圆柱的高为( )
A．10πcm B．20πcm C．10cm D．20cm
13．如图所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图所示，设图中水所形成的几何体的表面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系是( )
第13题图
A．S1＝S2
B．S1>S2
C．S1D．S1与S2的大小不能确定
14．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为____________．
第14题图
C组 综合运用
15．动手操作：
如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点________重合，点B与点________重合．
探究与发现：
(1)如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是________cm；(丝线的粗细忽略不计)
(2)如图3，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？
实践与应用：
如图4，现有一个圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外面缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE，CF方向进行裁剪，如图5所示，若带子的宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，则sinα＝________．
第15题图
3．4 简单几何体的表面展开图(第2课时)
【课堂笔记】
2πrl 2πrl＋2πr2
【课时训练】
1－5.DDCDB 6.A
7.30π
圆柱 16π
π
10．y＝30πR＋πR2
第11题图
如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12－3＋AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝13(cm).
12－13.BC
π或4π
15.A′ B′ 探究与发现：(1)50 (2)40cm. 实践与应用：
3.5 圆周角(第1课时)
1．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的________．
2．推论：半圆或直径所对的圆周角等于________，________的圆周角所对的弦是直径．
3．当已知条件中有直径时，常添直径所对的圆周角，这是圆中常添加的辅助线．
A组 基础训练
1．下列命题属于真命题的是( )
A．顶点在圆周上的角叫做圆周角
B．60°的圆周角所对的弧的度数是30°
C．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
D．120°的弧所对的圆周角是60°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于( )
第2题图
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．(珠海中考)如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠AOD等于( )
A．160° B．150° C．140° D．120°
第3题图
4．如图，?ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连结AE，则∠AEB的度数为( )
A．36° B．46° C．27° D．63°
5.如图，圆周角∠ACB＝34°，∠OAC＝60°，则圆心角∠AOB＝________，∠OBC＝________．
第5题图
6．(黑龙江中考)直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角是____________．
7．如图，量角器外沿上有A，B两点，它们的读数分别是70°，40°，则∠1的度数为________．
第7题图
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径．若∠ABC＝50°，则∠CAD＝________．
第8题图
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连结DE.
(1)求BE的长；
(2)求△ACD外接圆的半径．
第9题图
10．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0，2)．D是⊙C在第一象限内的一点，且∠ODB＝60°.
第10题图
(1)求⊙C的半径；
(2)求圆心C的坐标．
B组 自主提高
11.(黄冈中考)已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为( )
第11题图
A．30° B．35° C．45° D．70°
如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，若AB＝AC，∠BAC＝45°，给出下列结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④＝2；⑤AE＝DC.其中正确的是________．(填序号)
第12题图
13．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交⊙O于点E，求证：＝.
第13题图
C组 综合运用
14．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与点C，D重合)，求证：∠CPD＝∠COB；
(2)当点P′在上(不与点C，D重合)时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
第14题图
3．5 圆周角(第1课时)
【课堂笔记】
一半
90° 90°
【课时训练】
1－4.DBCA
68° 26°
30°或150°
15°
40°
(1)∵∠ACB＝90°，∴AD为圆O的直径，∴∠AED＝90°，又AD是△ABC的角平分线，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE；∵△ABC为直角三角形，且AC＝5，CB＝12，根据勾股定理得AB＝＝13，∴BE＝13－AC＝13－5＝8; (2)由(1)得到∠AED＝90°，则有∠BED＝90°，设CD＝DE＝x，则DB＝BC－CD＝12－x，EB＝8，在Rt△BED中，BD2＝BE2＋ED2，即(12－x)2＝x2＋82，解得：x＝，∴CD＝，又AC＝5，△ACD为直角三角形，∴AD＝＝，∴△ACD外接圆的半径为：×＝.
第10题图
(1)连结AB，∵∠ODB＝∠OAB，∠ODB＝60°，∴∠OAB＝60°，∵∠AOB是直角，∴AB是⊙C的直径，∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝4，∴⊙C的半径r＝2; (2)在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2＋OA2＝AB2，∴OB＝2，过点C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，由垂径定理得OE＝AE＝1，OF＝BF＝，∴CE＝，CF＝1，∴C的坐标为(，1)．
B
①②④
∵AO是⊙C的直径，∴∠ADO＝90°，即OD⊥AB.∵OD⊥AB，∴＝.
第14题图
14．(1)连结OD.∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOD＝∠COD.∵∠CPD＝∠COD，∴∠CPD＝∠COB; (2)结论：∠CP′D＋∠COB＝180°.证明：∵＋＝360°，∠COB＝∠CPD，∠CP′D，∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
3.5 圆周角(第2课时)
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________；相等的圆周角所对的弧也相等．
A组 基础训练
1．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于( )
A．30° B．35° C．40° D．50°
第1题图
如图所示的暗礁区中，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船S不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须( )
第2题图
A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30°
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为( )
A．1 B. C．2 D．2
第3题图
4.如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，D是上任意一点，则∠D的度数是( )
第4题图
A．90° B．100° C．110° D．120°
如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为________．
第5题图
6．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，D是上一点，则∠D＝________．
第6题图
7.如图，在⊙O中，弦AB，DC的延长线交于点P，如果∠AOD＝120°，∠BDC＝25°，那么∠P＝________．
第7题图
(陕西中考)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是________．
第8题图
9．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD＝CD.
第9题图
10．如图，BC是⊙O的直径，弦AE⊥BC，垂足为D，＝，AE与BF相交于点G，求证：
第10题图
(1)＝；
(2)BG＝GE.
B组 自主提高
11.如图，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有( )
第11题图
A．3个 B．4个 C ．5个 D．6个
12．如图，已知BF、BE分别是△ABC的内角∠ABC与外角∠ABD的平分线，BF、BE分别与△ABC的外接圆交于点F、E. 求证：
(1)EF是△ABC的外接圆直径；
(2)EF是AC的垂直平分线.
第12题图
13．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D为上任意一点，在AD上截取AE＝BD，连结CE，求证：
第13题图
(1)△ACE≌△BCD；
(2)AD＝BD＋CD.
C组 综合运用
14．如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC，＝，BF和AD相交于E.
(1)求证：AE＝BE；
(2)若BF＝8，AB＝2，求AE的长．
第14题图
3．5 圆周角(第2课时)
【课堂笔记】
相等
【课时训练】
1－4.CDDC
5.(0，2)
6.40°
7.35°
8.4
第9题图
(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝(180°－∠BAC)＝(180°－45°)＝67.5°，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°； (2)证明：连结AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD.
(1)∵BC⊥AE，BC为⊙O直径，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝； (2)连结BE，∵＝，∴∠AEB＝∠EBF，∴BG＝EG.
C
(1)∵BF、BE分别是△ABC的内角∠ABC与外角∠ABD的平分线，∴∠EBA＝∠DBA，∠FBA＝∠CBA，∴∠EBA＋∠FBA＝(∠DBA＋∠CBA)＝90°，即∠EBF＝90°，∴EF是△ABC的外接圆的直径； (2)∵BF是∠ABC的平分线，∴∠CBF＝∠ABF，∴＝，又EF是△ABC的外接圆的直径，∴EF是AC的垂直平分线．
(1)∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∵∠EAC＝∠DBC，AE＝BD，∴△ACE≌△BCD(SAS)； (2)∵△ACE≌△BCD，∴BD＝AE，CD＝CE，∠ACE＝∠BCD，∵∠ACE＋∠BCE＝60°，∴∠BCD＋∠BCE＝60°，∴△DEC是正三角形，∴DE＝CD，∴AD＝AE＋DE＝BD＋CD.
(1)证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，即∠BAD＋∠CAD＝90°.又∵AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACB＝90°，∴∠BAD＝∠ACB.∵＝，∴∠FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA，即△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE. (2)设AE＝BE＝x，连结OA交BE于点H，∵＝，∴OA⊥BF，且BH＝HF＝4，又∵AB＝2，BH＝BF＝4，∴AH＝2.在△AEH中，设AE＝x，由勾股定理得x2＝(4－x)2＋22，∴x＝2.5，即AE＝2.5.
3.6 圆内接四边形
1．圆内接四边形的对角________．
2．圆内接四边形的外角等于内对角．
A组 基础训练
1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( )
A．120° B．100° C．80° D．90°
第1题图
如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( )
第2题图
A．100° B．120° C．140° D．160°
3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )
A．60° B．120° C．140° D．150°
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
第4题图
5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．
第5题图
6．平行四边形ABCD为圆内接四边形，则此平行四边形是________．
7．⊙O的内接四边形ABCD，∠AOC＝140°，∠D＞∠B，则∠D＝________．
8．如图，已知四边形ABCD内一点E，若EA＝EB＝EC＝ED，∠BAD＝70°，则∠BCD＝________．
第8题图
9．如图，已知AD是△ABC的外角平分线，与△ABC的外接圆交于点D.
(1)求证：DB＝DC；
(2)若过D作DP⊥AC于点P，DQ⊥BA于点Q，求证：△CDP≌△BDQ.
第9题图
10．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交于点D.
(1)请写出四个不同类型的正确结论；
(2)连结CD，设∠CDB＝α，∠ABC＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．
第10题图
B组 自主提高
如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连结CF并延长交AD的延长线于点E，连结AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( )
第11题图
A．45° B．50° C．55° D．60°
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD的度数为________．
第12题图
13．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE.
(1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
(2)如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．
第13题图
C组 综合运用
14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.
(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？
(2)判断点P，F，A，B共圆吗？
(3)直接写出∠FPA相等的角．
(4)求证：AP＝AB.
第14题图
3．6 圆内接四边形
【课堂笔记】
1．互补
【课时训练】
1－4.BCBA
125
矩形
7.110°
8.110°
(1)∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAE.∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DCB＝∠DAE，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC； (2)∵AD平分∠EAC，DP⊥AC，DQ⊥BA，∴DP＝DQ，又∵DB＝DC，∴△CDP≌△BDQ(HL)．
(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②＝；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE2＝OB2；⑧S△ABC＝BC·OE；⑨△BOD是等腰三角形等； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°. ②α>2β.证明如下：∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD⊥BC，∴＝，∴CD＝BD，∴∠CDO＝∠ODB＝∠CDB，∴∠CDB>∠ABC，即α>2β.
B
60°
(1)连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE＝BD； (2)∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝3，∴AD＝＝4，∵S△ABC＝×BC·AD＝AC×BE，∴×6×4＝×5×BE，∴BE＝.
(1)BE＝CF，BE⊥CF，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE＝CF，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF＋∠BCF＝90°，∴∠CBE＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF； (2)点P，F，A，B共圆．理由：∵BE⊥CF，∠A＝90°，∴点P，F，A，B共圆． (3)∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC. (4)证明：∵∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC，∴∠APB＝90°－∠FPA＝90°－∠EBC＝∠ABP，∴AP＝AB.
3.7 正多边形
1．正多边形的定义：各边________，各内角也________的多边形．两者缺一不可．
2．经过一个正多边形的各个________的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做________________．
3．回顾：n边形的内角和为(n－2)×180°，外角和为360°，对角线条数为.
A组 基础训练
1．下列关于正多边形的判断正确的是( )
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．对角线相等的多边形是正多边形
D．各边相等的圆内接多边形是正多边形
2．正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的边数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
4．如图，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )
第4题图
A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm
5.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的图形周长为________．
第5题图
6．一个正多边形的所有对角线都相等，则这个正多边形的内角和为____________．
7．同圆的内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为____________．
8．如图，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连结AP，则AP的长为________．
第8题图
9．如图，点A，B，C，D，E把圆分成5等份，求证：五边形ABCDE为圆的内接正五边形；
第9题图
10．有一个亭子，它的地基是半径为4m的圆内接正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1m2)．
第10题图
B组 自主提高
11.如图，正方形ABCD与等边△PRQ内接于⊙O，RQ∥BC，则∠AOP等于( )
第11题图
A．45° B．25° C．60° D．70°
12．如图，正方形的边长为2(＋1)，剪去4个角后成为一个正八边形(图中阴影部分)，求这个正八边形的边长和面积．
第12题图
13．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
第13题图
(1)在图1中，求∠APB的度数；
(2)在图2中，∠APB的度数是________；在图3中，∠APB的度数是________．
(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
C组 综合运用
14．如图，甲，乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：(甲)连结DB、CE，两线段相交于P点，则P即为所求．(乙)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断中正确的是( )
第14题图
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
3．7 正多边形
【课堂笔记】
相等 相等
顶点 圆内接正多边形
【课时训练】
1－4. DBCC
20m
360°或540°
∶∶1
证明：∵弧AB＝弧BC＝弧CD＝弧DE＝弧EA，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∵＝＝，∴∠1＝∠2，同理∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．
如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，亭子地基的周长为24m.在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝2.利用勾股定理，可得边心距r＝＝2(m)．亭子地基的面积S＝lr＝×24×2＝24≈41.6m2.
A
设剪去三角形的直角边长为x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，∴x＋2x＝2(＋1)，∴x＝，∴正八边形的边长等于x＝2，∴正八边形的面积＝(2＋2)2－4××()2＝8＋8.
(1)∵点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN.∴∠APN＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°； (2)同理(1)可得，图2中，∠APB＝90°；图3中，∠APB＝72°；
第13题图
(3)能．问题：如图，正n边形ABCDE…是⊙O的内接正n边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动，求∠APB的度数．
结论：∠APB＝.
证明：∵点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN.∴∠APN＝∠BAM＋∠ABN＝∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝＝180°－.∴∠APB＝180°－∠APN＝.
14.C
3.8 弧长及扇形的面积(第1课时)
1．在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝________．
2．注意：弦所对的弧有两条，如第8题．
A组 基础训练
1．圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为( )
A. B．π C. D．3π
2．如图，⊙O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC的长是( )
A.π B.π C.π D.π
第2题图
如图是两个同心圆的一部分，已知OB＝OA，则的长是的长的( )
第3题图
A. B．2倍 C. D．4倍
4．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为( )
第4题图
A．Π B. C．7 D．6
5．已知弧的长为12πcm，弧的半径为9cm，则弧的度数为________．
6．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，若将木板沿水平线翻滚，则点B从开始至结束走过的路径长度为________．
第6题图
7.如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于________．
第7题图
8．在半径为6cm的圆中，6cm的弦所对的弧长为________cm.
9．一段铁丝长80πcm，把它弯成半径为160cm的一段圆弧，求铁丝两端间的距离．
10．(湖州中考)如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD；
(2)若圆O的半径为3，求的长．
第10题图
B组 自主提高
11．⊙O的周长为24π，则长为5π的弧所对的圆心角为________，所对的圆周角为________．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°，转动3s后停止，则顶点A经过的路程为多长？
第12题图
13．如图，在△ABC中，AB＝4cm，∠B＝30°，∠C＝45°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，与AB相交于点E，与BC相交于点F.求的长．
第13题图
C组 综合运用
14．如图为一个半圆形工件，未搬动前直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是____________m.
第14题图
3．8 弧长及扇形的面积(第1课时)
【课堂笔记】
【课时训练】
1－4.BBAA
5.240°
π
2π或10π
n＝90°，铁丝两端间的距离为160cm
(1)证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD； (2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圆周角定理，得的度数为60°，故＝＝＝π，答：的长为π.
11．75° 37.5°
12.S＝＋＋＝12π.
13.过A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，∠C＝45°，∴CD＝AD＝AB＝2cm，∠CAB＝105°，∴AC＝＝2cm，∴l＝＝πcm.
14.(2π＋50)
3.8 弧长及扇形的面积(第2课时)
1．如果扇形的半径为r，圆心角为n°，扇形的弧长为l，那么扇形的面积S扇形＝________＝________．
2．求不规则图形的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等，把不规则图形转化为规则图形求解．
A组 基础训练
1．一条弧所对的圆心角为90°，半径为R，则这条弧所对的扇形面积为( )
A. B. C. D.
2．已知⊙O的半径OA＝6，扇形OAB的面积等于12π，则所对的圆周角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
3．已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为( )
A．4 B．2 C．4π D．2π
4.(内江中考)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为( )
第4题图
A．π－4 B.π－1 C．π－2 D.π－2
5．已知扇形的面积是24πcm2，弧长是8πcm，则扇形的半径是________cm.
6．若面积相等的两个扇形的圆心角分别是60°和45°，则这两个扇形的半径之比为________．
7．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为________个平方单位．
第7题图
8．(河北中考)如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形＝________cm2.
第8题图
9．如图，一水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R，油面高为R，求截面上有油的弓形(阴影部分)的面积．
第9题图
10．如图，AB为半圆O的直径，C、D是上的三等分点，若⊙O的半径为2，E是直径AB上任意一点，求图中阴影部分的面积．
第10题图
B组 自主提高
在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧，如图，若AB＝4，AC＝2，S1－S2＝，则S3－S4的值是( )
第11题图
A. B. C. D.
12．(咸宁中考)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点(不与A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.若DE＝1，则扇形OAB的面积为________．
第12题图
13．如图，以正三角形ABC的AB边为直径画⊙O，分别交AC，BC于点D，E，AB＝6cm，求的长及阴影部分的面积．
第13题图
C组 综合运用
14．已知点P是正方形ABCD内的一点，连结PA，PB，PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，如图所示．
(1)设AB的长为a，PB的长为b(b＜a)，求△PAB旋转到△P′CB的过程中，边PA所扫过区域的面积；
(2)若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．
第14题图
参考答案
3．8 弧长及扇形的面积(第2课时)
【课堂笔记】
lr
【课时训练】
1－4. DCCC
6
∶2
π
4
连结OA，OB.S阴＝S扇形OAB阴影＋S△AOB，∵∠AOB＝120°，∴S扇形OAB阴影＝，S△AOB＝×R×R，∴S阴＝πR2＋R2.
连OC、OD、CD，∵AB为半圆的直径，C、D为弧的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝×180°＝60°，而OC＝OD，∴△OCD为等边三角形，∴∠OCD＝60°，∴CD∥AB，∴S△ECD＝S△OCD，∴阴影部分的面积＝S扇形OCD＝＝π·22＝π.
D
连结OD，OE，AE，DE.
第13题图
∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴AE⊥BC，BE＝OB，∠B＝60°，∴OE平行且等于AD，OA＝OE，∴四边形OADE是菱形，∴∠DOE＝∠AOD＝∠OBE＝60°，∵AB＝6cm，∴OD＝OE＝BE＝3cm，∴AE＝＝3(cm)，∴△OBE中底边BE上的高以及△AOD中底边OD上的高都为：cm，∴弧DE的长＝π·3＝π(cm)，S阴影＝S△OBE＋S△AOD＋S扇形ODE＝×3×＋×3×＋＝(＋π)cm2.
14．(1)根据旋转变换，AP扫过的面积为扇形BAC与扇形BPP′的差，∴S＝－＝(a2－b2)； (2)连结PP′，则PP′＝＝4，∵BP＝BP′，∠PBP′＝90°，∴∠BP′P＝45°，∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，∴∠PP′C＝90°，∴△PP′C是Rt△，∴PC＝＝6.
第3章 圆的基本性质检测卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP＝6厘米时，点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
2．有下列四个命题：①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④三点确定一个圆．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知弦CD⊥直径AB于点E，连结OC，OD，CB，DB，下列结论一定正确的是( )
A．∠CBD＝120° B．BC＝BD
C．四边形OCBD是平行四边形 D．四边形OCBD是菱形
第3题图
4．在半径为3cm的⊙O中，45°的圆周角所对的弧长为( )
A.π B.π C.π D.π
5．如图，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，所对的圆周角∠DEB＝35°，则∠AOD的度数是( )
第5题图
A．35° B．55° C．70° D．110°
如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为( )
第6题图
A．12个单位 B．10个单位 C．4个单位 D．15个单位
7．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，当第24秒时，点E在量角器上对应的读数为( )
A．72° B．90° C．108° D．144°
第7题图
8.如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为( )
第8题图
A．45° B．30° C．75° D．60°
如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BH，垂足为H，有下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④＝.其中一定成立的结论有( )
第9题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(威海中考)如图，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为( )
第10题图
A．68° B．88° C．90° D．112°
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠C＝1∶2，则∠A＝____.
12．已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为，则此扇形的面积是________．
13．(长沙中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
第13题图
14.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为____．
第14题图
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为____(结果保留π)．
第15题图
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB.若PB＝4，则PA的长为____.
三、解答题(本大题共8小题，共80分)
17．(8分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A、B、C.
(1)请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD；
(2)请在(1)的基础上，完成下列填空：①写出点的坐标：C____、D____；②⊙D的半径＝____(结果保留根号)．
第17题图
18．(8分)如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连结AB，CD，AC＝BD，设AC，BD交于点E；
第18题图
(1)求证：AE＝DE；
(2)若＝100°，AB＝ED，求的度数．
19.(8分)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD的长．”(1尺＝10寸)
第19题图
20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线，△ABD的外接圆交BC于E.求证：AD＝EC.
第20题图
21．(10分)(武汉中考)如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图1，若点P是的中点，求PA的长；
(2)如图2，若点P是的中点，求PA的长．
22．(12分)如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB.
第22题图
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AC＝8，∶＝2∶1，试求⊙O的半径；
(3)若点B为的中点，试判断四边形ABCO的形状．
23．(14分)如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦，点C是优弧ACB上的一个动点(点C不与A、B重合)．
(1)如图1，CD⊥AB于D，交⊙O于点N，若CE平分∠ACB，交⊙O于点E，求证：∠ACO＝∠BCD；
(2)如图2，设AB＝8，⊙O半径为5，在(1)的条件下，四边形ACBE的面积是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出四边形ACBE面积的取值范围．
图1
图2
第23题图
第3章 圆的基本性质检测卷
1．A 2.A 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8.D 9.C
10．B
11.60°
π
4
(3，2)
π－4
3或
(1)略 (2)①(6，2) (2，0) ②2
(1)连结BC，∵AC＝BD，∴＝，－＝－，即＝，∴∠ACB＝∠DBC，∴BE＝CE，又AC＝BD，∴AE＝DE； (2)连结AD.∵＝100°，∴∠ABD＝50°，又∵AB＝DE＝AE，∴∠ABD＝∠AEB＝50°，∠ADB＝25°，的度数为50°.
26寸．
证明：连结DE，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠EDC＝∠CBA，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠CBA，∵∠EDC＝∠CBA，∠ACB＝∠CBA，∴∠ACB＝∠EDC，∴DE＝EC，∵BD是∠CBA的角平分线，∴∠DBA＝∠DBC，∴＝，∴AD＝DE，∵DE＝EC，AD＝DE，∴AD＝EC.
21．(1)如图1，连结PB.∵ AB是⊙O的直径，P是弧AB的中点，∴ PA＝PB，∠APB＝90°.∵AB＝13，∴PA＝AB＝； (2)如图2，连结BC，OP，且它们交于点D，连结PB. ∵ P是的中点，∴ OP⊥BC，BD＝CD.∵ OA＝OB，∴ OD＝AC＝.∵ OP＝AB＝，∴ PD＝OP－OD＝－＝4.∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°.∵ AB＝13，AC＝5，∴BC＝12.∴ BD＝BC＝6.∴ PB＝＝＝2.∵ AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°. ∴ PA＝＝＝3.
第21题图
22.
第22题图
证明：∵OC∥AB，∴∠BAC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∴∠CAO＝∠BAC.即：AC平分∠DAB. (2)AC＝8，弧AC与CD之比为2∶1，∴∠DAC＝30°，又∵AD是圆的直径，∴∠ACD＝90°，∴CD＝AC·tan∠DAC＝，∵∠COD＝2∠DAC＝60°，OD＝OC，∴△COD是等边三角形．∴圆O的半径＝CD＝. (3)∵点B为弧AC的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠BCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC＝∠OCA.∴OA∥BC.又OC∥AB，∴四边形ABCO是平行四边形．∵AO＝CO，∴四边形ABCO为菱形．
23.(1)略； (2)不是定值，8