4.2 平面直角坐标系(1)（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第4章图形与坐标4.2平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系（1）
【知识清单】
一、平面直角坐标系的含义及有关概念：
1. 平面直角坐标系有关概念：如图1，在平面内画两条互相垂直且有公共原点O的数轴，其中一条（通常画成水平的）叫做x轴或横轴，向右的方向为正方向；另一条（画成与x轴垂直的）叫做y轴或纵轴，向上的方向为正方向.这样就在平面内建立了平面直角坐标系，简称坐标系.坐标系所在的平面就叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点O叫做直角坐标系的原点.?
2.点的坐标确定方法：如图2，对于平面内任意一点M，过M作MM1⊥x轴、MM2⊥y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序实数对（x，y）叫做M点的坐标.??规定点的坐标用（x，y）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒.
3.在直角坐标系中如何根据点的坐标找出这个点：如图3，如点P的坐标为（a，b），?在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点.??[来源:学科网ZXXK]
二、平面直角坐标系的象限的划分及象限中点的坐标符号的确定：如图4.?
? 1.象限划分：x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，规定两条数轴的正方向的所夹的象限叫做第一象限，其它三个象限按逆时针方向依次叫做第二象限；第三象限；第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限；
2.象限中点的坐标的符号的确定：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）?.若点P（x, y）在第一象限?x＞0，y＞0；点P（x, y）在第二象限?x＜0，y＞0；
点P（x, y）在第三象限?x＜0，y＜0；点P（x, y）在第四象限?x＞0，y＜0.
3.x轴，y轴上点的坐标的特征：点P（x, y）在x轴上?y为0（点纵坐标为0），x为任意实数，一般表示为P（x，0）；点P（x,y）在y轴上?x为0（点横坐标为0），y为任意实数，一般表示为P（0，y）.
三、点P（x, y）坐标的几何意义：
1.点P（x, y）到x轴的距离是；2.点P（x, y）到y袖的距离是；3. 点P（x, y）到原点的距离等于.
四、坐标与有序实数对的关系：
在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与之对应；反过来，对于任意一个有序实数对，在平面内都有的一点与它对应.
五、注意：
1. 有序实数对意义：（1）a与b要用逗号分开，以示它们是两个独立有序的数，又要用括号“包装”起来，表示它们是一个整体；（2）若a≠b则(a,b)与(b,a)表示两个不同的有序数对；（3）在直角坐标系中，有序数对（a,b）表示点的坐标，a,b依次表示横坐标、纵坐标.切记横坐标在前，坐标标在后.
2.组成平面直角坐标系的四个要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.
3.两个规定：①正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度规定：一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，依据实际需要有时横轴与纵轴单位长度可以不同，但同一条数轴的单位长度必须相同.
【经典例题】
例题1、（1）已知点M到x轴的距离为6，到y轴距离为4，且在第四象限内，则点M的坐标为 .
（2）已知点Q在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和为3，则点Q的坐标为______（写出一个即可）
【考点】点的坐标?
【分析】（1）根据点M（x, y）坐标的几何意义，可得=6，=4和第四象限内的点的坐标符号为（+，），即可得出答案．（2）由于Q点在第二象限，由此可以确定横坐标为负，纵坐标为正，又横坐标与纵坐标的和是3，由此可以确定Q点的坐标，答案不唯一．
【解答】（1）M到x轴的距离为6，到y轴距离为4，=6，=4且在第四象限内，∴点的坐标符号为（，+），∴点M的坐标为（4,6）；
（2）∵Q点在第二象限，∴点的坐标符号为（，+），又横坐标与纵坐标的和是3，∴Q点的坐标为（1,4）．
故答案为：（1, 4）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，）．

例题2、已知：点A（5m+20，2m6）．试分别根据下列条件，求出A点的坐标．
（1）点A在y轴上；
（2）点A在x轴上；
（3）点A的横坐标比纵坐标小1；
（4）点A的横坐标与纵坐标的比大为3︰4．
【考点】点的坐标．
【分析】（1）让横坐标为0求得m的值，代入点A的坐标即可求解；
（2）让纵坐标为0求得m的值，代入点A的坐标即可求解；
（3）让横坐标=纵坐标1得m的值，代入点A的坐标即可求解；
（4）让横坐标:纵坐标为=3:4，求得m的值，代入点A的坐标即可求解；
【解答】（1）令5m+20=0，解得m=4，所以A点的坐标为（0，14）；
（2）令2m6=0，解得m=3，所以A点的坐标为（35，0）；
（3）令5m+20=（2m6）1，解得m=3，所以A点的坐标为（5，12）；
（4）根据题意，得，解得m=7．所以A点的坐标为（15，20）．
【点评】此题考查了平面直角坐标系点坐标的符号特征，用到的知识点为列方程解决问题．
【夯实基础】
　 1、下列图形为平面直角坐标系的是（ ）

2、点A（a,b）到x轴的距离为5，到y的距离为6，则有（ ）.
A.a=±5 ,b=±6 B. a=±6,b=±5 C. a=6 ,b=5 D. a=5 ,b=6
3、若点在第四象限，则点所在象限的是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4、在平面直角坐标系中，下列坐标一定在第二象限的是（　　）
A． B． C． D．
5、在平面直角坐标系中，点P（6,8）到原点O的距离是 .
6、如点P（7x14，155x）在y轴上，则点P的坐标为 .
7、在平面直角坐标系中，点M的纵坐标为6，且点M到y轴的距离为5，则点M的坐标为 .
8、在平面直角坐标系中，试回答下列问题：
（1）如图，写出A、B、C、D各点的坐标；
（2）描出下列各点A（3,4），B（4,5），C（4,3），D（2,4）.
【提优特训】
9、点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10、如图，在平面直角坐标系中，黑色部分盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
11、若点A（2x3,3y+6）与点B（52x,2y）是同一个点，则P（x,y）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12、若点P（a,b）满足ab=0，那么点P在（ ）
A．原点 B．在横轴上 C．在纵轴上 D．在坐标轴上
13、在平面直角坐标系中，点，，，，根据你发现的规律写出点的坐标为 ．
14、如图，某船在港口O沿着南偏东30°的方向，航行6海里到达A地，则点A的坐标为 .
　
15、已知点P（205a,2a12）在第三象限，且a取整数，则点P的坐标为 ．
16、如图，写出△ABC各顶点的坐标，并求出△ABC的面积.
17、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3,0）,B(3,0).
（1）画出所有的等腰直角三角形ABC；
（2）写出画出的等腰直角三角形ABC的顶点C的坐标.；
（3）分别求出以AB斜边和以AB的直角边的两个三角形的面积.
18、如图，如图，在平面直角坐标系中，
（1）写出A、B、C、D的坐标；
（2）试求四边形ABCD的面积.

【中考链接】
19、2018山东东营，在平面直角坐标系中，若点P（m2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m<1 B．m>2 C．11
20、2018江苏扬州在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
21、2018浙江临安16．（3分）P（3，﹣4）到x轴的距离是　 　．
22、2018四川资阳如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是　 　．
参考答案
1、C 2、B 3、A 4、C 5、10 6、（0,5） 7、（5, 6）（5, 6） 9、C 10、B
11、D 12、D 13、 14、 15、（5, 2） 19、C 20、C
21、4 22、
8、解：（1）A（3,1），B（2,2），C（2,1），D（3,2）
（2）如第8题图③
16、解：△ABC各顶点的坐标分别为A（2,1），
B（1，2），C（4，1）

17、解：（1）画出所有的等腰直角三角形ABC，如第17题图②；
（2），，，
，，.
（3）以AB为斜边：；
以AB为直角边：.
18、解：（1）A（1,2），B（8,3），C（9,6），D（5,8）；
（2）
.
19、【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（m2，m+1）在第二象限，
∴，
解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
21、【分析】根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．
【解答】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，4）到x轴的距离是|4|=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
22、【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转
次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点
的距离与旋转次数的对应关系．
【解答】解：由已知，点A每次旋转转动45°，
则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点
的距离变为转动前的倍
∵2018=252×8+2
∴点A2018的在y轴正半轴上，OA2018=
故答案为：（0，）
【点评】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．