第3章 圆的基本性质
3.1 圆(1)
A 练就好基础 基础达标
1．下列语句中，不正确的是( C )
A．直径是弦
B．经过圆内一定点可以作无数条弦
C．半圆不是弧
D．等弧所在的圆为同圆或等圆
2．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是( C )
A．点A在⊙O上
B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外
D．点A与圆心O重合
第3题图
3．如图所示，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是( A )
A．当a＜5时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外
D．当a＞5时，点B在⊙A外
5．如图所示，OA，OB是圆的两条半径，∠OAB＝45°，AO＝5，则AB＝__5__．
第5题图
第6题图
6．如图所示，边长为2 cm的正方形ABCD的对角线相交于点O，则正方形的四个顶点A，B，C，D在以__O__为圆心，以____cm 为半径的圆上．
第7题图
7．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则圆中的优弧共有__5__条．
8．如图所示，AB，AC为⊙O的弦，连结CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.
第8题图
证明：∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC(ASA)．
∴OE＝OF.
∵CE＝OC＋OE，BF＝OB＋OF，
∴CE＝BF.
9．如图所示，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝57°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．
第9题图
解：连结OB，∵AB＝OC，∴AB＝OB，
∴∠BOA＝∠BAO，
∴∠OEA＝∠OBE＝2∠A，
∴∠EOD＝3∠A.
∵∠EOD＝57°，
∴∠A＝19°.
10．如图所示，已知两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AD＝BC.
第10题图
证明：由题意得OC＝OD，OA＝OB，∴∠A＝∠B，
∠OCD＝∠ODC，
∴△OAD≌△OBC(AAS)，
∴AD＝BC.
B 更上一层楼 能力提升
11．点P与定圆上最近点的距离为4 cm，与最远点的距离为9 cm，则圆的半径为( C )
A．2.5 cm B．6.5 cm
C．2.5 cm 或 6.5 cm D．13 cm
12．如图所示，AB，MN是⊙O的互相垂直的直径，点P在上且不与A，M重合，过点P作AB，MN的垂线，垂足分别是D，C，当P点在上移动时，矩形PCOD的形状、大小随之变化，则PC2＋PD2的值( C )
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．不变 D．不能确定
第12题图
第13题图
13．如图所示，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC的长是__6__．
14．如图所示，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)点A，B在⊙C外，则r满足__0＜r＜3__；
(2)点A在⊙C内，点B在⊙C外，则r满足 __3＜r＜4__．
第14题图
15．如图所示，AC，BD是⊙O的两条直径．
求证：四边形ABCD为矩形．
第15题图
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵AC＝AD＋OC，BD＝BO＋OD，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，点A，B和点C，D分别在同心圆上，且∠AOB＝∠COD，BC与AD相等吗？为什么？
第16题图
解：BC与AD相等．
证明△AOD≌△BOC可得．
17．如图所示，已知矩形ABCD的边AB＝5，AD＝12.
(1)若以点A为圆心、12为半径作圆，试判断点B，C，D与⊙A的位置关系；
(2)若以C点为圆心，使A，B，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，求⊙C的半径r的取值范围；
(3)试猜想：矩形的四个顶点能在同一个圆上吗？如果在同一个圆上，是在怎样的圆上呢？
第17题图
解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上．
(2)5圆(2)
A 练就好基础 基础达标
1．下列条件中，能确定圆的是( B )
A．以已知点O为圆心
B．以点O为圆心、2 cm长为半径
C．以2 cm长为半径
D．经过已知点A，且半径为2 cm
2．三角形的外心是( C )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
3. 下列说法中正确的是( D )
A．一个点可以确定一条直线
B．两个点可以确定两条直线
C．三个点可以确定一个圆
D．以一条线段长为直径可以确定一个圆
4．已知一个等边三角形的边长为6，则能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径长为( D )
A．2 B. C．3 D．2
5．下列命题中叙述不正确的是( A )
A．圆有且只有一个内接三角形
B．三角形的外心也是这个三角形任意两边中垂线的交点
C．三角形只有一个外接圆
D．等边三角形的外心是这个三角形的三条中线或高线或角平分线的交点
6．过一点可以画__无数__个圆；过两点可以画__无数__个圆，这些圆的圆心都在连结这两点的线段的__垂直平分线__上．__不在同一直线上__的三个点确定一个圆．
7．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－2，－2)，C(4，－2)，则△ABC外接圆圆心的坐标为 (1，0) ．
第7题图
8．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第__②__块．
第8题图
9．如图所示，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若在△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
第9题图
解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，再作出⊙O即为所求花园的位置，图略．
(2)∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径．
∵AB＝8 m，AC＝6 m，∴BC＝10 m.
∴△ABC外接圆的半径为5 m，
∴小明家圆形花坛的面积为25π m2.
10．已知A，B，C三点，根据下列条件，试说明A，B，C三点能否确定一个圆．若能，请求出其半径；若不能，请说明理由．
(1)AB＝1 cm, BC＝2 cm ，AC＝3 cm；
(2)AB＝6 cm, BC＝8 cm ，AC＝10 cm.
解：(1)不能．三角形任意两边相加要大于第三边．(2)能，半径为5 cm.
, B 更上一层楼 能力提升)
11．下列说法中正确的是( B )
A．三点确定一个圆
B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆
D．圆有且只有一个内接三角形
12．如图所示，P(x，y)是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若P是整点(即x，y为整数)，则这样的点共有( C )
第12题图
A．4个 B．8个 C. 12个 D. 16个
13．如图所示，平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在⊙P上．则点P的坐标为 (6，6) ．
第13题图
14．如图所示，已知圆上两点A，B，若AB为腰的三角形内接于圆，则这样的三角形能作__4__个．
第14题图
15．在Rt△ABC中，AB＝6, BC＝8，那么这个三角形的外接圆直径是( D )
A．5 B．10 C．5 或 4 D．10或8
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥DC，
AB⊥BC，AB＝2 cm，CD＝4 cm，以BC上一点O为圆心的圆经过A，D两点，且∠AOD＝90°，则四边形ABCD的面积为__18__．
第16题图
17．如图所示，在(ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD.
(1)求证：A，E，C，F四点共圆．
(2)设线段BD与(1)中的圆交于M，N.求证：BM＝ND.
第17题图
证明：(1)连结AC，交BD于点O，连结OE，OF.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴ OE＝OF＝AC，
∴A，E，C，F四点共圆．
第17题答图
(2)由(1)可知，圆的直径是AC，
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB＝OD，
∴OM＝ON，
∴OB－OM＝OD－ON，
∴BM＝ND.
图形的旋转
A 练就好基础 基础达标
1．下列现象中属于旋转的是( C )
A．电梯的升降运动
B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．汽车方向盘的转动
D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
2．如图所示，△ABC按顺时针方向旋转一个角度后得△A′B′C′，图中的旋转中心是( A )
A．A点 B．B点 C．C点 D．B′点
第2题图
第3题图
3．如图所示，图中的每个阴影旋转一个角度后，能互相重合，这个角度可以是( C )
A．30° B．45° C．120° D．90°
4．如图所示，直角三角形ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°后到达△A1B1C，延长AB交A1B1于点D，则∠ADA1的度数是( D )
A．30° B．60° C．75° D．90°
第4题图
第5题图
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，以C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，点B在斜边A′B′上，则∠BDC为( D )
A．70° B．90° C．100° D．105°
6．如图所示，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若△ABD经过逆时针旋转后到△ACP位置，则旋转中心是__点A__，旋转角等于__60°__，△ADP是__等边__三角形．
第6题图
第7题图
7．如图所示，已知点P的坐标为(1，1)，若将点P绕原点顺时针旋转45度，得到点P1，则点P1的坐标为 (，0) ．
8．一个正方形绕着它的中心旋转一定角度后，就能与它自身重合，这个角度至少是__90°__．
第9题图
9．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC上的一点， △ABD经过逆时针旋转后到△ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果M是AB的中点，经过上述旋转后，点M转到什么位置？
解：(1)点A (2)60度
(3)点M转到AC边的中点
第10题图
10．如图所示，在正方形ABCD中作∠EAF＝45°，分别交边BC，CD于点E，F(不与顶点重合)，把△ABE绕点A逆时针旋转90°落在△ADG的位置．
(1)请你在图中画出△ADG(不写作法)；
(2)试说明BE，DF与EF之间的数量关系．
第10题答图
解：(1)作图如图．
(2)BE＋DF＝EF.
证明：∵△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，
即∠DAF＋∠BAE＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
∵在△GAF和△FAE中，
AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE(SAS)．∴GF＝EF.
又∵DG＝BE，∴GF＝BE＋DF，
∴BE＋DF＝EF.
B 更上一层楼 能力提升
11．在图形旋转中，下列说法错误的是( C )
A．图形上各点的旋转角度相同
B．对应点到旋转中心距离相等
C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到
D．旋转不改变图形的大小、形状
第12题图
12．2017·河南中考我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O.固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( D )
A．(，1) B．(2，1) C．(1，) D．(2，)
第13题图
13．如图所示，将直角三角形ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C.连结AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是__65°__．
第14题图
14．金华中考在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F.
(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标；
(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
解：(1)作图如图，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，
第14题答图
∴AO⊥AE，AB⊥AF，BO⊥EF，AO＝AE，AB＝AF.
∵EF＝OB＝4，
∴点E的坐标是(3，3)，点F的坐标是(3，－1)．
(2)∵点F落在x轴的上方，
∴EF＜AO，BO＝EF，
∵AO⊥AE，AO＝AE，
∴点E的坐标是(3，3)．
又∵EF＝OB，
∴OB＜AO，AO＝3，∴OB＜3，
∴一个符合条件的点B的坐标是(－2，0)．
第15题图
15．2017·徐州中考如图所示，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AD，连结DC，DB.
(1)线段DC＝__4__；
(2)求线段DB的长度．
解：(1)证△ACD是等边三角形，得CD＝4.
第15题答图
(2)作DE⊥BC于点E.
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，
∴Rt△CDE中，DE＝DC＝2，
CE＝DC·cos30°＝4×＝2，
∴BE＝BC－CE＝3－2＝.
∴在Rt△BDE中，BD＝＝＝.
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，点E在AB边上，DE的延长线与AC相交于点F，连结DA，BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.
(1)求证：DA∥BC.
(2)猜想线段DF，AF的数量关系，并证明你的猜想．
第16题图
解：(1)证明：由旋转的性质可知：∠DBE＝∠ABC＝60°，BD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠DAB＝∠ABC，
∴DA∥BC.
第16题答图
(2)猜想：DF＝2AF，
证明如下：如图，在DF上截取DG＝AF，连结BG，
由旋转的性质可知，DB＝AB，∠BDG＝∠BAF，
在△DBG和△ABF中，
∴△DBG≌△ABF(SAS)，
∴BG＝BF，∠DBG＝∠ABF，
∵∠DBG＋∠GBE＝α＝60°，
∴∠GBE＋∠ABF＝60°，即∠GBF＝α＝60°，
又∵BG＝BF，
∴△BGF为等边三角形，
∴GF＝BF，
又∵BF＝AF，
∴FG＝AF，
∴DF＝DG＋FG＝AF＋AF＝2AF.
垂径定理(1)
A 练就好基础 基础达标
1．2017·泸州中考如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( B )
A. B．2 C．6 D．8
第1题图
第2题图
2．如图所示，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
第3题图
3．如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD交于点P，且点P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是( D )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．4 cm
4．在半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( C )
A．3 B．4 C. D.
5．如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB＝3，BC＝1，则与圆环的面积最接近的整数是( D )
A．9 B．10 C．15 D．13
第5题图
第6题图
6．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC＝6 cm，则OD＝__3__cm.
7．如图所示，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则AC＝____，BC＝____．
第7题图
第8题图
8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与半径OC垂直，垂足为小圆上的点D.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是__50_cm__．
第9题图
9．如图是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8 m，净高CD为8 m，那么这个隧道所在圆的半径OA的长是多少m？解：设OA长为x (m)，依题意得
OD⊥AB，则AD＝DB＝4 m，OD＝(8－x) m.
在Rt△OAD中，由勾股定理得
x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5.
故这个隧道所在圆的半径OA的长是5 m.
第10题图
10．如图所示，过△OAB的顶点O作⊙O，与OA，OB边分别交点C，D，与AB边交于M，N两点，且CD∥AB，已知OC＝3，CA＝2.
(1)求OB的长；
(2)若∠A＝30°，求MN的长．
第10题答图
解：(1)∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵CD∥AB，∴∠A＝∠OCD，∠B＝∠ODC，
∴∠A＝∠B，
∴OB＝OA＝OC＋CA＝3＋2＝5.
(2)过O作OE⊥MN于点E，连结OM，
∵∠A＝30°，∴OE＝OA＝，
∴在Rt△OEM中，
ME＝＝＝，
∴MN＝2ME＝.
第11题图
11．衢州中考一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面宽CD.
第11题答图
解：如图，过点O作OE⊥AB交AB于点E，交CD于点F，连结OC.
AB＝1.2 m，OE⊥AB，OA＝1 m，
∴OE＝0.8 m，
又∵水管水面上升了0.2 m，
∴OF＝0.8－0.2＝0.6 (m)，CF＝＝0.8 (m)，
∴CD＝2CF＝1.6 m.
B 更上一层楼 能力提升
12．过⊙O内一点M的最长弦长度为10 cm，最短弦长度为8 cm，则OM的长为( C )
A．9 cm B．6 cm C．3 cm D. cm
13．已知⊙O的半径为10 cm，弦AB∥弦CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离为__14_cm或2_cm__．
14．如图所示，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点．已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是 (6，0) ．
第14题图
第15题图
15．如图所示，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心、B为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于点A，B和C，D，连结OA，此时有OA∥PE.
(1)求证：AP＝AO.
(2)若弦AB＝24，求OP的长．
第15题答图
解：(1)证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO＝∠BPO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO＝∠POA，
∴∠BPO＝∠POA，
∴PA＝OA.
(2)过点O作OH⊥AB于点H，
则AH＝HB＝12，
∵OA＝PA＝13，
∴PH＝25.
则OH＝＝＝5，
∴OP＝＝＝5.
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，MN为⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是__14__．
第16题图
17．如图所示，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD＝2OD，则折痕AB的长为__8__．
第17题图
垂径定理(2)
A 练就好基础 基础达标
1．下列命题中，正确的是( B )
A．平分弦的直径必垂直于这条弦
B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．平分弦的直线必经过这个圆的圆心
第2题图
2．如图所示，已知⊙O的半径为6，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为( B )
A. B．2 C．2 D．10
3．已知⊙O中的一条弦AB与直径CD垂直相交于点E，并且CE＝1，DE＝3，那么弦AB的长等于( B )
A. B．2 C．2 D．4
4．如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB＝10 cm，CD＝6 cm，则AC的长为( D )
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
第4题图
第5题图
5．如图所示，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM，ON分别交AB，AC于点E，F，则∠MON的度数为( C )
A．110° B．120° C．130° D．100°
第6题图
6．如图所示，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8 cm，DE＝2 cm，则OD的长为 3 cm.
7．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为__4__m.
第7题图
第8题图
8．2017·西宁中考如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为__2__．
第9题图
9．如图所示，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.
已知：AB＝24 cm，CD＝8 cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径．
解：(1)图略
(2)连结OA，设OA＝x (cm)，AD＝12 (cm)，OD＝(x－8) cm.
则根据勾股定理列方程x2＝122＋(x－8)2.
解得x＝13.
∴圆的半径为13 cm.
第10题图
10．如图所示，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON＝AB.求证：OM＝CD.
第10题答图
证明：如图，因为 ON⊥CD，OM⊥AB，所以M，N分别是AB，CD的中点，又因为ON＝AB，所以易证△ODN≌△BOM，即OM＝CD.
B 更上一层楼 能力提升
第11题图
11．如图所示，⊙O的半径是6，弦AB＝10，CD＝8，且AB⊥CD于点P，则OP的长为( B )
A. B. C．7 D．4
12．如图所示，AB，AC是⊙O的弦，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为点E，F.如果EF＝3.5，那么BC＝__7__．
第12题图
第13题图
13．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为__20__．
第14题图
14．如图所示，⊙O的直径为8 m，弦AB，CD相交于点P，已知点C是弧AB的中点，弦CD的长为4 m，求∠APC的度数．
第14题答图
解：如图，连结OC交AB于点E，
过点O作OF⊥CD于点F.
∵C是的中点，
∴OC⊥AB，
即∠CEB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴CF＝CD＝2 m.
∵⊙O的直径为8 m，∴OC＝4 m，
∴OF＝＝2 m＝OC.
∴∠C＝30°，
∴∠APC＝90°－∠C＝60°.
C 开拓新思路 拓展创新
15．如图所示，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连结AB并延长到点D，使BD＝AB，连结AC，BC，CD.如果AB＝2，则CD＝____．
第15题图
16．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
(1)请分别作出图(1)中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
图(1)
第16题图
(2)若在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，则△ABC的最小覆盖圆的半径是__2.5__；若在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是__3__．
(3)如图(2)，用3个边长为1的正方形组成一个对称的图形，求该图形的最小覆盖圆的半径．
图(2)
第16题图
解：(1)作图略
(3)如图，设OB＝a，则OC＝2－a.
∵OA＝OD，∠DCO＝∠ABO＝90°，
第16题答图
∴12＋a2＝＋(2－a)2，
∴a＝，
∴OA＝
＝
＝.
即该图形最小覆盖圆的半径为.
圆心角(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．下列命题中，属于真命题的是( D )
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．度数相等的弧是等弧
D．顶点在圆心的角是圆心角
2．如图所示，点O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D.给出下列结论：①＝；②AC＝BD；③与的度数相等．其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3 个 D．0个
第2题图
第4题图
3．下列图形中属于轴对称图形而不属于中心对称图形的是( C )
A．圆 B．矩形
C．等边三角形 D．平行四边形
4．如图所示，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，如果的度数是40°，那么∠AOC的度数为( A )
A．110° B．80° C．40° D．70°
5．在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为( B )
A．4 B．8 C．24 D．16
6．如图所示，在⊙O中，弧AB的度数为62°，AC为直径，那么∠BOC＝__118°__．
第6题图
第7题图
7．如图所示，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心、CB为半径的圆恰好经过点AB的中点D，则AC的长为__5__．
8．如图所示，一大一小两个量角器的零度线都在直线AB上，而且小量角器的中心在大量角器的外边缘上．如果它们外边缘上的公共点P在大量角器上对应的度数为50°，那么∠PBA的度数为__32.5°__．
第8题图
9．如图所示，在⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，求证：△ABC是等边三角形．
第9题图
证明：∵∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以直角顶点C为圆心、AC为半径的圆交AB于点D，∠B＝35°.求的度数．
第10题图
第10题答图
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝55°.
连结CD，∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠A＝55°，
∴∠ACD＝70°，
∴的度数是70°.
B 更上一层楼 能力提升
11．⊙O的半径为20 cm，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB＝120°，则△AOB的面积是( C )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．200 cm2
12．圆的一条弦把圆分成5∶1两部分，如果圆的半径是2 cm，则这条弦所对的圆心角的度数为__60°__，这条弦的长为__2__cm.
13．如图所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是__51°__．
第13题图
14．如图所示，AB，CD是⊙O的直径，AB∥DE，AC＝3，则AE＝__3__．
第14题图
第14题答图
【解析】 连结OE.
∵OE＝OD，AB∥DE，
∴∠AOE＝∠OED＝∠D＝∠BOD＝∠AOC，
∴＝，
∴AE＝AC＝3.
15．如图所示，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，请说明＝的理由．
第15题图
证明：连结OE，∵DE∥AB，∴∠BOC＝∠ODE, ∠OED＝∠BOE.
∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠BOC＝∠BOE, ∴＝.
第16题图
16．如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.
求证：＝.
证明：连结OC，OD，
∵M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.
∴△OMC≌△OND，
∴∠COM＝∠DON，
∴＝.
C 开拓新思路 拓展创新
17．如图所示，OC⊥AB，AC，BC，OC分别交以AB为直径的半圆O于点D，E，G.
(1)求证：＝.
(2)若F是OG的中点，FH⊥OG交⊙O于点H.求证：＝3.
第17题图
第17题答图
证明：(1)连结OD，OE.
∵OC⊥AB，OA＝OB，∴AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA.
又∵OA＝OB＝OD＝OE，
∴∠DAB＝∠ADO＝∠EBO＝∠BEO，
∴∠AOD＝∠BOE，∴＝.
(2)连结OH.
∵OH＝OG＝2OF，FH⊥OG.
∴∠OHF＝30°.
又∵OC⊥AB，∴FH∥AB.
又∵∠AOG＝90°，∴∠AOG＝3∠HOB，
∴＝3.
圆心角(2)
A 练就好基础 基础达标
1．已知内接于⊙O的等边三角形ABC的边长是2，则⊙O的半径为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法中正确的是( C )
(1)相等的弦所对的弧相等；
(2)同一圆中两条平行弦所夹的弧相等；
(3)等弧所对的圆心角相等；
(4)相等的圆心角所对的弧相等．
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(3)(4)
3．如图所示，AB，CD是圆O的直径，＝，的度数为140度，则的度数是( A )
A．100° B．70° C．75° D．140°
第3题图
第4题图
4．如图所示，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC等于( D )
A．140° B．135° C．130° D．125°
5．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径画圆，交BC于点D.如果CD＝BD，则等于( D )
A．60° B．75° C．80° D．90°
第5题图
第6题图
6．如图所示，在⊙O中，AB＝AC，的度数为80°，的度数为__140°__．
7．有一个齿轮有20个齿，每两齿之间间隔相等，则相邻两齿间的圆心角为__18°__．
第8题图
8．如图所示，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD.若∠AOB＝∠COD，则AB＝__CD__，OE＝__OF__，＝____．
第9题图
9．已知：如图所示，在⊙O中，弦AB＝CD.
求证：AD＝BC.
证明：∵AB＝CD，∴ ＝，
∴ －＝－，即 ＝，∴AD＝BC.
第10题图
10．如图所示，弦DC，FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，∠1＝∠2.
求证：(1)CD＝EF；
(2) PC＝PE.
证明：(1)连结OC，OE，过O点作OG⊥CD于点G，OH⊥EF于点H，
∴∠OGP＝∠OHE＝90°，
∴GC＝DC，HE＝EF，
又∵∠1＝∠2，
∴△OPG≌△OPH.
∴OG＝OH.又OC＝OE.∴△OGC≌△OHE，
∴GC＝HE，∴CD＝EF.
(2)∵GC＝HE，又GP＝HP，
∴GP－GC＝HP－HE，
∴PC＝PE.
B 更上一层楼 能力提升
11．已知，是同圆中的两段弧，且＝2，则弦AB与CD的关系是( B )
A．AB＝2CD B．AB＜2CD
C．AB＞2CD D．不能确定
12．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为____．
第12题图
第13题图
13．如图所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE.
求证：∠D ＝ ∠B.
第13题答图
证明：如图，连结OE，OF，
∵DF＝BE，
∴∠DOF＝∠BOE.
∵OD＝OB＝OF＝OE，
∴△ODF≌△OBE(SSS)，
∴∠D＝∠B.
第14题图
14．如图所示，已知A，B，C是半径为2的⊙O上的三个点，其中点A是的中点，连结AB，AC，点D，E分别在弦AB，AC上，且满足AD＝CE.
(1)求证：OD＝OE.
(2)连结BC，当BC＝2时，求∠DOE的度数．
解：(1)证明：连结OA，
第14题答图
∵点A是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO.
又∵AD＝CE，
∴△AOD≌△COE(SAS)，
∴OD＝OE.
(2)连结BC交OA于点F，
∵点A是的中点，
∴OA⊥BC，BF＝BC＝×2＝.
在Rt△BFO中，OF＝＝，
∴BF＝CF，∴∠AOB＝45°.
∵△AOD≌△COE，
∴∠AOD＝∠COE.
∴∠BOD＝∠AOE.
∴∠DOE＝∠AOB＝45°.
C 开拓新思路 拓展创新
第15题图
15．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，半径OA＝18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在点D处，折痕交OA于点C，则的度数为__50°__．
16．(1)数学爱好者小森偶然阅读到这样一道探究题：
一个圆内接六边形ABCDEF，各边长度依次为 3，3，3，5，5，5，求六边形ABCDEF的面积．
小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理，将六边形进行分割重组，得到图③.
可以求出六边形ABCDEF的面积等于____．
第16题图
(2)类比探究：一个圆内接八边形，各边长度依次为2，2，2，2，3，3，3，3.
请你仿照小森的思考方式，求出这个八边形的面积．
解：(1)如图，∵六边形ABCDEF为轴对称图形，每次绕圆心O旋转120°都和原来的图形重合，
第16题答图1
∴△MNQ为等边三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等边三角形，
∴NQ＝3＋5＋3＝11，
∴六边形ABCDEF的面积＝S△MNQ－3S△AMF
＝×112－3××32
＝
故答案为.
第16题答图2
(2)如图，∵八边形ABCDEFGH为轴对称图形，每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形重合，
∴四边形PQMN为正方形，△PAB、△QCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝，PN＝＋3＋＝3＋2，
∴这个八边形的面积＝(3＋2)2－4×××＝9＋12＋8－4＝13＋12.
圆周角(1)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AB上，则∠DEC等于( A )
A．45° B．60° C．30° D．55°
第1题图
第2题图
2．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是( B )
A. cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
3．南宁中考如图所示，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( B )
A．140° B．70° C．60° D．40°
第3题图
第4题图
4．毕节中考如图所示，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝( C )
A．100° B．72° C．64° D．36°
5．已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则外接圆的直径是__10__．
6．2017·重庆中考如图所示，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连结AO，AC，∠AOB＝64°，则∠ACB＝__32°__．
第6题图
第7题图
7．2017·庆阳中考如图所示，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝__58°__．
第8题图
8．如图所示，A，B，C，D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝6 cm，若∠ABC＝∠CAD，求弦AC的长．
解：连结DC，则∠ADC＝∠ABC＝∠CAD，故AC＝CD.
∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，
∴在Rt△ACD中，
AC2＋CD2＝AD2，
即2AC2＝36，AC2＝18，∴AC＝3 cm.
第9题图
9．2017·株洲中考如图所示，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，求∠EOM的度数．
第9题答图
解：连结EM，
∵AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，
∴AM⊥BC，
∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM＝∠AEM＝90°，
∴∠AME＝∠AMD＝90°－∠BMD＝50°，
∴∠EAM＝40°，
∴∠EOM＝2∠EAM＝80°.
B 更上一层楼 能力提升
第10题图
10．南州中考如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是( D )
A．∠A＝∠D B.＝
C．∠ACB＝90° D．∠COB＝3∠D
第11题图
11．如图所示，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°， 则点O到CD 的距离OE＝____．
第12题图
12．如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD＝CD.
第12题答图
解：(1)连结AD，∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝∠CAD＝22.5°，
∴∠EBC＝22.5°.
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，∴BD＝CD.
13．安徽中考在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图(a)，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图(b)，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
第13题图
解：(1)连结OQ，如图(a)．
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，
∵∠B＝30°，tan B＝，
∴OP＝＝＝.
在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，
∴PQ＝＝.
第13题答图
(2)连结OQ，如图(b)．
在Rt△OPQ中，PQ＝＝，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，
∴PQ长的最大值为＝.
C 开拓新思路 拓展创新
第14题图
14．如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与C，D重合)，试判断∠CPD与∠COB的大小关系， 并说明理由；
(2)点P′在劣弧CD上(不与C，D重合)，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
解：(1)相等．理由如下：连结OD，∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，∴∠COB＝∠DOB.
∵∠COD＝2∠P，∴∠COB＝∠P，即∠COB＝∠CPD.
(2)∠CP′D＋∠COB＝180°.
理由如下：连结P′P，
则∠P′CD＝∠P′PD，∠P′PC＝∠P′DC，
∴∠P′CD＋∠P′DC＝∠P′PD＋∠P′PC＝∠CPD.
∴∠CP′D＝180°－(∠P′CD＋∠P′DC)
＝180°－∠CPD＝180°－∠COB，
从而∠CP′D＋∠COB＝180°.
第15题图
15．2017·台州中考 如图所示，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形．
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
第15题答图
解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠PEA＝∠ABC＝45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠PEA＝∠APE＝45°，
∴ △APE是等腰直角三角形．
(2)连结BE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，同理AP＝AE，
又∵∠CAB＝∠PAE＝90°，∴∠CAP＝∠BAE，
∴△CPA≌△BAE，∴CP＝BE，
在Rt△BPE中，∠PBE＝90°，PE＝2，
∴PB2＋BE2＝PE2，
∴PC2＋PB2＝PE2＝4.
圆周角(2)
A 练就好基础 基础达标
1．使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格．如图所示的四种情况中合格的是( C )
A． B． C． D.
2．如图所示，两灯塔A，B间的距离恰好为暗礁区所在的圆的半径，要使船S不驶入暗礁区，则航行中应保持∠ASB( D )
A．大于60° B．大于30° C．小于60° D．小于30°
第2题图
第3题图
3．如图所示，A，B，C，D四个点在同一个圆上，在四边形ABCD 的对角线把4个内角分成的8个角中，相等的角有( C )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图所示，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB等于( D )
A．150° B．135° C．115° D．120°
第4题图
第5题图
5．2017·海南中考如图所示，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( B )
A．25° B．50° C．60° D．80°
第6题图
6．如图所示，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作EF∥AB，则∠EBA＝__15°__．
7．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4 cm，∠A＝30°，则△OBC的面积为__4__cm2.
第7题图
第8题图
8．2017·新疆中考如图所示，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为__12__．
第9题图
9．如图所示，已知圆的两弦AB，CD相交于点P，AD，CB的延长线相交于圆外一点Q，∠AQC＝36°，∠ABC＝58°. 求∠BCD和∠APC的度数．
解：∵∠ABC＝58°，∠AQC＝36°，
又∵∠ABC＝∠AQC＋∠A，
∴∠A＝58°－36°＝22°.
由得∠BCD＝∠A＝22°，
∴∠APC＝∠C＋∠ABC＝22°＋58°＝80°.
第10题图
10．如图所示，自⊙O上一点A引三条弦AB，AC，AD，且AC平分∠BAD，过点C作弦CE∥AB交AD于点F，线段DF与EF相等吗？为什么？
解：线段DF＝EF.
理由如下：连结DE，∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC.∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠C，
又∵∠DAC＝∠E，∠C＝∠D，∴∠D＝∠E，∴DF＝EF.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，∠AOB＝100°，则∠A＋∠B等于( C )
A．100° B．80° C．50° D．40°
第11题图
第12题图
12．2017·贵港中考如图所示，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点，若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( D )
A．45° B．60° C．75° D．85°
第13题图
13．2017·海南中考如图所示，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是____．
第14题图
14．如图所示，△ABC为圆内接三角形，AB＞AC，∠A的平分线AD交圆于点D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：BE＝CF.
证明：连结BD，DC，
∵AD平分∠BAF，DE⊥AB，DF⊥AF，
∴∠BAD＝∠FAD，DE＝DF，∴＝，
∴BD＝CD，∵∠BED＝∠DFC＝90°.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE＝CF.
C 开拓新思路 拓展创新
15．已知，如图所示，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O 于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.求证：
(1)∠DAC＝∠DBA；
(2)点P是线段AF的中点．
第15题图
证明：(1)∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA.
(2)∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°，
∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，
∴PD＝PA，
∵∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，
∴PA＝PF，即点P是线段AF的中点．
16．潍坊中考正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连结DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连结BF，AF，且AF与DE相交于点G.求证：
(1)四边形EBFD是矩形；
(2)DG＝BE.
第16题图
证明：(1)∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFD＝∠BCD＝90°，
又∵DF∥BE，∴∠EDF＋∠BED＝180°，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形EBFD是矩形．
(2)∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴的度数是90°，∴∠AFD＝45°，
又∵∠GDF＝90°，∴∠DGF＝∠DFG＝45°，
∴DG＝DF，
又∵在矩形EBFD中，BE＝DF，
∴BE＝DG.
圆内接四边形
A 练就好基础 基础达标
1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝45°，∠B＝67.5°，则∠D等于( C )
A．67.5° B．135° C．112.5° D．45°
2．四边形ABCD内接于圆，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比可能是( C )
A．1∶2∶3∶4 B．7∶5∶10∶8
C．13∶1∶5∶17 D．1∶3∶2∶4
3．兰州中考如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( C )
A．45° B．50° C．60° D．75°
第3题图
第4题图
4．如图所示，在圆O的内接四边形ABCD中，BC＝DC，∠BOC＝130°，则∠BAD的度数是( B )
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．如图所示，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对的圆周角的度数为( D )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
第5题图
第6题图
6．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝__50°__．
7．泰州中考如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD等于__130°__.
第7题图
第8题图
8．如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是上两点，∠ADC＝120°，则∠BAC等于__30°__．
第9题图
9．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，并且AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.求证：BC＝EC.
第9题答图
证明：如图，连结AC，∵AD是⊙O的直径，
∴AC⊥DE，∵C是的中点，
∴∠ADC＝∠AED.
∵∠EBC＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，
∴BC＝EC.
第10题图
10．如图所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是劣弧OB上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径长．
解：∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°.
∵AB是⊙C的直径，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°.
∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，∴AB＝2OA＝6，∴⊙C的半径长为3.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是( C )
A．75° B．95° C．105° D．115°
第11题图
第12题图
12．凉山中考如图所示，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为( D )
A．80° B．100° C．110° D．130°
13．2017·永州中考如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED＝40°，则∠ADC＝__100°__．
第13题图
第14题图
14．2017·盐城中考如图所示，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝__110°__．
第15题图
15．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，＝，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE＝3，DE＝.求∠ABC的度数．
解：如图，作BF⊥CE于点F，
∵四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠BCF＋∠DCE＝90°，
∠D＋∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D.
又∵＝，∴BC＝CD，
∴Rt△BCF≌Rt△CDE.
∴BF＝CE.
第15题答图
又∵∠BFE＝∠AEF＝∠A＝90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF＝AE.
∴AE＝CE＝3，
在Rt△CDE中，
∵DE＝，∴CD＝2，∴DE＝CD，
∴∠DCE＝30°，∠D＝60°.
∵∠ABC＋∠D＝180°，
∴∠ABC＝120°.
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，D是劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，
第16题图
延长BD至E.
(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE.
(2)若∠BAC＝30°，在△ABC中BC边上的高为2＋，求⊙O的面积．
解：(1)证明：∵A，B，C，D四点共圆．
∴∠CDF＝∠ABC.
由得∠ACB＝∠ADB＝∠EDF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CDF＝∠EDF，
即AD的延长线DF平分∠CDE.
(2)连结AO并延长交BC于点H，
连结OB，OC.
∵AB＝AC，∴＝，
∴AH⊥BC.
∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．
设OB＝r，则BH＝r，OH＝r，
∴AH＝r＋r＝2＋，
∴r＝2，∴⊙O的面积为4π.
第17题图
17．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，P为上一动点(不与点C，D重合)．
(1)若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；
(2)若∠A＝90°，＝，求证：PB－PD＝PC.
第17题答图
解：(1)连结AC，
∵∠D＝90°，∴AC是⊙O的直径，
∵∠BAC＝∠P＝30°，∴AC＝2BC＝6，
∴⊙O的半径为3.
(2)证明：∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，
∵AC为⊙O直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
∵＝，∴AB＝AD，
∴矩形ABCD为正方形，
在BP上截取BE＝DP，
∴△BCE≌△DPC，∴PC＝CE，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PE＝PC，∴PB＝PD＋PC，
即PB－PD＝PC.
正多边形
A 练就好基础 基础达标
1．如果一个正多边形的一个内角为135°，则这个正多边形为( A )
A．正八边形 B．正九边形
C．正七边形 D．正十边形
2．正六边形的外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是( B )
A. B．2 C．3 D．2
3．若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为( B )
A．3 B．3 C．6 D．6
4．圆内接正六边形边长为6，则该圆的内接正三角形的边长为( C )
A．9 B．6 C．6 D．12
5．西宁中考一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过( A )
A．12 mm B．12 mm C．6 mm D．6 mm
6．如图所示，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝__72°__．
第6题图
7．某活动小组为开展综合实践活动，要用60 m的木栅栏围成正多边形，活动小组准备从正三角形、正方形、正六边形中选一个，那么选__正六边形__面积最大．
8．如图所示，已知正五边形ABCDE，AC，BD相交于点P.
第8题图
(1)求∠APB的度数；
(2)求证：AC＝AB＋BP.
解：(1)∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB＝BC＝CD，
∠ABC＝∠BCD＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，∴∠APB＝∠PBC＋∠ACB＝72°.
(2)证明：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAC＝××360°＝36°，
∴∠ABP＝××360°＝72°，
∴∠ABP＝∠APB；
∴AB＝AP；
同理可证：∠PBC＝∠PCB＝36°.
∴PB＝PC，
∴AC＝AB＋BP.
第9题图
9．2017·无锡中考如图所示，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：
(1)作△ABC的外心O；
(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，H分别在边BC和AC上．
解： (1)如图所示，点O即为所求．
第9题答图
(2)如图所示，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
第9题答图
B 更上一层楼 能力提升
10．下列命题中，正确的说法有( A )
①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．连云港中考如图所示，在正十二边形A1A2…A12中，连结A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝__75°__．
第11题图
第12题图
12．如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为__4－__．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，多边形ABCDEFGH是正八边形，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，求出点E的坐标．
第13题图
解：延长ED交y轴于点K.
∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴AB＝＝＝2，
∴OK＝2OB＋BC＝2×2＋2＝4＋2，
EK＝KD＋DE＝2＋2，
∴点E坐标为(2＋2，4＋2)．
C 开拓新思路 拓展创新
第14题图
14．2017·承德一模如图所示，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是( D )
A. B．2 C．3 D．3
15．2017·上海中考我们规定：一个正n边形(n为整数，n≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝____．
16．如图所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON.
(1)求图(a)中∠MON的度数；
(2)在图(b)中∠MON的度数是__90°__，图(c)中∠MON的度数是__72°__；
(3)若M，N分别是正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM＝CN.连结OM，ON，你认为∠MON的度数是__°__．(直接写出答案)
第16题图
解：(1)∠MON＝120° (2)90 72
(3)
弧长及扇形的面积(1)
A 练就好基础 基础达标
1．在半径为3的⊙O中，弦AB＝3，则的长为( B )
A. B．π C.π D．2π
2．如果⊙O的周长为10π cm，那么它的半径为( A )
A．5 cm B. cm C．10 cm D．10π cm
3．在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形OAB的面积是( C )
A．6π cm2 B．8π cm2 C．12π cm2 D．24π cm2
4．如图所示，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为( D )
A．π B．6π C．3π D．1.5π
第4题图
第5题图
5．绍兴中考如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长为( B )
A．2π B．π C. D.
6．已知一个扇形的圆心角等于120°，半径为6，这个扇形的弧长为__4π__．
第7题图
7．2017·台州中考如图所示，扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30 cm，则弧BC的长为__20π__cm.(结果保留π)
第8题图
8．2017·烟台中考如图所示，在(ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为__π__．
第9题图
9．如图所示，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝30°，点E在AC上，∠AOE＝60°且OE＝1，求劣弧AC的长．
解：∵∠A＝30°，∠AOE＝60°，
∴OE⊥AC，∵OE＝1，
∴AO＝2，∠AOC＝120°，
∴劣弧AC的长为＝＝.
10．如图所示，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，求点P运动的路径长．
第10题图
解：点P运动的路径长为：
＋＋＋＋＋
＝(12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)．
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，∠AOB＝90°，∠B＝20°，以点O为圆心、OA长为半径的圆交AB于点C.若AO＝1，则的长为 __π__．
第11题图
第12题图
12．兰州中考如图所示，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( C )
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．5π cm
13．2017·黔南州中考如图所示，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝130°，∠CAO＝60°，OA＝6，则的长为__π__．
第13题图
第13题答图
【解析】 连结OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAO＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝130°－60°＝70°，
∴的长＝＝π.
第14题图
14．如图所示，在⊙O中，AB是直径，半径为R，
的长为R.求：
(1)∠AOC的度数；
(2)若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点．试求△AEC≌△DEO时，D点的位置．
解：(1)∠AOC＝60°
(2)D的位置，只要满足∠DOB＝60°或AC∥OD或点D为劣弧BC的中点．
C 开拓新思路 拓展创新
15．如图所示，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于__5π__．
第15题图
第15题答图
【解析】 由图形可知，圆心先向前走OO1的长度即圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为×2π×5＋×2π×5＝5π，故答案为5π.
16．如图所示中(a)，(b)，…，(n)分别是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧、……、n条弧．(弧在n边形内)
(1)图(a)中3条弧的弧长的和为__π__，图(b)中4条弧的弧长的和为__2π__；
(2)求图(n)中n条弧的弧长的和 (用n表示)．
图(a)
图(b)
… 图(n)
第16题图
解：(1)∵n1＋n2＋n3＝180°，
∴利用弧长公式可得＋＋＝π，
同理，∵四边形的内角和为360°，
∴＋＋＋＝2π.故答案为π，2π.
(2)n条弧长的和为＝(n－2)π.
弧长及扇形的面积(2)
A 练就好基础 基础达标
1．一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3π cm2，那么这个扇形的半径是( B )
A. cm B．3 cm C．6 cm D．9 cm
2．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了( C )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
3．如图所示，以四边形ABCD各顶点为圆心，以1为半径画圆，则图形中阴影部分的面积之和是( B )
第3题图
A．2π B．π C. D.
4．2017·重庆中考如图所示，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是( B )
A．2－ B.－ C．2－ D.－
第4题图
第5题图
5．自贡中考如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为( D )
A．2π B．π C. D.
6．半径为10，圆心角为36°的扇形面积为__10π__．
7．一个扇形的弧长为20π，面积为240π，则这个扇形的半径为__24__．
第8题图
8．攀枝花中考如图所示，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
(1)求证：DE＝AB.
(2)以A为圆心、AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF＝FC＝1，求扇形ABG的面积．(结果保留π)
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AFB，
∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠B，
在△ABF和△DEA中，
∴△ABF≌△DEA(AAS)，
∴DE＝AB.
(2)∵BC＝AD，AD＝AF，∴BC＝AF，
∵BF＝1，∠ABF＝90°，
∴由勾股定理得AB＝＝，
∴∠BAF＝30°，DE＝AB＝DG＝，
∴扇形ABG的面积＝＝.
第9题图
9．桂林中考如图所示，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心、OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连结AD，求图中阴影部分面积．
解：作DH⊥AE于点H，
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，
∴AB＝＝，
由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，
DE＝EF＝AB＝，
△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝2，
S阴＝S△ADE＋S△EOF＋S扇形AOF－S扇形DEF＝×5×2＋×2×3＋－＝8－π.
B 更上一层楼 能力提升
第10题图
10．2017·嘉兴中考如图所示，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O，弧AB的度数为90°，弓形 (阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为__32＋48π__cm2.
11．巴中中考如图所示，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心、AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为__18__．
第11题图
12．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°.现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为____．
第12题图
第13题图
13．2017·贵港中考如图所示，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD 与交于点D，以O为圆心、OC的长为半径作交OB于点E，若OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为__π＋2__．(结果保留π)
第13题答图
【解析】 连结OD，AD，
∵点C为OA的中点，
∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴S扇形AOD＝＝π，
∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形AOD－S△COD)
＝－－
＝π－π－π＋2
＝π＋2.
第14题图
14．如图所示，半圆直径AB＝2，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点．求阴影部分的面积．
第14题答图
解：如图，连结OC，OD，CD.易证CD∥AB，
∴△COD和△CPD等底等高，
∴S△COD＝S△PCD.
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝.
C 开拓新思路 拓展创新
15．如图所示，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB＝3.
(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′.试求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
第15题图
解：(1)双曲线的解析式为y＝.
(2)在Rt△OBA中，∠AOB＝30°，AB＝3，
sin∠AOB＝，
sin 30°＝，∴OA＝6.
由题意得∠AOC＝60°，S扇形AOA′＝＝6π，
在Rt△OCD中，∠DOC＝45°，
OC＝OB＝3，
∴OD＝OC·cos 45°＝3·＝.
∴S△ODC＝OD2＝＝.
∴S阴＝S扇形AOA′－S△ODC＝6π－.
专题分类突破三 圆的辅助线及多解性
, 类型 1 遇弦心距、弧中点及求弓形面积添半径)
【例1】 2017·启东期中有一石拱桥的桥拱是圆弧形的，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施．当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
例1图
例1答图
解：不需要采取紧急措施．
理由如下：
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，
∴R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34.
连结OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，
∴342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2，
x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)；
∴DE＝4.
∵4＞3.5，∴不需采取紧急措施．
变式 如图所示，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为( A )
变式图
A．2π－4 B．4π－8 C．2π－8 D．4π－4
, 类型 2 利用圆的轴对称性添辅助线)
【例2】 如图所示，在半径为6 cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为__6__cm2.
例2图
变式 如图所示，AB是⊙O的直径，弧AC的度数是60°，的度数是20°，且∠AFC＝∠BFD，∠AGD＝∠BGE，则∠FDG的度数为__50°__．
变式图
, 类型 3 利用圆的旋转不变性补形)
【例3】 如图所示，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为____cm2.
变式图
, 类型 4 圆的对称性引起的多解性)
【例4】 在⊙O中，弦AB和弦AC构成的∠BAC＝48°，M，N分别是AB和AC的中点，则∠MON的度数为__132°或48°__．
变式1 一个点到圆的最小距离为6 cm，最大距离为9 cm，则该圆的半径是( C )
A．1.5 cm B．7.5 cm
C．1.5 cm或7.5 cm D．3 cm或15 cm
变式2 点P是半径为5的⊙O上的一点，且OP＝3，在过P点的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为__4__．
1．⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为__140°或40°__．
2．如图所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为__50°__．
第2题图
第3题图
3．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是__8__cm.
4．2017·湖州中考如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则的度数是__140°__．
第4题图
第5题图
5．2017·朝阳中考如图所示，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积( A )
A．不变 B．由大变小
C．由小变大 D．先由小变大，后由大变小
第6题图
6．2017·河南中考如图所示，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连结BB′，则图中阴影部分的面积是( C )
A. B．2－
C．2－ D．4－
7．如图所示，AB是⊙O的直径，C，P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图(a)，若点P是弧AB的中点，求PA的长；
(2)如图(b)，若点P是弧BC的中点，求PA的长．
图(a) 图(b)
第7题图
解：(1)如图(a)所示，连结PB.
∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°.
又∵在等腰直角三角形△APB中有AB＝13，
∴PA＝＝＝.
图(a) 图(b)
第7题答图
(2)如图(b)所示，连结BC，OP相交于点M，作PN⊥AB于点N.
∵P点为的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，
又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB＝∠POB.
又∵∠ACB＝∠ONP＝90°，
∴△ACB∽△ONP，∴＝，
又∵AB＝13，AC＝5，OP＝，代入，得 ON＝，
∴AN＝OA＋ON＝9，
∴在Rt△OPN中，NP2＝OP2－ON2＝36.
在Rt△ANP中，PA＝＝＝3，
∴PA＝3.
8．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E.
(1)如图(a)，当∠A为锐角时，判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；
(2)若图(a)中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图(b)，CA的延长线与圆O相交于点E.请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与(1)中你得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．
图(a)
图(b)
第8题图
解：(1)∠BAC＝2∠CBE.
理由如下：连结AD，∵AB为直径，∴AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CAD＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE.
(2)结果仍然成立．
理由如下：连结AD，∵AB为直径，
∴∠E＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵四边形ADBE内接于⊙O，
∴∠CAD＝∠CBE＝∠BAD，
∴∠BAC＝2∠CBE.
章末总结提升
, 探究点 1 圆的定义应用的延伸性)
【例1】 2017·青岛中考如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连结BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__32__度．
例1图
变式图
变式 如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC的平分线交△ABC外接圆于点D，连结BD，若AB＝2AC＝4.
(1)则BD长为__2__；
(2)设点P在优弧CAB上由点C向点B移动(不与点C，B重合)，记∠PBC的角平分线与PD交点为I，点I随点P的移动所经过的路径长l的取值范围是__0＜l＜__．
, 探究点 2 “弧”与“圆周角”的主角性)
【例2】 如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.
求证：(1)CB∥PD；(2)＝.
例2图
证明：(1)∵∠P，∠C所对的弧都是，
∴∠P＝∠C.∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD.
(2)∵∠1＝∠C，∴＝.
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，∴＝.
变式图
变式 如图所示，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD，AC于点F，G.求证：FA＝FB.
例2答图
证明方法1：连结OA，OE，∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAD＝90°，
∵AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°，
∴∠C＝∠BAF，
∵＝，∴∠C＝∠ABF，
∴∠BAF＝∠ABF，∴FA＝FB.
方法2：延长AD交⊙O于H，
由AD⊥BC易得＝＝，∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB.
, 探究点 3 圆与正多边形、扇形、弓形的关联性)
例3图
【例3】 如图所示，正方形ABCD的对角线AC所在的直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是( C )
A．2π B．2π＋1 C．2π＋2 D．2π＋3
, 探究点 4 圆中的最值问题)
【例4】 如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连结BP，则BP的最大值是__＋2__．
例4图
变式图
变式 如图所示，C，D是以AB为直径的圆O上的两个动点(点C，D不与A，B重合)，在运动过程中，弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝6，AB＝8，PM＝x，则x的最大值是( C )
A．5 B．2 C．4 D．2
1．如图所示，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形(阴影部分)，拼成一个四边形．若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为( D )
第1题图
A．5 B．6 C．8 D．10
第2题图
2．如图所示，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点(不含A，B两点)，点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数表达式为 y＝90－x，且0＜x＜180 ．
第3题图
3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP.
(1)求证：BD＝DC.
(2)求∠BOP的度数．
第3题答图
解：(1)证明：如图，连结AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，∴BD＝CD.
(2)∵∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴∠ABC＝×(180°－30°)＝75°.
∵四边形ABDE为圆O的内接四边形，
∴∠EDC＝∠BAC＝30°.
∵BP∥DE，∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠OBP＝∠ABC－∠PBC＝45°.
∵OB＝OP，∴△OBP为等腰直角三角形，∴∠BOP＝90°.
第4题图
4．在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若OA＝2，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求弧CD的长．
解：(1)证明：作OE⊥BD，OF⊥AC，则AC＝2AF，BD＝2BE.
在Rt△OFA和Rt△OEB中，OA＝OB，∠A＝∠B.
∴Rt△OFA≌Rt△OEB.∴AF＝BE，∴AC＝BD.
(2)连结OC，OD，CD.∵OC＝OA＝OD＝OB，∠A＝30°，
∴∠OCA＝∠ODB＝∠B＝30°.
∵AC⊥BD，∴∠MCD＋∠MDC＝90°.∴∠OCD＋∠ODC＝∠OCM＋∠MCD＋∠MDC＋∠MDO＝90°＋30°＋30°＝150°，
∴∠COD＝30°，∴＝×π×2×2＝.
第5题图
5．如图所示，已知AB是⊙O的直径，半径OD⊥BC于点E，连结AE，的度数为60°.
(1)求证：OE＝DE.
(2)若OE＝2，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵OD⊥BC，∴＝＝60°.
∴∠BOD＝60°.∵OD＝OB，连结BD，
∴△BOD为等边三角形．
∵BC⊥OD，∴OE＝DE.
(2)连结AC，OC，∵AB为直径，∴AC⊥BC.
又∵OE⊥BC，∴AC∥OE，
∴S△OAC＝S△EAC.
∵∠BOE＝60°，OE⊥BC，
∴∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝2∠OBC＝60°，
∴OA＝AC＝2OE＝4，
∴S阴＝S扇形AOC＝＝π.
6．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD.
(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数．
第6题图
解：(1)如图1，过点O作OE⊥AC于点E，
则AE＝AC＝×2＝1，
∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE＝r，
在Rt△AOE中，AO2＝AE2＋OE2，
即r2＝12＋，解得r＝.
第6题答图
(2)如图2，连结BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－25°＝65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝65°－25°＝40°.
阶 段 性 测 试(七)
[考查范围：圆的基本性质(3.1～3.8)]
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．下列命题中正确的有( B )
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( B )
第2题图
A．2＜r＜ B.＜r＜3
C.＜r＜5 D．5＜r＜
3．如图所示，AB是⊙O的直径，D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，则∠DAC等于( B )
A．15° B．30° C．45° D．60°
第3题图
第4题图
4．如图所示，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为( C )
A．2 B．4 C．4 D．8
5．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( C )
A．45° B．50° C．60° D．75°
第5题图
第6题图
6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB＝30°，CD＝4，则阴影部分的面积为( D )
A．π B．4π C.π D.π
第7题图
7．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( D )
A．5 B. C．5 D．5
二、填空题(每小题5分，共25分)
8．如图所示，⊙O的弦AB与半径OC的延长线相交于点D，且BD＝OA.若∠AOC＝120°，则∠D＝__20°__．
第8题图
第9题图
9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心、BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为__50°__．
10．如图所示，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝__72°__．
第10题图
第11题图
11．如图所示，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝__215°__．
第12题图
12．如图所示，AD是⊙O的直径，点A，B，C，D，E，F顺次六等分⊙O，已知⊙O的半径为1，P为直径AD上任意一点，则图中阴影部分的面积为____．
三、解答题(4个小题，共40分)
第13题图
13．(10分)如图所示，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB＝12，CD＝2.求⊙O半径的长．
解：连结AO，
第13题答图
∵点C是的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB，∴AB＝12，
∴AD＝BD＝6，
设⊙O的半径为R，
∵CD＝2，
∴在Rt△AOD中，由勾股定理，得
AO2＝OD2＋AD2，
即R2＝(R－2)2＋62，解得R＝10，
即⊙O的半径长为10.
第14题图
14．(10分)如图所示，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连结ED，若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC.
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，
∴∠EDC＝∠B，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)连结BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，
设CD＝a，由(1)知AB＝AC＝4，则AD＝4－a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2＝AB2－AD2＝42－(4－a)2
在Rt△CBD中，由勾股定理得：
BD2＝BC2－CD2＝(2)2－a2
整理得a＝即CD＝.
第15题图
15．(10分)在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是优弧CAD上一点(不与C，D重合)，求证：∠CPD＝∠COB；
(2)点P′在劣弧CD上(不与C，D重合)时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请给出证明．
第15题答图
证明：(1)连结OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝.
∴∠COB＝∠DOB＝∠COD.
又∵∠CPD＝∠COD，
∴∠CPD＝∠COB.
(2)∠CP′D＋∠COB＝180°.
证明如下：连结OD，
∵∠CPD＋∠CP′D＝180°，∠COB＝∠DOB＝∠COD，
又∵∠CPD＝∠COD，
∴∠COB＝∠CPD，∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
第16题图
16．(10分)如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连结AF并延长交⊙O于点D，连结OD交BC于点E，∠B＝30°，FO＝2.
(1)求AC的长度．
(2)求图中阴影部分面积．(结果保留根号)
解：(1)∵OF⊥AB，∴∠BOF＝90°，
第16题答图
∵∠B＝30°，FO＝2，∴OB＝6，AB＝2OB＝12，
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴AC＝AB＝6，
(2)∵由(1)可知：AB＝12，
∴AO＝6，即AC＝AO，
在Rt△ACF和Rt△AOF中，
∵AF＝AF，AC＝AO，
∴Rt△ACF≌Rt△AOF(HL)，
∴∠FAO＝∠FAC＝30°，∴∠DOB＝60°，
过点D作DG⊥AB于点G，
∵OD＝6，∴DG＝3，
∴S△ACF＋S△OFD＝S△AOD＝×6×3＝9，
即阴影部分的面积为9.
阶 段 性 测 试(五)
[考查范围：圆的基本性质(3.1～3.3)]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如图所示，在5×5的正方形网格中，如果一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
A．点P B．点Q C．点R D．点M
第1题图
第2题图
2．如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD交于点P，且BP＝2，AP＝8，则CD的长为( D )
A．2 B．4 C．6 D．8
第3题图
3．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为( A )
A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
4．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( C )
A．2 B．8 C．2或8 D．3或9
5．有下列说法：①半圆是弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤三点确定一个圆．其中错误的是( D )
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤
6．如图所示，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为( B )
第6题图
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题(每小题6分，共24分)
7．已知⊙A的半径为5，圆心A(3，4)，坐标原点O与⊙A的位置关系是__在⊙A上__．
8．如图所示，AB为⊙O的弦，P为AB上一点，且PA＝8，PB＝6，OP＝4，则⊙O的半径为__8__．
第8题图
9．在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC的中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为__2__．
10．如图是一个古代车轮的碎片，形状为圆环的一部分，为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝8 cm，AB＝48 cm.则这个外圆半径为__40__cm.
第10题图
三、解答题(5个小题，共46分)
11．(8分)如图所示，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，请你在图中画出点P的位置，并写出点P的坐标．
第11题图
第11题答图
解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，
作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P(1，2)，
∴旋转中心的坐标为(1，2)．
第12题图
12．(8分)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，求这个小圆孔的宽口AB的长度．
解：连结OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10 mm，
∴钢珠的半径是5 mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，
∴OD＝3 mm，
在Rt△AOD中，∵AD＝＝＝4(mm)，
∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
13．(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4.求a的值．
第13题图
第13题答图
解：作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连结PB，如图所示，
∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝x，得y＝3，
∴D点坐标为(3，3)，∴CD＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形．
∵PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝＝1，
∴PD＝，∴a＝3＋.
14．(10分)如图所示，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点．求PA＋PC的最小值．
第14题图
第14题答图
解：连结OA，OB，OC，作CH⊥AB于点H.
根据垂径定理，得到BE＝AE＝4，CF＝DF＝3，
∴OE＝＝＝3，
OF＝＝＝4，
∴CH＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7，
在Rt△BCH中，根据勾股定理，得BC＝＝＝7，则PA＋PC的最小值为7.
15．(10分)如图是由两个长方形组成的工件的平面图(单位： mm)，直线l是它的对称轴．求能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径．
第15题图
第15题答图
解：如图，设圆心为O，
连结AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM＝30，AN＝40，
∵CM2＋OM2＝AN2＋ON2，
∴302＋OM2＝402＋(70－OM)2，
解得OM＝40，
∴OC＝＝50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm.
阶 段 性 测 试(六)
[考查范围：圆的基本性质(3.6～3.8)]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3 cm，那么扇形的面积为( A )
A．3π cm2 B．π cm2 C．6π cm2 D．2π cm2
2．如果一个扇形的弧长是，半径是3，那么此扇形的圆心角为( D )
A．40° B．45° C．60° D．80°
3．圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( B )
A．60° B．120° C．140° D．150°
第4题图
4．如图所示，圆上有A，B，C，D四点，其中∠BAD＝80°.若圆的半径为18 cm，则弧BAD的长为( D )
A．10π cm B．15π cm
C．16π cm D．20π cm
5．圆内接正六边形的边长与该边所对的劣弧的长的比是( C )
A．1∶ B．1∶π
C．3∶π D．6∶π
第6题图
6．如图所示，⊙P的半径为5，A，B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD(点D，P在直线AB两侧)．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为( D )
A．5π B．6π C．8π D．9π
二、填空题(每小题6分，共24分)
第7题图
7．如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD＝__130°__．
8．圆心角为60°的扇形面积为6π cm2，则此扇形弧长为__2π__cm.
9．如图所示，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连结AC，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝__27°__．
第9题图
第10题图
10．如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内部△ABE的面积为6 cm2，则正八边形ABCDEFGH面积为__24__cm2.
三、解答题(5个小题，共46分)
第11题图
11．(8分)如图所示，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，
∴AB＝10 cm.∴OB＝5 cm.
连结OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°.∴∠BOD＝90°.
∴BD＝＝5cm.
(2)S阴影＝π·52－×5×5＝(cm2)．
第12题图
12．(8分)如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交⊙O外于一点E.求证：BC＝EC.
第12题答图
证明：如图，连结AC.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°＝∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＋∠ABC＝180°.
又∵∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
∵C是的中点，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°，
∴∠E＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，
∴BC＝EC.
13．(10分)如图所示，ABCD是围墙，AB∥CD，∠ABC＝120°，一根6 m长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子上(B处)，另一端拴着一只羊(E处)．
(1)请在图中画出羊活动的区域；
(2)求出羊活动区域的面积．(保留π)
第13题图
解：(1)如图所示，扇形BFG和扇形CGH为羊活动的区域．
第13题答图
(2)S扇形GBF＝＝12 π m2，
S扇形HCG＝＝π m2，
∴羊活动区域的面积为：12π＋π＝π m2.
第14题图
14．(10分)如图所示，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝6 cm，求图中劣弧的长．
第14题答图
解：(1)如图，连结OB.
∵弦BC垂直于半径OA，
∴BE＝CE，＝.
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝60°.
(2)∵BC＝6，∴CE＝BC＝3.
在Rt△OCE中，∠AOC＝60°，∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC.
∵OE2＋CE2＝OC2，
∴＋32＝OC2，∴OC＝2.
∵＝，
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴的长＝＝＝π(cm)．
15．(10分)如图1正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连结DE，AE.
(1)求∠AED的度数；
(2)如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连结AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
第15题图
第15题答图
解：(1)如图1中，连结OA，OD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°.
(2)如图2中，连结CF，CE，CA，作DH⊥AE于H.
第15题答图
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2＋DH2，
∴＝(4－x)2＋x2，解得x＝或，
∴DE＝DH＝或.
