4.2 平面直角坐标系（2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第4章图形与坐标4.2平面直角坐标系
第2课时 平面直角坐标系（2）
【知识清单】
一、根据已知条件建立适当的直角坐标系解决实际问题：?
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有严格的规定，但有以下几条常用的方法：?
1.以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；
2.以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；
3.以已知线段中点为原点；
4.以两直线交点为原点；
5.利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等.
二、平行（或垂直）于坐标轴的直线上的点有如下特征：
1.平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的各点的纵坐标相等（等于这条直线与y轴的交点在y轴上的坐标）， 横坐标不相等；若
2.平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的各点的横坐标相等（等于这条直线与x轴的交点在x轴上的坐标）， 纵坐标不相等.
三、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
1.第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等，一般记为（a,a）
2.第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相反，一般记为（a,a）
【经典例题】
例题1、如图所示，已知等边△ABC的边长为8，建立如下直角坐标系，解决问题.
（1）如图①，以等边△ABC的边AB所在的直线为x轴，边AB的垂直平分线为y轴，求顶点A、B、C的坐标；
（2）如图②，顶点A在原点上，求顶点A、B、C的坐标（直接写出即可）；
（3）如图③，等边△ABC的两个顶点的坐标为A（5，0），B（3，0），求①顶点C的坐标（直接写出即可）；②△ABC的面积．
【考点】：等边三角形的判定与性质；坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理．
?【分析】（1）因为AB=BC=CA=8，y轴所在的直线垂直平分AB，OA=OB=4，在RtAOC中，利用勾股定理可得，便可得到顶点A、B、C的坐标；
（2）作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的三线合一的性质，因为点A在原点，AB=8，可得AD=BD=4，再根据勾股定理求得，便可得到顶点A、B、C的坐标；
（3）①作CE⊥AB于E．根据点A和B的坐标，得AB=8．根据等腰三角形的三线合一的性质，得AE=BE=4，又因为OB=3，所以OE=1，则点E的坐标为（1,0），再根据勾股定理求得，从而写出点C的坐标；②根据三角形的面积公式进行计算．
【解答】（1）如图①∵AB=BC=CA=8，y轴所在的直线是AB的垂直平分线，
∴OA=OB=4，
∴点A、B的坐标分别为（4,0）和（4,0）
在Rt△AOC中，CA=8，OA=4，
由勾股定理可得，
∴点C的坐标为.
∴顶点A、B、C的坐标分别为（4,0）、（4,0）、.
（2）如图②作CD⊥AB于D.
∴顶点A、B、C的坐标分别为（0,0）、（8,0）、.
（3）如图③，①作CE⊥AB于E．∴C点的坐标为；
②
【点评】1、此题综合运用了等边三角形的性质和勾股定理，熟练运用三角形的面积公式．x轴或(y轴)上两点间的距离等于两点的横坐标(纵坐标)的差的绝对值．
2、根据方便、简洁的原则建立平面直角坐标系. ①尽可能多的点（或边）落在坐标轴上；②方便表示各顶点的坐标；③借助图形的对称性.
例题2、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3,4），在x轴上确定一点P，使△OAP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标．
【考点】等腰三角形的判定 、坐标与图形性质、勾股定理．
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径画弧，
与x坐标轴交点即为所求点P1、P2、P3,再作线段OA的
垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点P4，作出图
形，利用数形结合
求解即可．
【解答】∵A（3,4），
∴，
当OA=OP时，P3（5,0）或P2（5,0）；
当AO=AP时，P1（6, 0）；
当PA=PO时，由勾股定理可得P4．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质及等腰
三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，
若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在
符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【夯实基础】
　 1、过点P（3,4）且平行于x轴的直线交y轴于点Q，则点Q的坐标是（ ）
A.（0,3） B. （3, 0） C. （0,4） D. （4,0）
2、在10×10的正方形网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）标出公园的重要景点的位置，若分别用（2, 1），（1,3）表示图中百花园和象园，则孔雀园的坐标为（ ）
A.（3, 3） B. （4, 1） C. （4,2） D. （4,3）
3、如图，一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为（2,2），（2,3），（4,2）则第四个点的坐标为（ ）.
A. （4,3） B. （4,3） C. （4,3） D. （4, 3）
4、若点在第三象限，则点所在象限的是（　　）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第三象限或第二象限 D．第四象限或第一象限
5、若以B为原点，建立直角坐标系，A点坐标为（4,5），若A为原点，建立直角坐标系，则B点的坐标为是 .
6、如图，△ABC的顶点都在正方形网格点上，点C的坐标为（1,3），将△ABC沿y轴翻折到第三象限，则点A的坐标为 .
7、如果点P（2a5,64a）在x轴上，那么点P到原点的距离是 .

【提优特训】
9、在y轴上且到点A（12, 0）的线段长度为13的点B的坐标是（ ）
A．（5,0） B．（5,0） C．（5,0）或（5,0） D．（0,5）或（0,5）
10、已知点P在第四象限，有序实数对（a,b）中的整数a、b满足9b4a=28，那么符合条件的点P共有（ ）个.
A．8 B．7 C．6 D．5
11、若点Q(x,y)在第二象限，且，，则Q（x,y）坐标是（ ）
A．（2,2） B．（9,2） C．（9,2） D．
12、若点P（5a+3,4a+15）在第二、四象限的角平分线上，则a的值为（ ）
A．12 B． C．2 D．18
13、如图，在平面直角坐标系中，A（3,5），B（4,3），点O的坐标原点，则△AOB的面积为 ．
　
14、如图是规格为10×10的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），建立如图所示平面直角坐标系，已知A点坐标为（3，2），B点坐标为（1，4）.在第四象限内的格点上找一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是 ，△ABC的周长是 .
15、已知直角三角形ABC的顶点C（1,2），B（1,4），点C是直角顶点，斜边长为10，则顶点A的坐标为 .
16、在寻宝过程中，如图有两个标志点A（2,3），B（2,3）被找到，但藏宝的位置C（3,5）已被破坏，请你根据本节知识帮助寻宝人标出图中C的位置.


17、已知点A（1,0），B（5,0），C（x,y）.
（1）若点C在第三象限且，，求点C的坐标及△ABC的面积；
（2）若点C在第二、四象限的角平分线上，且的面积为9，求点C的坐标.

18、先阅读理解下面的问题，再按要求解答问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知两点,，如何求P1P2的距离.
若，，过P1，P2分别向x轴，y轴作垂线.垂足分别为A1（x1,0），A2（x2,0），B1（0, y1），B2（0, y2），Q（x2, y1）.
因为，，
所以Rt△P1P2 Q中，
，
所以.
因此，我们得到平面上两点,
之间的距离公式为.
根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知平面两点A（2,3），B（4,11），求AB的距离；
（2）若平面三点A（2,1），B（4,3），C（3,4），试判定△ABC的形状，说明理由.
19、如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、B在x轴上，CD是斜边AB的上的高，已知AD=4，BD=3，且点D的坐标为（1,0），
（1）求出A、B、C的坐标；
（2）试求△ABC的面积.

【中考链接】
20、2018新疆建设兵团，点（1，2）所在的象限是第　 　象限．
21、2018重庆綦江如图，点A的坐标是（2,2），若点P在x轴上，且APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能的是（ ）
A． B． C． D．
22、2018?十堰如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（　　）
A．2 B．
C．5 D．
参考答案
1、C 2、B 3、D 4、B 5、（4,5） 6、（2, 3） 7、8 9、D 10、C
11、B 12、C 13、28 14、、 15、（9,2）或 （7,2）
20、二 21、B 22、B
8、下列图形中，正方形的边长为4，请你写出各图中的正方形的顶点坐标.

A（0,0） . A（-2,0） .
B（4,0） . B（2,0） .
C（4,4） . C（2,4） .
D（0,4） . D（-2,4） .

. A（0,0）.
. .
. C（4,0） .
.
16、解：（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线，
垂足为D，线段AB的垂直平分线作为x轴；
（2）将AD三等分作直角坐标系的单位长度，
由点D向右截取DO等于两个单位长度；
（3）过点O作x轴的垂线，作为y轴；
（4）建立如图所示是平面直角坐标系，标出点C（3,5）.
17、解：（1）如第17题图①∵，，
∴，.
∵点C在第三象限，∴点C的坐标为（5, 4）
过点C作CD⊥x轴与点D，
∵点C的坐标为（5, 4），∴.
∵A（1,0），B（5,0），
∴AB=6.
∴
（2）如第17题图②∵点C在第二、四象限的角平分线上，
∴x=y.
∴点到坐标轴的距离相等.
过点C作CD⊥x轴与点D，
∵A（1,0），B（5,0），
∴AB=6.
∴
∴
解得, ∴.
∴点C的坐标为（3,3）.
18、解：（1）∵A（2,3），B（2,7），
由两点间的距离公式，得
∴.
（2）∵A（2,1），B（4,3），C（3,4），
由两点间的距离公式，得
∴，
∴，
∴
∵，.
∴
∴△ABC是直角三角形.
19、解：（1）∵AD=4，BD=3，且点D的坐标为（1,0），
∴点A、B的坐标分别为（5,0），（2,0）
在RtADC中，
在RtBDC中，
①②得，，
在RtABC中，，
由③、④得，，
将代入①得.
∴点C的坐标为.
（2）由（1）知，AB=7，