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5.3 一次函数(2)
学习目标 1．通过实例进一步加深对一次函数的认识． 2．会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤． 3．会通过已知自变量的值求相应一次函数的值，已知一次函数的值求相应自变量的值解决一些简单的实际问题．
学习过程
问题1：已知y是x的正比例函数，当x＝5时，y＝4，求此函数表达式以及比例系数． 问题2：已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝－2时，y＝－14．求这个一次函数的表达式．
求一次函数表达式的一般步骤：
已知y是x的一次函数，当x＝－4时，y＝9；x＝6时，y＝－1， (1)求这个一次函数的关系式，自变量x的取值范围； (2)当x＝－时，求函数y的值； (3)当y＝7时，求自变量x的值； (4)当y＜1时，自变量x的取值范围．
问题3：已知y－100与x成正比例关系，且当x＝10时，y＝600，求y关于x的函数表达式．
例 某地区从1995年底开始，沙漠面积几乎每年以相同的速度增长．据有关报道，到2002年底．该地区的沙漠面积已从1999年底的100.8万公顷扩展到101.4万公顷．
某航空公司规定旅客可免费托运一定质量的行李，超过规定质量的行李需买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数．己知当行李的质量分别为20kg，40kg时，需支付的行李票费用为15元和45元，求y与x之间的函数表达式．你能求出旅客最多可免费携带行李多少千克吗？
作业题
已知函数y＝－2x＋b．当x＝－时，y＝－1，求常数项b．
已知y是x的一次函数，当x＝－1时，y＝2；当x＝2时，y＝－3， (1) 求 y 关于 x 的一次函数关系； (2) 求当y＝9时，x的值．
某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y(元)是1吨水的买入价x(元)的一次函数．根据下表提供的数据，求y关于x的函数表达式．当水价为每吨10元时，1吨水生产的饮料所获的利润是多少？ 1吨水的买入价x(元)46利润y(元)200198
某航空公司规定旅客可免费托运一定质量的行李，超过规定质量的行李需买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数．已知当行李的质量分别为20kg，40kg时，需支付的行李票费用为15元和45元．求y关于x的函数表达式．
拓展题
已知y＋m与x－n成正比例(其中m，n是常数) (1)y是x的一次函数吗？ (2)如果当y＝－15时，x＝11；当x＝7时，y＝1；求y关于x的函数表达式．
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5.3 一次函数(2)
数学浙教版 八年级上
5.3 一次函数(2)
一次函数的概念
一般地，如果
（,是常数，）
那么叫做的一次函数．
其中，称为比例系数，称为常数项．
特别地，当时，一次函数
就成为（是常数，）
这时，叫做的正比例函数．
设
待确定
解
代
回归
一对,值代入.
待定系数法
如何确定正比例函数的表达式?
问题1：已知是的正比例函数，当时，，求此函数表达式以及比例系数．
两对,值代入
待确定
解、
代
设
回归
待定系数法
如何确定一次函数的表达式？
问题2：已知是的一次函数，当时， ；当时，．求这个一次函数的表达式．
例3 已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=-2时，y=-14.求这个一次函数的表达式.
解 因为y是x的一次函数，所以可设所求表达式为y=kx+b(k≠0).
将x=3，y=1和x=-2，y=-14分别代入上式子，
得 解得
所以所求的一次函数表达式为.
求一次函数表达式的一般步骤：
1.设所求的一次函数表达式为y=kx+b，其中k,b是待确定的常数，k≠0.
2.把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k,b的二元一次方程组.
3.解这个关于k,b的二元一次方程组，求出k,b的值.
4.把求得的k,b的值代入y=kx+b，就得到所求的一次函数表达式.
待定系数法
（3）当时，求自变量的值；
（2）当时，求函数的值；
已知是的一次函数，当时，； 时，，
（1）求这个一次函数的关系式，自变量的取值范围；
（4）当时，自变量的取值范围.
,
取全体实数．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
解：
答：自变量的取值范围 ．
问题3：已知与成正比例关系，且当时， ，求关于的函数表达式.
整体
解：
设 ,
得
解得
答：关于的表达式是 .
∴
∴
将 时， 代入
土地沙漠化
据估计，过去几十年来全世界每年都有百万公顷的土地变为沙漠，土地的沙漠化给人类的生存带来了严重的威胁。
例 某地区从年底开始，沙漠面积几乎每年以相同的速度增长．据有关报道，到年底．该地区的沙漠面积已从年底的万公顷扩展到万公顷．
(1)可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化?
(2)如果该地区的沙漠化得不到治理,那么到2020年底,该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷?
解:（1）设95年年底沙漠面积为b万公顷，每经过一年，沙漠面积增加k万公顷，经过x年，沙漠面积为y万公顷，由题意得 y=kx+b
且当x=4时，y=100.8；当x=7时，y=101.4
代入y=kx+b，
得 解得
∴ y=0.2x+100．
这样该地区沙漠面积的变化就由一次函数 y=0.2x+100来进行描述．
（2）当x=25时，y=0.2×25+100=105
答：沙漠增加到105万公顷．
某航空公司规定旅客可免费托运一定质量的行李，超过规定质量的行李需买行李票，行李票费用（元）是行李质量（kg）的一次函数．己知当行李的质量分别为kg，kg时，需支付的行李票费用为元和元，求与之间的函数表达式．
令, 则
你能求出旅客最多可免费携带行李多少千克吗？
思考：
1、用待定系数法求函数表达式；
2、步骤：①设；②代；③解；④回归．
3、数学方法
或思想：
待定系数法；
数学建模；
转化思想；
整体思想。
说明：如果y是x的一次函数，那么先设y=kx+b，再用待定系数法；对于没有指明是哪一类函数，应首先分析数量关系，明确是何种函数后，再设表达式。
小 结
已知函数y＝-2x+b．当x＝ 时，y＝-1，求常数项b.
解：将x= ，y=-1代入y＝-2x+b，
得-1=-2×+b，解得b＝-2．
已知是的一次函数，当时，；当时，，
(1) 求 关于 的一次函数关系；
(2) 求当时，的值．
解： (1) 设，将，；
，代入，
得 解得
∴ 关于 的一次函数关系为．
(2)将代入，得，解得．
某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y(元)是1吨水的买入价x(元)的一次函数．根据下表提供的数据，求y关于x的函数表达式．当水价为每吨10元时，1吨水生产的饮料所获的利润是多少？
解：设y=kx+b，将x=4，y=200；x=6，y=198代入，
得 解得
∴ y＝-x+204.
当x＝10时，y＝194(元)．
1吨水的买入价x(元) 4 6
利润y(元) 200 198
某航空公司规定旅客可免费托运一定质量的行李，超过规定质量的行李需买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数．已知当行李的质量分别为20kg，40kg时，需支付的行李票费用为15元和45元．求y关于x的函数表达式．
解：设y=kx+b，将x=20，y=15；x=40，y=45代入，
得 解得
∴ y＝x-15.
已知y+m与x-n成正比例（其中m，n是常数）
（1）y是x的一次函数吗？
（2）如果当y=-15时，x=11；当x=7时，y=1；求y关于x的函数表达式．
解:(1) 设y+m=k(x-n),（k是常数，且 k≠0）
∴ y+m=kx-kn，即∴y=kx-kn-m．
∵k、m、n都是常数，∴ -kn-m 是常数．
∴ y是关于x的一次函数．
（2）设y=kx+b, 将x=11，y=-15；x=7，y=1代入
得 解得
答： y关于x的函数表达式为y=-4x+29．
谢谢
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5.3 一次函数（2）
教学目标 1．通过实例进一步加深对一次函数的认识． 2．会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤． 3．会通过已知自变量的值求相应一次函数的值，已知一次函数的值求相应自变量的值解决一些简单的实际问题． 重点与难点 本节教学的重点是用待定系数法求一次函数的表达式． 待定系数法的过程比较复杂，是本节教学的难点．
教学设计
作业题
拓展题
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