数学浙教版 八年级上
5.2认识函数（2）
5.2认识函数（2）
1、什么叫函数？
一般地，在某个变化过程中，设有两个变量???? 和????，如果对于????的每一个确定的值，???? 都有唯一确定的值，那么就说 ???? 是 ???? 的函数，其中????是自变量．
2、函数有哪几种表示方法？
（1）解析式法（关系式法）
（2）列表法
（3）图象法
如y=2x+1
x 1 2 3 0 - 1
y 3 5 7 1 - 1
当x取何值时，下列函数有意义
(1) ；
解： ，．
(2) ；
解：，．
(3)
解：，．
(4) 函数表达式中，的取值范围是
__________________．
(5) 儿童节的时候，每人发颗糖果，总人数与总发的糖果数的函数关系式为________________，其中人数的取值范围是________________ ．
小结：这里的取值范围就叫做自变量的取值范围．
为正整数
取一切实数
试一试
1、求下列函数自变量的取值范围（使函数式有意义）：
x取任何实数
x取任何实数
x≥2
x≠-2
试一试
2、求函数 自变量的取值范围．
解：由已知得，解得．
∴ 自变量的取值范围是且．
例1 等腰三角形的周长为，底边BC长为， 腰长为，求：
(1)关于的函数表达式；
(2)自变量的取值范围；
(3)腰长时，底边的长．
A
B
C
解：（1）有三角形的周长为，得：．
∴ ．
（2）∵，是三角形的边长，
∴，，，∴
∴自变量的取值范围： ．
（3）当腰长，
即时，．
∴当腰长时，底边长为．
想一想：当时，的值是多少？对本例有意义吗？当呢？
经验小结
一、求函数的表达式时，可以先得到函数与自变量之间的等式，然后解出函数关于自变量的函数表达式．
二、求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑
①代数式要有意义 ②符合实际
三、函数的三类基本问题
①求函数表达式
②求自变量的取值范围
③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值
例2 游泳池应定期换水. 某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔，以每时312立方米的速度将水放出．设放水时间为 t 时，游泳池内的存水量为Q立方米．
(1)求Q关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围;
(2)放水 2 时20分后，游泳池内还剩水多少立方米?
(3)放完游泳池内全部水需要多少时间?
解：（1）Q关于t的函数解析式是：Q=936-312t
∵ Q≥0，t≥0，∴
解得：0≤t≤3，即自变量t的取值范围是0≤t≤3．
（2）放水2时20分，即
∴
∴放水2时20分后，游泳池内还剩下208立方米
（3）放完游泳池内全部水时，Q=0，
即936-312t=0，解得t=3（时）
∴放完游泳池内全部水需3时．
1、如图，正方形EFGH内接于边长为1 的正方形ABCD．设AE=x，试求正方形EFGH的面积S与x的函数式，写出自变量x的取值范围，并求当AE=时，正方形EFGH的面积．
解：由题意易得△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等，
则AE=x，AH=1-x，
∴ (0当AE= 时，即x= ，
则S=2×．
此时正方形EFGH的面积为．
H
G
F
E
D
C
B
A
如图是由若干个棋子围成的形如三角形的图案,每条边有n个棋子,每个图案棋子的总数是s，按此规律，你能摆出第四个、第五个图案吗？当每条边有n个棋子时,你能写出每个图案总数s与每边棋子个数n之间的关系式吗？n的取值范围是什么？
n=2
n=3
n=4
S与n的函数关系式: S=3n -3
n的取值范围: n>1的整数
图中棋子的排列有什么规律? S与 n 之间能用函数表达式表示吗？自变量n的取值范围是什么？
S=4n-4 (n为正整数)
如图，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)个棋子，设每个图案的棋子总数为S．
1、某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1千克，弹簧长度增加0.5cm,
(1)计算所挂物体的质量分别为1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克时弹簧的长度，并填入下表：
/千克 0 1 2 3 4 5
/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）你能写出与之间的关系吗？
（3）当弹簧长度是6cm时，所挂物体的质量是多少？
由题意得，解得x=6，即所挂物体质量为6千克．
汽车行使路程x（千米） 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y（升）
(2) 请写出x与y的关系
100
91
82
73
64
46
(3)求出自变量x 的取值范围
∵
∴
2、某辆汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米耗油9升, (1) 完成下表
3、用总长为60cm的铁丝围成长方形，如果长方形的一边长为 a（cm），面积为S（cm2）。
（1）写出反映 S与a 之间的关系式。
（2）利用所写的关系式计算当a=12时，S的值是多少？
a
(30-a)
S=a(30-a)(0＜a＜30 )
解:(1)
(2)当a=12时,S=12(30-12)
=12×18
=216 cm2
等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出△ABC运动过程中，重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
解：y=x2(0谢谢
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5.2 认识函数(2)
学习目标 1．会列简单实际问题中的函数表达式． 2．会根据函数表达式，已知自变量的值，求相应的函数值； 或已知函数值，求相应自变量的值． 3．会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围．
学习过程
当x取何值时，下列函数有意义 (1) y＝ (2) y＝ (3) y＝(3x＋2)2 (4) 函数表达式中，的取值范围是__________________． (5) 儿童节的时候，每人发颗糖果，总人数与总发的糖果数的函数关系式为________________，其中人数的取值范围是________________ ． 小结：
试一试1、求下列函数自变量的取值范围(使函数式有意义)： (1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝ (4)y＝ 2、求函数y＝－自变量的取值范围．
例1 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y， 腰AB长为x，求： (1)y关于x的函数表达式； (2)自变量x的取值范围； (3)腰长AB＝3时，底边的长． 经验小结
例2 游泳池应定期换水． 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每时312立方米的速度将水放出．设放水时间为 t 时，游泳池内的存水量为Q立方米． (1)求Q关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围； (2)放水 2 时20分后，游泳池内还剩水多少立方米？ (3)放完游泳池内全部水需要多少时间？
1、如图，正方形EFGH内接于边长为1 的正方形ABCD．设AE＝x，试求正方形EFGH的面积S与x的函数式，写出自变量x的取值范围，并求当AE时，正方形EFGH的面积．
合作学习 如图是由若干个棋子围成的形如三角形的图案，每条边有n个棋子，每个图案棋子的总数是s，按此规律，你能摆出第四个、第五个图案吗？当每条边有n个棋子时，你能写出每个图案总数s与每边棋子个数n之间的关系式吗？n的取值范围是什么？
如图，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)个棋子，设每个图案的棋子总数为S． 图中棋子的排列有什么规律？ S与 n 之间能用函数解析式表示吗？自变量n的取值范围是什么？ 思考：如果排成的是五边形有什么规律？能用函数表达式表示吗？
作业题
1、某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1千克，弹簧长度增加0.5cm， (1)计算所挂物体的质量分别为1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克时弹簧的长度，并填入下表： /千克012345/cm
(2)你能写出之间的关系吗？ (3)当弹簧长度是6cm时，所挂物体的质量是多少？
2、某辆汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油9升，(1) 完成下表 汽车行使路程x(千米)050100150200300油箱剩余油量y(升)
(2) 请写出x与y的关系 (3)求出自变量x 的取值范围
3、用总长为60cm的铁丝围成长方形，如果长方形的一边长为 a(cm)，面积为S(cm2)． (1)写出反映 S与a 之间的关系式． (2)利用所写的关系式计算当a＝12时，S的值是多少？
拓展提高
等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出△ABC运动过程中，重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
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5.2 认识函数(2)
学习目标 1．会列简单实际问题中的函数表达式． 2．会根据函数表达式，已知自变量的值，求相应的函数值； 或已知函数值，求相应自变量的值． 3．会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围．
学习过程
当x取何值时，下列函数有意义 (1) y＝ 解： ∵x－8≠0，∴x≠8． (2) y＝ 解：∵2x－4≥0，∴x≥2． (3) y＝(3x＋2)2 解：∵3x＋2≠0，∴x≠－． (4) 函数表达式y＝3x－6中，的取值范围是x取一切实数． (5) 儿童节的时候，每人发颗糖果，总人数与总发的糖果数的函数关系式为y≥2x，其中人数x的取值范围是x为正整数． 小结：这里x的取值范围就叫做自变量的取值范围．
试一试1、求下列函数自变量的取值范围(使函数式有意义)： (1)y＝3x－1 x取任何实数 (2)y＝2x2＋7 x取任何实数 (3)y＝ x≥2 (4)y＝ x≠－2 2、求函数y＝－自变量的取值范围． 解：由已知得，解得 ∴ 自变量的取值范围是x≥－且x≠．
例1 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y， 腰AB长为x，求： (1)y关于x的函数表达式； (2)自变量x的取值范围； (3)腰长AB＝3时，底边的长． 解：(1)有三角形的周长为10，得：2x＋y≥10．∴ y≥10–2x ． (2)∵x，y是三角形的边长， ∴x＞0，y＞0，2x＞y，∴ ∴自变量的取值范围： 2.5?＜?x?＜?5． (3)当腰长AB≥3， 即x≥3时，y≥10－2×3≥4． ∴当腰长AB≥3时，底边BC长为4． 想一想：当x≥6时，y≥10－2x的值是多少？对本例有意义吗？当x≥2呢？ 经验小结 一、求函数的表达式时，可以先得到函数与自变量之间的等式，然后解出函数关于自变量的函数表达式． 二、求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑
①代数式要有意义 ②符合实际 三、函数的三类基本问题 ①求函数表达式 ②求自变量的取值范围 ③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值
例2 游泳池应定期换水． 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每时312立方米的速度将水放出．设放水时间为 t 时，游泳池内的存水量为Q立方米． (1)求Q关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围； (2)放水 2 时20分后，游泳池内还剩水多少立方米？ (3)放完游泳池内全部水需要多少时间？ 解：(1)Q关于t的函数解析式是：Q≥936－312t ∵ Q≥0，t≥0，∴ 解得：0≤t≤3，即自变量t的取值范围是0≤t≤3． (2)放水2时20分，即t≥， ∴Q≥936－312×＝208(m^3) ∴放水2时20分后，游泳池内还剩下208立方米 (3)放完游泳池内全部水时，Q≥0， 即936－312t≥0，解得t≥3(时) ∴放完游泳池内全部水需3时．
1、如图，正方形EFGH内接于边长为1 的正方形ABCD．设AE＝x，试求正方形EFGH的面积S与x的函数式，写出自变量x的取值范围，并求当AE＝时，正方形EFGH的面积． 解：由题意易得△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等， 则AE≥x，AH≥1－x， ∴ S≥1－4×x×(1－x)＝2x2－2x＋1(0＜x＜1) 当AE≥时，即x≥， 则S≥2×－2×＋1≥． 此时正方形EFGH的面积为．
合作学习 如图是由若干个棋子围成的形如三角形的图案，每条边有n个棋子，每个图案棋子的总数是s，按此规律，你能摆出第四个、第五个图案吗？当每条边有n个棋子时，你能写出每个图案总数s与每边棋子个数n之间的关系式吗？n的取值范围是什么？ S与n的函数关系式： S≥3n－3 n的取值范围： n＞1的整数
如图，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)个棋子，设每个图案的棋子总数为S． 图中棋子的排列有什么规律？ S与 n 之间能用函数解析式表示吗？自变量n的取值范围是什么？ 思考：如果排成的是五边形有什么规律？能用函数表达式表示吗？ S≥4n－4(n为正整数)
作业题
1、某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1千克，弹簧长度增加0.5cm， (1)计算所挂物体的质量分别为1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克时弹簧的长度，并填入下表： x/千克012345y/cm33.544.555.5
(2)你能写出x与y之间的关系吗？ y≥3＋0.5x (3)当弹簧长度是6cm时，所挂物体的质量是多少？ 解：由题意得6≥3＋0.5x，解得x≥6，即所挂物体质量为6千克．
2、某辆汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油9升，(1) 完成下表 汽车行使路程x(千米)050100150200300油箱剩余油量y(升)1009182736446
(2) 请写出x与y的关系：y≥100－ x (3)求出自变量x 的取值范围：∵100－≥0，∴0≤x≤．
3、用总长为60cm的铁丝围成长方形，如果长方形的一边长为 a(cm)，面积为S(cm2)． (1)写出反映 S与a 之间的关系式． (2)利用所写的关系式计算当a＝12时，S的值是多少？ 解：(1) S≥a(30－a)(0＜a＜30 ) (2)当a≥12时，S≥12(30－12)＝12×18≥216 cm2
拓展提高
等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出△ABC运动过程中，重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式． 解：y≥x2(0＜x＜10)
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